专题09 一元一次不等式的应用与一元一次不等式组-2022-2023学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

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专题09 一元一次不等式的应用与一元一次不等式组














一、一元一次不等式实际问题
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可
8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可
列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
注意
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．

（4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表 示不等关系的文字补上．
二、一元一次不等式组
不等式组的概念
如，等都是一元一次不等式组．
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：
注意：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
注意：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．

















类型一、行程问题
【解惑】
（2023春·全国·七年级专题练习）小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可．
【详解】解：根据题意列不等式为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题的关键．
【融会贯通】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为
(2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米

【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解；
（2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意得，解得，
答：甲车的速度为，乙车的速度为；
（2）解：设乙车提速后的速度为，
根据题意得，
解得，
答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）在爆破时，如果导火索燃烧的速度是，人跑开的速度是，那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到以外（包括）的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米?
【答案】
【分析】设导火索至少要长，为了安全，则人跑开的时间应该小于或等于导火索燃烧的时间，列不等式即可．
【详解】设导火索的长为，
由题意得：，

答：这根导火索的长度至少应取．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m的安全距离作为不等量关系列不等式求解．
3．（2022春·上海·八年级期中）小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？
【答案】小明每小时步行的速度至少是6千米．
【分析】设小明步行的速度为x千米/时，利用路程=速度×时间，结合小明想在7点30分之前赶到学校，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设小明步行的速度为x千米/时，
依题意得：（7-1）+（-）x≥7，
解得：x≥6．
答：每小时步行的速度至少是6千米．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
4．（2021春·山西·七年级校联考期末）小宇骑自行车从家出发前往地铁号线的站，与此同时，一列地铁从站开往站．分钟后，地铁到达站，此时小宇离站还有米．已知、两站间的距离和小宇家到站的距离恰好相等，这列地铁的平均速度是小宇骑车的平均速度的倍．
（1）求小宇骑车的平均速度
（2）如果此时另有一列地铁需分钟到达站，且小宇骑车到达站后还需分钟才能走到地铁站台候车，那么他要想乘上这趟地铁，骑车的平均速度至少应提高多少？（假定这两列地铁的平均速度相同）
【答案】（1）小宇骑车的平均速度是米/分；（2）至少应提高米/分
【分析】（1）设小明骑车的平均速度是x米/分，、两站间的距离和小宇家到站的距离恰好相等，列出方程 3x+2400=3×5 x，解方程即可得解；
（2）设小明的速度提高y米/分，根据题意列出一元一次不等式，即可得出答案；
【详解】解：（1）设小宇骑车的平均速度是米/分．
根据题意，得
解得
答：小宇骑车的平均速度是米/分．
（2）设小宇骑车的平均速度提高米/分．
根据题意，得
解得．
答：小宇骑车的平均速度至少应提高米/分．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键．
5．（2021·广西百色·校联考一模）邓老师从学校出发，到距学校2160米的某商场买学习奖品，她步行了9分钟然后换骑共享单车，全程共用15分钟（转换方式所需时间忽略不计）．已知邓老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍．
（1）邓老师步行和骑共享单车的平均速度分别是多少？
（2）若邓老师仍然以步行和骑共享单车的方式分别按原来速度原路返回，买完奖品时正好，为赶上的数学课，问路上最多可步行多少米？
【答案】（1）邓老师步行和骑共享单车的平均速度分别为80米/分，240米/分；（2）邓老师路上最多可步行600米．
【分析】（1）设邓老师步行和骑共享单车的平均速度分别为x米/分、y米/分，根据“全程共用15分钟（转换方式所需时间忽略不计）．已知邓老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍”，列出方程组，即可求解；
（2）设邓老师路上可步行a米，根据“邓老师可花在路上的时间最多还有14分钟”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）设邓老师步行和骑共享单车的平均速度分别为x米/分、y米/分，根据题意得
∴，解得，
答：邓老师步行和骑共享单车的平均速度分别为80米/分，240米/分.
（2）由题意可知邓老师可花在路上的时间最多还有14分钟，设邓老师路上可步行a米，根据题意得
，解得：，
答：邓老师路上最多可步行600米．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用以及一元一次不等式的应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．
类型二、工程问题
【解惑】
（2022秋·重庆丰都·九年级校考期中）众所周知，我国新疆盛产棉花，品种多且质量好，其中天然彩棉最具特色．每年4月底至5月初是种植天然彩棉的最佳季节．某农场今年有8480亩待种棉地，计划全部播种天然彩棉．农场现有雇佣工人若干名，且每个工人每小时种植棉花的面积相同．农场先将所有工人分成A、B、C三组，其中C组比A组多5人，且A、B、C三组工人每天劳动时间分别为12小时，10小时，8小时．一开始三组工人刚好用了8天完成了3200亩棉地的种植；接下来，农场安排A组工人每天劳动8小时，C组工人每天劳动12小时，B组工人劳动时间不变，这样调整后的三组工人也刚好用了8天完成了3280亩棉地的种植．为了不错过种植的最佳季节，农场决定从其他农场紧急雇佣3m名工人，平均分配给A、B、C三组进行支援，此时A、B、C三组工人每天劳动时间仍分别为8小时，10小时，12小时，以确保剩下的棉地在4天内完成全部种植，则3m的最小值为______．
【答案】18
【分析】根据题目设出所需的未知数，并且列出所需的方程式与不等式即可求出．
【详解】解：设A、B、C三组工人的人数分别为人，人，人，每名工人每小时种植棉花的面积为，
根据条件可得
，化简得①，
，化简得②，
得，，解得，
将代入①中得，
则


