易错点14 立体几何中的角（学生版）-备战2022年高考数学考试易错题

这是一份易错点14 立体几何中的角（学生版）-备战2022年高考数学考试易错题，共9页。试卷主要包含了求异面直线所成角的思路是，求异面直线所成角的步骤，如图，在正方体中，E为的中点．等内容，欢迎下载使用。
易错点14   立体几何中的角易错点1：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。 2.求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。易错点2：直线与平面所成的角1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）求。2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则易错点3：二面角用向量求二面角大小的基本步骤1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2.求出平面的法向量，平面的法向量3.进行向量运算求出法向量的夹角；4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：题组一：异面直线所成的角1．（2021年全国高考乙卷数学（文理）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）A． B． C． D． 2.(2018全国卷Ⅱ)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．   B．   C．    D． 3．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )A．          B．          C．       D． 4.（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是    ． 题组二：直线与平面所成的角5. 【2021年浙江卷】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.  6.（2020•北京卷）如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 7.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.  8.（2020年新全国1山东）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．  题组三：二面角9. 【2021年乙卷】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值． 10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 11.（2020•全国1卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值． 12.（2020•全国3卷）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．   1．如图在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．  2．如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦， 则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A．    B．    C．    D．   3．在长方体中，和与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线和所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D． 4．（多选题）已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（       ）A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°  5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，点是的中点，作交于点. (1)求证：平面；(2)若平面与平面所成的二面角为，求.  6．在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE.(1)求证：AE⊥BP；(2)求二面角E-CP-B的余弦值.  7．如图所示，在四棱锥中，底面，，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值． 8．已知三棱锥（如图一）及其展开图（如图二），四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形.(1)证明：平面平面ABC；(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求点M到平面PBC的距离.  9．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，是的中点．(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的大小． 10．如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，.(1)求的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值.