易错点07 数列求和、数列的综合应用（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

这是一份易错点07 数列求和、数列的综合应用（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题，共12页。试卷主要包含了利用常用求和公式求和，裂项法求和，错位相减法求和，分组法求和，数列中的最值等内容，欢迎下载使用。
易错点06   数列求和、数列综合应用高考数列求和部分重点考查裂项相消法和错位相减法，多为解答题第二问，难度为中档.易错点1：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 易错点2已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．易错点5：含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.易错点6：数列中的最值错误。数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。  题组一、利用常用求和公式求和 1.（2019全国3理14）记为等差数列的前项和，若，，则　　．【答案】4   【解析】设等差数列的公差为，则由，可得，，. 2．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则　　A． B． C． D．【答案】A   【解析】1.设等差数列的公差为，由，，得，，，，故选．3.（2019全国1理14）记为等比数列的前项和．若，，则　　．【答案】  【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得，所以4．（2017新课标Ⅲ）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为_____.【答案】  【解析】设的公差为（），由，得，所以，． 5.（2018全国卷Ⅲ）等比数列中，．记为的前项和．若，=________．【答案】  【解析】设的公比，由，当时，所以当时，所以故答案为m=6 6．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．【答案】  【解析】法1： 因为，所以当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．所以．法2：因为，所以当时，，解得，当时，，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以． 题组二、裂项法求和7.（2017新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则          ．【答案】  【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，，∴，所以，所以．  8.（2015新课标Ⅰ）已知,设，数列的前n项和=______.【答案】  【解析】由，，所以数列{}前n项和为==. 9.（2011新课标）已知,设 数列的前n项和=___________.【答案】  【解析】由，所以所以所以 10.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】  【解析】（1）设的公差为，则=．由已知可得（2）由（1）知从而数列. 题组三、错位相减法求和11．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，，①，②①②得 ，所以，所以，所以.12．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设前项和为，，，①，②①②得，，．13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立．那么时，也成立．则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即．14.（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程 的根．(Ⅰ)求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)方程的两根为2,3，由题意得设数列的公差为d，则故从而所以的通项公式为．（Ⅱ）设的前n项和为由（I）知则两式相减得所以．题组四、分组法求和 15.（2012新课标）数列满足，则的前项和为  .     【答案】1830  【解析】可证明：      ．16．（2016年全国II）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】1893  【解析】（Ⅰ）设的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．（Ⅱ）记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴． 题组五、数列中的最值17．（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值．【解析】(1)设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．(2)由(1)得．所以当时，取得最小值，最小值为−16． 18．（2019•新课标Ⅰ，文18）记为等差数列的前项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，又由，则有，则有，综合可得：，．19．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【解析】（1）等差数列中，，，，，解得，，；（2），，，，当时，前项的和取得最小值为．20.（2013新课标2）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为　　　。【解析】设的首项为，公差，由，，得，解得，∴，设，当时，当，，由，当时，当时，∴时，取得最小值．  1．已知数列满足，，记的前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值为（       ）A．61 B．62 C．63 D．64【答案】C【解析】∵，∴，∴，又，则数列是首项为4，公比为的等比数列，∴，∴，∴，∵，，∴满足不等式的最小整数n的值为63.故选：C.2．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（       ）A．G B． C．-G D．【答案】D【解析】由，可得…①…②①+②得，化简得.故选：D3．已知数列为的前项和，其中，则（       ）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【解析】由题意设为奇数，则是偶数，是奇数，则，①，②①+②得：所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列.所以故选：B4．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以数列的前10项和：.故选：C.5．已知数列，满足，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，①所以，②①－②得，，所以，而，适合上式，所以，，，∴.故选：D．6．已知数列是首项与公差均为1的等差数列，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知当时，，又，故，所以，所以.故选：B7．已知数列的首项为2，前n项和为，，.若数列的前n项和为，则满足成立的n的最小值为______.【答案】6【解析】因为①，当时，②，①-②得：，当时，，即，故是首项为2，公比为3的等比数列，所以，又，所以，，解得：，已知，，故n的最小值为6故答案为：68．等差数列中，，，若数列的前n项和为，则___________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以数列的通项公式为，设，所以.故答案为：.9．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式以及；(2)若数列，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)设等差数列的公差为，依题意，，解得，则，，所以的通项公式是，.(2)由(1)知，，即有，则，因此，，所以.10．已知数列的前n项和为，且．(1)证明：是等比数列．(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)因，，则当时，，整理得，即，当时，，解得，即，所以是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)可知，则，则，因此，两式相减得，所以.