解得，
故的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题目条件列出方程组以及不等式是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2022春·海南海口·七年级校考期中）5月份是空调销售和安装的高峰时期．某区域售后服务中心现有600台已售空调尚待安装，另外每天还有新销售的空调需要安装．设每天新销售的空调台数相同，每个空调安装小组每天安装空调的台数也相同．若同时安排3个装机小组，恰好60天可将空调安装完毕；若同时安排5个装机小组，恰好20天就能将空调安装完毕．
(1)求每天新销售的空调数和每个空调安装小组每天安装空调的台数；
(2)如果要在5天内将空调安装完毕，那么该区域售后服务中心至少需要安排几个空调安装小组同时进行安装？
【答案】(1)每天新销售空调为20，每个装机小组每天的装机量为10台；
(2)至少需要安排14个空调安装小组同时进行安装才能在5天内装完．

【分析】（1）根据题中已知条件，列出二元一次方程组，直接解方程组即可；
（2）根据题意设至少需要安排a个空调安装小组同时进行安装，列出不等式解答即可得出答案．
【详解】（1）解：设每天新销售的空调数为x，每个装机小组每天的装机量为y；
由题意可知，
解得：，
所以，每天新销售空调为20，每个装机小组每天的装机量为10台；
（2）解：设需要安排a个空调安装小组同时进行安装，
由题意可知，
解得，
所以至少需要安排14个空调安装小组同时进行安装才能在5天内装完．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程和一元一次不等式的实际应用，解题关键是弄清题意，列出方程组和不等式，属于中档题．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）小明借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下的时间里，小明每天至少要读多少页？
【答案】小明每天至少读8页才能读完．
【分析】设以后每天读x页，根据小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，可列出不等式求解．
【详解】解：设以后每天读x页，
，
．
答：小明每天至少读8页才能读完．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键设出每天读多少页，以总页数作为关系式列不等式求解．
3．（2023春·八年级单元测试）现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制，每天只能由一个工程队施工．甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务．
(1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
(2)要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？
【答案】(1)甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米
(2)乙工程队至少施工20天

【分析】（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，然后根据甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务建立方程求解即可；
（2）设乙工程队施工天，根据时间任务量每天的工作任务列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米．
根据题意得：，
解得：
答：甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米．
（2）解：设乙工程队施工天．
根据题意得：，
解得：
答：乙工程队至少施工20天．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系建立不等式是解题的关键．
4．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）某学校为美化校园环境，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知乙队每天能完成绿化的面积是50平方米，甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，每天需付给乙队为0.5万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】至少安排甲队工作10天．
【分析】根据题意“甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，每天需付给乙队为0.5万元，这次的绿化总费用不超过8万元”列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解；设安排甲队工作x天，根据题意得：

解得：x≥10．
答：至少安排甲队工作10天．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题干条件抽象出一元一次不等式是解题的关键．
5．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）［方案思想］
（一）为了丰富群众文化生活，某县城区已经整体转换成了数字电视．目前该县广播电视信息网络公司正在对乡镇进行数字电视改装．公司现有400户申请了但还未安装的用户，此外每天还有新的用户申请．已知每个安装小组每天安装的数量相同，且每天申请安装的用户数也相同，公司若安排3个安装小组同时安装，则50天可以安装完所有新、旧申请用户；若公司安排5个安装小组同时安装，则10天可以安装完所有新，旧申请用户．
(1)求每天新申请安装的用户数及每个安装小组每天安装的数量；
(2)如果要求在8天内安装完所有新、旧申请用户，但前3天只能派出2个安装小组安装，那么最后几天至少需要增加多少个安装小组同时安装，才能完成任务．
（二）“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．
甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；
乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．
设某位顾客购买了x元的该种粽子．
x（单位：元）
实际在甲超市的花费（单位：元）
实际在乙超市的花费（单位：元）
200
x
x

　　　　　
x

　　　　　
　　　　　　

(3)补充表格，填写在“横线”上；
(4)当x为何值时到甲、乙两超市的花费一样？
(5)如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过300元，那么到哪家超市花费更少？说明理由．
【答案】(1)每天新申请安装的用户数为40户，每个安装小组每天安装的数量为16户
(2)最后几天至少需要增加6个安装小组同时安装，才能完成任务
(3)见解析
(4)当0＜x≤200或x＝400时，到甲、乙两超市的花费一样
(5)当300＜x＜400时，到甲超市购买花费更少；当x＝400时，到甲、乙两超市的花费一样；当x＞400时，到乙超市购买花费更少

【分析】（一）（1）设每天新申请安装的用户数为a户，每个安装小组每天安装的数量为b户，根据“安排3个安装小组同时安装，50天可以安装完所有新、旧申请用户；安排5个安装小组同时安装，10天可以安装完所有新，旧申请用户”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设最后几天需要增加m个安装小组同时安装，根据在8天内安装完所有新、旧申请用户，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论；
（二）（3）根据两家超市给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出在两家超市购买所需费用；
（4）当0＜x≤200时，显然成立；当x＞300时，由到甲、乙两超市的花费一样，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，综上，此问得解；
（5）分95%x＋10＜90%x＋30，95%x＋10＝90%x＋30及95%x＋10＞90%x＋30三种情况，求出x的取值范围或x的值，进而即可得出结论．
（1）
解：设每天新申请安装的用户数为a户，每个安装小组每天安装的数量为b户，依题意得：

解得：．
答：每天新申请安装的用户数为40户，每个安装小组每天安装的数量为16户．
（2）
解：设最后几天需要增加m个安装小组同时安装，
依题意得：2×3×16＋（2＋m）×（8−3）×16≥400＋40×8，
解得：m≥
又∵m为整数，
∴m的最小值为6，
答：最后几天至少需要增加6个安装小组同时安装，才能完成任务．
（3）
解：在甲超市购买：当200＜x≤300时，所需费用为200＋95%（x−200）＝（95%x＋10）元；
当x＞300时，所需费用为200＋95%（x−200）＝（95%x＋10）元；
在乙超市购买：当x＞300时，所需费用为300＋90%（x−300）＝（90%x＋30）元．
x（单位：元）
实际在甲超市的花费（单位：元）
实际在乙超市的花费（单位：元）
200
x
x

95%x+10
x

95%x+10
90%x+30
（4）
解：当0＜x≤200时，x＝x，显然成立；
当x＞300时，95%x＋10＝90%x＋30，
解得：x＝400．
答：当0＜x≤200或x＝400时，到甲、乙两超市的花费一样．
（5）
解：当95%x＋10＜90%x＋30时，x＜400，
又∵x＞300，
∴当300＜x＜400时，到甲超市购买花费更少；
当95%x＋10＝90%x＋30时，x＝400，
∴当x＝400时，到甲、乙两超市的花费一样；
当95%x＋10＞90%x＋30时，x＞400，
∴当x＞400时，到乙超市购买花费更少．
答：当300＜x＜400时，到甲超市购买花费更少；当x＝400时，到甲、乙两超市的花费一样；当x＞400时，到乙超市购买花费更少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（一）（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（二）（3）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（5）分95%x＋10＜90%x＋30，95%x＋10＝90%x＋30及95%x＋10＞90%x＋30三种情况，求出x的取值范围或（或x的值）．
类型三、利润问题
【解惑】
（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是（    ）
A．7本 B．8本 C．9本 D．10本
【答案】D
【分析】设购买x本笔记本，根据题意得出第1种所需费用：，第2种所需费用：，利用第1种比第2种更优惠，列出不等式求解即可．
【详解】解：设购买x本笔记本，由题意可知，要使第1种比第2种更优惠，则：
，
解得：，
∴最少购买10本．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，列出一元一次不等式是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表所示：

甲
乙
成本
元/只
元/只
售价
元/只
元/只
(1)若该公司三月份的利润为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)养正学校到该公司购买乙型口罩，有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打折；方案二：购买元会员卡后，乙型口罩一律打折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
【答案】(1)生产甲型口罩万只，乙型口罩万只；
(2)当购买数量少于只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠．

【分析】（1）设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，根据“甲、乙两种型号的防疫口罩共万只；每只口罩的成本、售价已给出且该公司三月份的利润为万元”，即可列出关于，的二元一次方程组，解此方程可得出结论；
（2）设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为（元），选择方案二所需费用为（元），要选择合适的购买方案，有三种情况，根据每种情况列出不等式，求解不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，依题意得：
，解得：．
因此，生产甲型口罩万只，乙型口罩万只．
（2）设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为：（元），选择方案二所需费用为：（元）．
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
因此，当购买数量少于只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，掌握方程的解法，正确找到题中的数量关系，列出方程与不等式，是解这道题的关键．
2．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）某超市对 A，B 两种商品开展春节促销活动，活动方案有如下两种：

商品
A
B
标价（单位：元）
110
160
方案一
每件商品出售价格
按标价打7折
按标价打 a 折
方案二
若所购商品超过10件（不同商品可累计）时，每件商品均按标价打8折后出售
（同一种商品不可同时参与两种活动）
(1)某单位购买A商品5件，B 商品4件，共花费961元，求a的值；
(2)在（1）的条件下，若某单位购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由．
【答案】(1)9
(2)当时，选择方案一才能获得最大优惠，当时选择方案二才能获得最大优惠

【分析】（1）先求出商品A和B每件的出售价格，再由其出售的件数和总费用即可列出关于的一元一次方程，求解即可；
（2）可知B商品购买的件数为件，表示出方案一和方案二的总费用，比较即可确定选择方案．
【详解】（1）商品A每件的出售价格为（元），商品B每件的出售价格为（元）， 根据题意得：
解得
所以的值为9．
（2）若某单位购买商品件，则购买B商品件，
当，即时，只能选择方案一得最大优惠
当，即时，
方案一中商品B每件的出售价格为（元），总费用为；
方案二的总费用为，

当时选择方案二才能获得最大优惠，
综合上述，当时，选择方案一才能获得最大优惠，当时选择方案二才能获得最大优惠．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找准题中等量关系列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2021春·重庆南岸·八年级校联考期中）新冠肺炎疫情发生后．口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进医用外科、两种型号的口罩在自家药房销售．销售完后总销售额为14700元，进价和售价如表：
品名价格
医用外科口罩
口罩
进价（元/袋）
20
30
售价（元/袋）
25
36
(1)小明爸爸的药房购进医用外科、两种型号口罩各多少袋？
(2)该药房第二次以原价购进医用外科、两种型号口罩，购进医用外科口罩袋数不变，而购进口罩袋数是第一次的2倍，医用外科口罩按原售价出售，而效果更好的口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋口罩最多打几折？
【答案】(1)该商店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩200袋；
(2)每袋乙种型号的口罩最多打9折．

【分析】（1）直接利用进货总费用为12000元以及共获利2700元分别得出等式求出答案；
（2）直接利用第二次销售活动获利不少于2460元，得出不等关系求出答案．
【详解】（1）解∶设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩袋，乙种型号口罩袋，则，
解得∶，
答：该商店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩200袋；
（2）设每袋乙种型号的口罩打折，则

解得：，
答∶每袋乙种型号的口罩最多打9折．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．
4．（2022春·海南海口·七年级琼山中学校考阶段练习）春节前小六从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，蔬菜批发价格与零售价格如下表：
品种
青椒
土豆
批发价（元/kg）

3
零售价（元/kg）
3
4
请解答下列问题：
(1)第一天，小六批发青椒和土豆两种共，用去了450元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？
(2)第二天，还是用去450元钱批发青椒和土豆，要想当天全部售完后所赚钱数不少于270元，则最多能批发土豆多少千克？
【答案】(1)这两种蔬菜当天全部售完一共能赚250元；
(2)最多能批发土豆．

【分析】（1）设批发青椒，土豆，根据批发青椒和土豆两种蔬菜共，用去了450元钱，列方程求解；
（2）设批发土豆，根据当天全部售完后所赚钱数不少于270元，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设批发青椒，土豆，
由题意得：，
解得：，
故批发青椒，土豆， 则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：
（元），
答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚250元；
（2）设批发了土豆，则青椒批发，
由题意得，
解得，
答：最多能批发土豆．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）某网店在“618购物节”前准备从厂家选购相同数量的、两种商品，已知种商品每件进价比种商品每件进价少20元，购进种商品需要1200元，购进种商品需要1000元．
(1)求、两种商品每件的进价分别是多少元；
(2)若种商品的售价为每件145元，种商品的售价为每件120元，该网店准备购进、两种商品共40件，且这两种商品的全部售出后总利润不少于920元，则种商品最多可购进多少件？
【答案】(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是120元、100元；
(2)乙种商品最多可购进16件．

【分析】（1）根据购进种商品比购进种商品一共少多少元，可以得出种商品多少件，总钱数除件数，即可得到结果；
（2）设该网店购进乙种商品件，则购进甲种商品件，根据题意列出不等式，求出解集即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意，购进种商品比购进种商品一共少元，
种商品每件进价比种商品每件进价少20元，
所以（件，
商品的进价：（元；
商品的进价：（元；
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是120元、100元；
（2）解：设该网店购进乙种商品件，则购进甲种商品件，
列不等式：，
解得：，
答：乙种商品最多可购进16件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的应用是关键．

类型四、和差倍分问题
【解惑】
（2020·湖南常德·统考一模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老幻方：将1-9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等.如图的幻方中字母m所能表示的所有数中最大的数是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等可分别用含m的代数式表示出其余的6个数，再根据这些数都是正整数列出不等式求解即可．
【详解】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，
∴第一行第二个数为：15﹣2﹣m＝13﹣m，
第三行第一个数为：15﹣2﹣5＝8，
第三行第三个数为：15﹣5﹣m＝10﹣m，
∴第二行第一个数为：15﹣8﹣m＝7﹣m，
第二行第三个数为：15﹣2﹣(10﹣m)＝3+m，
第三行第二个数为：15﹣8﹣(10﹣m)＝m﹣3，
∵这九个数字都是正整数，
∴13﹣m＞0，则m＜13，
10﹣m＞0，则m＜10，
7﹣m＞0，则m＜7，
3+m＞0，则m＞﹣3，
m﹣3＞0，则m＞3，
∴m的取值范围是3＜m＜7，
又∵m为正整数，
∴m的最大整数值为6．
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等用含m的代数式表示每一个数字进而列出不等式求解是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2023·云南·模拟预测）某校为活跃班级体育大课间，计划分两次购进一批羽毛球和乒乓球．第一次分别购进羽毛球和乒乓球30盒和15盒，共花费675元；第二次分别购进羽毛球和乒乓球12盒和5盒，共花费265元．若两次购进的羽毛球和乒乓球的价格均分别相同．
(1)羽毛球和乒乓球每盒的价格分别是多少元？
(2)若购买羽毛球和乒乓球共30盒，且乒乓球的数量少于羽毛球数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】(1)羽毛球每盒的价格是20元，乒乓球每盒的价格是5元
(2)当购买羽毛球11盒，乒乓球19盒时费用最低，最低费用为315元

【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可．
（2）设购x盒羽毛球，则购置盒乒乓球，根据题意，得，设总费用为w元，根据题意，构造一次函数，运用函数性质计算即可．
【详解】（1）设羽毛球每盒的价格是x元，乒乓球每盒的价格是为y元，根据题意，得
，
解得，
故羽毛球每盒的价格是20元，乒乓球每盒的价格是5元．
（2）设购x盒羽毛球，则购置盒乒乓球，根据题意，得
，
解得，
设总费用为w元，根据题意，得
，
因为w随x的增大而增大，
所以当x取最小值时，w有最小值，
因为x是整数，
所以，，
所以（元），
所以购买羽毛球11盒，乒乓球19盒时费用最低，最低费用为315元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练列出方程组或不等式是解题的关键．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
(2)如果该班级需要自动铅笔的数量是钢笔的数量的2倍还多8个，现在文教店进行促销活动，全场商品一律八折出售，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过620元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
【答案】(1)该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元
(2)该班级最多可购买21支该品牌的钢笔

【分析】（1）设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，根据“购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，根据总价=单价×数量结合班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过620元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元．
（2）解：设该班级购买m支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，
依题意，得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为21，
答：该班级最多可购买21支该品牌的钢笔．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）为了抓住中秋商机，某商店计划购进A，B两种月饼，若购进A种月饼10盒，B种月饼5盒，需要600元；若购进A种月饼5盒，B种月饼3盒，需要330元．
(1)求购进A、B两种月饼每盒需要多少元？
(2)若该商店决定拿出2400元全部用来购进两种月饼，考虑市场需求，要求购进A种月饼的数量不少于B种月饼数量6倍，且不超过B种月饼数量的8倍．请你分别求出该商店共有几种进货方案？
【答案】(1)30元，60元
(2)3种，求解过程见解析

【分析】（1）根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得设购进A种月饼a盒，购进B种月饼B盒，根据题意可得，再根据即可求解．
【详解】（1）解：设每盒A种月饼x元，每盒B种月饼y元，
，解得：，
答：每盒A种月饼30元，每盒B种月饼60元．
（2）设购进A种月饼a盒，购进B种月饼b盒，
，
整理得：，即：
∵，
∴，
解得：，
∵b为整数，
∴，
则a对应为 64，62，60．
方案一：购进A种月饼64盒，购进B种月饼8盒；
方案二：购进A种月饼62盒，购进B种月饼9盒；
方案三：购进A种月饼60盒，购进B种月饼10盒；
答：商店有3种进货方案．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的实际应用以及解不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和不等式求解．
4．（2021秋·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期中）金秋十月，丹桂飘香．香甜可口的桂花糕也成为了大家茶余饭后喜爱的甜点，某超市月分别用元和元购进A、两种礼盒的桂花糕若干件，其中的件数是A的件数的倍，每件的进价比每件A的进价多元．A礼盒售价为元/件，礼盒售价为元/件．
(1)求该超市月购进A礼盒桂花糕多少件；
(2)由于深受广大消费者喜爱，月购进的A、两款桂花糕很快就销售完，月该超市继续购进这两款桂花糕，但在销售时进行了适当的调整，A礼盒的售价降低了，礼盒售价不变．结果A礼盒的销量在月销量的基础上增加了，礼盒的销量在月销量的基础上增加了，若要使得月两种礼盒的总销售额不低于元，求的最大值．
【答案】(1)月购进A礼盒桂花糕150件；
(2)m最大取20．

【分析】（1）设月购进A礼盒桂花糕x件, A礼盒桂花糕进价为a元，则购进B礼盒桂花糕件, B礼盒桂花糕进价为元，根据题中等量关系列方程组解答即可；
（2）由（1）可知：11月份A礼盒桂花售价为：元，销量为：件，11月份B礼盒桂花售价为：24元，销量为：件，若要使得月两种礼盒的总销售额不低于元，则，解得：，故m最大取20．
【详解】（1）解：设月购进A礼盒桂花糕x件, A礼盒桂花糕进价为a元，则购进B礼盒桂花糕件, B礼盒桂花糕进价为元，
由题意可得：，解得：，
∴月购进A礼盒桂花糕150件．
（2）解：由（1）可知：月购进A礼盒桂花糕150件，购进B礼盒桂花糕300件；
∵11月份A礼盒桂花售价为：元，销量为：件，
11月份B礼盒桂花售价为：24元，销量为：件，
若要使得月两种礼盒的总销售额不低于元，
则，整理得：，解得：，
故m最大取20．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组以及不等式．
5．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）某商场进货件A商品和件B商品共用了元，进货件A商品和件B商品共用了元．
(1)求A、B两种商品的进价．
(2)该商场在某次进货中，B商品的件数比A商品的件数的2倍少4件，且A、B两种商品的总件数至少为26件，总费用不超过248元，请问该商场有哪几种进货方案？
【答案】(1)A、B两种商品的进价分别为元、元；
(2)A商品的件数为，B商品的件数为件；或A商品的件数为，B商品的件数为件．

【分析】（1）设A、B两种商品的进价分别为x元、y元，依题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设A商品的件数为，则B商品的件数为件，依题意列一元一次不等式组，求解得到符合实际情况的取值即可．
【详解】（1）解：设A、B两种商品的进价分别为x元、y元，
依题意得：

解得：
答：A、B两种商品的进价分别为元、元；
（2）设A商品的件数为，则B商品的件数为件，
依题意得：

解不等式组得：
故的取值为或
当时，
当时，
答：A商品的件数为，B商品的件数为件；
或A商品的件数为，B商品的件数为件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用；一元一次不等式组解决实际问题；解题的关键是结合数量关系正确列出方程组和不等式组．
类型五、利息问题
【解惑】
（2013·浙江杭州·统考一模）某企业向银行贷款100万元，一年后归还银行106.6多万元，则年利率高于_____%．
【答案】6.6
【详解】试题分析：设年利率为x，根据“一年后归还银行106.6多万元”即可列不等式求解．
设年利率为x，由题意得
，解得
则年利率高于6.6%．
考点：一元一次不等式的应用
点评：解题的关键是读懂题意，找到不等关系，正确列不等式求解．

【融会贯通】
1．（2018秋·湖南张家界·八年级校考期末）2007年5月19日起，中国人民银行上调存款利率.
             人民币存款利率调整表:
项    目
调整前年利率％
调整后年利率％
活期存款
0.72
0.72
二年期定期存款
2.79
3.06
储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20％.  
（1）小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元?
（2）小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2．79％计息，本金与实得利息收益的和为2555．8元，问他这笔存款的本金是多少元?
（3）小明爸爸有一张在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款．问他是否应该转存?请说明理由．
约定：①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息．
②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内．获得的利息比较．如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算(转存前后本金不变)．
【答案】（1）85.68元；（2）2500元；（3）当他这笔存款转存前已存天数不超过41天时，他应该转存；当他这笔存款转存前已存天数超过41天，不需转存.
【详解】试题分析：（1）根据利息=本金×利率×（1-利息税）进行计算；
（2）设他这笔存款的本金是x元，根据本息和=本金+利息=本金+本金×（1+利率）（1-利息税）列方程即可；
（3）设小明爸爸的这笔存款转存前已存了x天，根据两次的利率表示利息之间的不等关系，求得未知数的取值范围，进一步得出结论．
试题解析：
（1）3500×3.06％×80％=85.68(元)，
∴到期时他实得利息收益是85.68元
（2）设他这笔存款的本金是x元，
则x(1+2.79％×80％)=2555.8，
解得x=2500，
∴这笔存款的本金是2500元．
（3）设小明爸爸的这笔存款转存前已存了x天，由题意得
l0000××0．72％+10000××3.06％>10000×2.79％，
解得x<41，
当他这笔存款转存前已存天数不超过41天时，他应该转存；
当他这笔存款转存前已存天数超过41天，不需转存．
【点睛】一元一次方程及不等式的应用：解决本题的关键是掌握本息和、本金、利息、利率四者之间的关系，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
2．（2022秋·八年级课时练习）某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行贷款的本利和超过1040万元．问年利率在怎样的一个范围内?
【答案】年利率大于
【分析】根据题意和年利率的概念列出不等式，再进行计算即可求出答案．
【详解】设利率为x，根据题意可得：

解得：，
即，
答：年利率大于．
【点睛】此题主要考查了不等式的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
3．（2021春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）2021年初，随着重庆本地的一些优势政策的落地，城市经济发展状况越来越好，购房需求有增无减，重庆楼市涨幅明显，据国家统计局5月17日公布的70城房价数据显示，4月重庆新房价格环比上涨1.4%，领涨全国；二手房价格环比上涨13%，涨幅全国第二．5月份，重庆RC壹号院甄装大平层璀璨登场，共推出A、B两种大平层共100套，其中A户型340万元/套，B户型460万元/套．
（1）RC壹号院5月的销售总额为38800万元，问5月推出A、B两种户型各多少套？
（2）近期，关于重庆银行利率上涨、二手房将停贷等消息在朋友圈被大量转发，重庆楼市将要进行调控成为了各大平台的热点话题．为年中清盘促销，地产商调整了营销方案，对销售团队采取奖励办法：每销售一套A户型按每套售价的a%给予奖励，每销售一套B户型按每套售价的0.5%给予奖励．奖励办法出台后．A户型6月份的销售量比5月份增加了50%；而B户型6月份的销售量比5月份减少了a%，为保证销售团队6月份类励金额不低于152.97万元，求a的最小值．
【答案】（1）5月推出A、B两种户型分别是60，40套；（2）a的最小值为0.2．
【分析】（1）设5月推出A、B两种户型分别是x，y套，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）根据“销售团队6月份类励金额不低于152.97万元”，列出一元一次不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设5月推出A、B两种户型分别是x，y套，
根据题意得：，解得：，
答：5月推出A、B两种户型分别是60，40套；
（2）由题意得： a%×340×（1+50％）×60+0.5%×460×（1-a%）×40≥152.97，
解得：a≥0.2，
答：a的最小值为0.2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，准确找出数量关系，是解题的关键．
4．（2020春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市光华中学校校考阶段练习）水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元．
②每亩水面可在年初混合投放蟹苗和虾苗．
③每千克蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益．
④每千克虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益．
（1）若租用水面n亩，则年租金共需________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹、虾混合养殖的年利润（利润＝收益－成本）；
（3）李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷款不超过25000元，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润达到36600元？
【答案】（1）500n；（2）3900元；（3）租10亩水面，贷款24000元
【分析】（1）年租金=每亩水面的年租金×亩数；
（2）年利润=收益-成本=（蟹苗收益+虾苗收益）-（蟹苗成本+虾苗成本）-水面年租金-饲养总费用；
（3）设应该租n亩水面，根据贷款不超过25000，年利润超过36600列出不等式组，结合题意求出n的值．
【详解】解：（1）由题意可得：
年租金共需500n元；
（2）每亩收益=4×1400+20×160=8800（元），
每亩成本=4×（75+525）+20×（15+85）+500=4900（元），
∴利润=8800-4900=3900（元）；
（3）设李大爷应租x亩水面．
根据题意列出不等式：3900x-（4900x-25000）×10%≥36600，
解得：x≥10．
则李大爷至少应租10亩水面，至少向银行贷款4900×10-25000=24000元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，理解利润的计算方法是解决本题的关键．
5．（2005·江苏苏州·中考真题）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；
④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；
(1)若租用水面n亩，则年租金共需 元；
(2)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润：收益—成本)；
(3)李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款．用于蟹虾混合养殖．已知银行贷款的年利率为8％，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元．可使年利润超过35000元?
【答案】（1）500n；（2）每亩的利润3900元；（3）李大爷应该租10亩，贷24000元．
【分析】（1）年租金=每亩水面的年租金×亩数
（2）年利润=收益-成本=（蟹苗收益+虾苗收益）-（蟹苗成本+虾苗成本）-水面年租金-饲养总费用
（3）设应该租n亩水面，根据贷款不超过25000，年利润超过35000列出不等式组，结合题意求出n的值．
【详解】（1）若租用水面n亩，则年租金共需500n元；
故答案为：500n
（2）每亩收益=4×1400+20×160=8800
每亩成本=4×（75+525）+20×（15+85）+500=4900
利润=8800﹣4900=3900．
（3）设租n亩，
n亩水田总收益＝3900n
需要贷款数＝（500＋75×4＋525×4＋15×20＋85×20）n－25000＝4900n－25000
贷款利息＝8％×(4900n－25000)＝392n－2000
根据题意得：3900n-(392n-2000)≥35000
解得：n≥9.41
∵n为正整数，
∴ n ＝10
需要贷款数：4900n－25000＝24000(元)
答：李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元，可使年利润超过35000元．
【点睛】本题考查了不等式的应用，弄清题意，准确确定相应关系是解题的关键．
类型六、收费问题
【解惑】
（2022春·山东临沂·七年级统考期末）甲，乙两市出租车收费标准如表：

起步价（元）
3千米后（元/千米）
甲
10
2
乙
8
2.5
某人分别在两市乘坐出租车各行驶x千米（其中x＞3），若甲市的收费高于乙市，则x的取值范围为（    ）
A．x＜7 B．x＞3 C．x＞10 D．x＜10
【答案】A
【分析】根据两市的出租车收费标准，可得出在甲市的收费为（2x+4）元，在乙市的收费为（2.5x+0.5）元，根据甲市的收费高于乙市，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：∵x＞3，
∴在甲市的收费为10+2（x-3）=（2x+4）元，
在乙市的收费为8+2.5（x-3）=（2.5x+0.5）元．
依题意得：2x+4＞2.5x+0.5，
解得：x＜7．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【融会贯通】
1（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）甲，乙两市出租车收费标准如下表：

起步价（元）
3千米后（元/千米）
甲
10
2
乙
8
2.5
某人分别在两市乘坐出租车各行驶x千米（其中），若甲市的收费高于乙市，则x的值（    ）
A．大于7 B．小于7 C．大于10 D．小于10
【答案】B
【分析】根据车费=起步价×（行程-3）即可列出代数式，根据甲市的收费高于乙市即可列出不等式，解出不等式即可求得答案．
【详解】解：由题意得，
甲市的收费：，
乙市的收费：，
由甲市的收费高于乙市，
则，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了行程计费的实际问题、利用题意列代数式及不等式，用数字、字母正确列出代数式及解出不定式的解集是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
(1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
(2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行社
团体优惠条件
A
A成人全价购票，儿童可免费
B
B成人8折购票，小孩半价购票

【答案】(1)甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人
(2)儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择A旅行社支付旅游费用较少

【分析】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）由题意可知，两个家庭共有m名儿童，则有成人人，分别列出两个旅行社所需费用，然后比较大小即可获得答案．
【详解】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，
由题意得，
解得，
答：甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人；
（2）由（1）可知，两个家庭共20人，设两个家庭共有m名儿童，则两个家庭共有名成人，
∴A旅行社的费用为：元，
B旅行社的费用为：元，
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择AB旅行社支付旅游费用较少．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
3．（2022秋·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考开学考试）为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：
居民用水阶梯水价表单位：元/立方米
分档
户每月分档用水量x（立方米）
水价
第一阶梯


第二阶梯


第三阶梯


(1)小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为______元；
(2)小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为______立方米；
(3)随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？
【答案】(1)70
(2)5
(3)28立方米

【分析】（1）利用表格数据直接求解即可；
（2）利用表格数据得出小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，进而求解即可；
（3）利用表中数据得出水费不超过180元时包括第三阶段水价费用，进而得出不等关系求解即可．
【详解】（1）由表格中数据可得：时，水价为：5元/立方米，
故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：（元）；
故答案为：70；
（2）∵，
∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，
设小明家6月份使用水量为x立方米，
∴，解得：，
故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：（立方米），
故答案为：5；
（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：
，
解得：，
答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，能够根据表中数据得出不等关系是解题的关键．
4．（2022秋·山东临沂·七年级统考期末）春节期间，某同学计划租车去旅行，在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）：

日租金（单位：元）
免费行驶里程（单位：千米）
超出部分费用（单位：元/千米）
A型
1200
100
1.5
B型
1500
200
1.2
解决下列问题：
(1)如果此次旅行的总行程为1800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算；
(2)设本次旅行行程为x千米，请通过计算说明什么时候选A型车，什么时候选B型车？．
【答案】(1)租用B型号车划算；
(2)时，租用A型车和B型车同样划算，时，租用B型车比较划算，时，租用A型车比较划算．

【分析】（1）租用A型车所需费用为，租用B型车，所需费用为，根据，得到选择B型号车划算；
（2）租用A型车所需费用为，租用B型车所需费用为，当时，得到，租用A型车和B型车费用相同，当时，得到，此时租用B型车比较划算，当时，得到，此时用A型车比较划算．
(1)
若租用A型车，所需费用为：，
若租用B型车，所需费用为：，
∵
∴租用B型号车划算；
(2)
若租用A型车，所需费用为：，
若租用B型车，所需费用为：，
当，即时，租用A型车和B型车费用相同，
当，即时，租用B型车比较划算，
当，即时，租用A型车比较划算．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，解决问题的关键是熟悉题意，熟练掌握总费用与日租金和超出免费路程部分的费用之间的关系，列式建立方程或不等式．
5．（2023春·八年级单元测试）某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
运输公司
起步价（单位：元）
里程价（单位：元/千米）
甲
1000
5
乙
500
10
(1)仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
(2)仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？
(3)根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
【答案】(1)该工厂选择甲运输公司更划算
(2)运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家
(3)当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司

【分析】（1）根据收费方式分别计算出甲乙公司的费用比较即可；
（2）设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同，由两家公司的收费方式列方程，然后解出即可；
（3）根据收费方式计算出甲公司的费用大于乙公司时的运输距离，和甲公司的费用小于于乙公司时的运输距离即可得出结论．
【详解】（1）甲运输公司收费为（元），
乙运输公司收费为（元）．
因为，所以该工厂选择甲运输公司更划算．
（2）设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同．
根据题意，得，
解得．
答：运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家．
（3）当甲公司收费大于乙公司时：， ，
当甲公司收费小于乙公司时：，，
综上：当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；
当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；
当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用及一元一次不等式的应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
6．（2022·广东揭阳·统考二模）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准：
阶梯
一户居民每月用水量（单位：立方米）
水费价格（单位：元/立方米）
一档
不超过15立方米
a
二档
超过15立方米的部分
b
已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元．
（1）求出表格中a、b的值；
（2）6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月份最多可用水多少立方米？
【答案】（1）a=3，b=5；（2）该户居民6月份最多可用水23立方米
【分析】（1）该市居民用水基本价格为a元/米3，超过15米3部分的价格为b元/米3，根据4月份和5月份的缴费情况列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）设该户居民6月份最多可用水x立方米，根据（1）中的分档收费标准列出方程并解答．
【详解】解：（1）设该市居民用水基本价格为a元/米3，超过15米3部分的价格为b元/米3，
根据题意，得，
解得：．
答：a的值是3，b的值是5．
（2）设该户居民6月份最多可用水x立方米，
根据题意，得15×3+5（x-15）≤85．
解得x≤23．
答：该户居民6月份最多可用水23立方米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是根据题意列出a和b的二元一次方程组，此题难度不大．

类型七、数字问题
【解惑】
（2020·七年级统考课时练习）一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这个两位数小于40，则这个两位数是________.
【答案】31或20
【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为x+2，即可以列出不等式求解.
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x+2，由题意得
10（x+2）+x＜40
解得：
因为x是非负整数，
所以x=1或0，该数的个位数字为1或0，则十位数字是3或2，故这个两位数为31或20．
故答案为31或20．
【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，理解题意，找出不等关系列出不等式即可求解．

【融会贯通】
1．（2022春·河南南阳·七年级统考期中）一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数．
【答案】72或81
【分析】设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得
[]解不等式即可．
【详解】解：设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得
[]
解这个不等式，得
，
∵十位上数字与个位上数字都不为0，
∴
∴整的整数值为5、6、7、8
当时，，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意；
当时，，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意；
当时，9-，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意；
当时，，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意．
∴这个两位数是72或81．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2．（2022春·重庆荣昌·七年级统考期末）阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0，若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为“双城数”．比如8631，各位数字均不为0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“双城数”．
(1)请判断5724，6532是否是“双城数”，并写出判断过程；
(2)一个“双城数”A千位数字为2，百位数字为m，个位数字为n，若A的各位数字之和恰为7的倍数，求所有满足题意的“双城数”
【答案】(1)5724，6532都是“双城数”
(2)2165、2345、2435、2615

【分析】（1）根据“双城数”的定义判断即可；
（2）根据“双城数”的定义可确定该“双城数”十位数字为．再结合题意可知（k为正整数），由“双城数”的定义可知或且为整数，在分类讨论列出等式和不等式，即可求出答案．
（1）
∵5724各位数字不同且不为0，5+4=7+2=9，
∴5724是“双城数”；
∵6532各位数字不同且不为0，6+2=5+3=8，
∴6532是“双城数”；
（2）
由题意可知该“双城数”十位数字为．
∵A的各位数字之和恰为7的倍数，
∴（k为正整数），
整理，得：，
∵或且为整数，
∴当时，，解得：，不符合题意；
当时，，解得：
∴k可取2和3．
当时，，即此时千位数字为2，个位数字为5，
∴此时该“双城数”可为2165、2345、2435、2615、2075（不合题意，舍去），2705（不合题意，舍去）；
当时，，不符合题意．
综上可知，满足题意的“双城数”为2165、2345、2435、2615．
【点睛】本题考查新定义，学生的阅读理解能力和知识迁移能力，解一元一次不等式组．理解“双城数”的定义是解题关键．
3．（2022·江苏·七年级假期作业）定义：对于四位自然数m，若其千位数字与个位数字之和为7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数m为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，所以1456不是“七巧数”．
(1)若一个“七巧数”的千位数字为a，则其个位数字可以表示为_________；（用含a的代数式表示）
(2)若“七巧数”m的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请写出一个满足条件的“七巧数”_________．
【答案】(1)7-a
(2)6431，4523，2615（任意填一个，答案不唯一）

【分析】（1）根据“七巧数”的定义进行求解即可；
（2）设m的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为（7-b），个位数字为（7-a），根据m的千位数字加上个位数字的和，是百位数字减去十位数字的差的3倍，依此可得3[b-（7-a）]=a+7-b，再根据整数的定义进行讨论即可求解．
(1)
一个“七巧数”的其千位数字与个位数字之和为7
∴若千位数字为a，则其个位数字可表示为7-a，
故答案为：7-a；
(2)
设m的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为（7-b），个位数字为（7-a），依题意得：
3[b-（7-a）]=a+7-b，
整理得：a+2b=14，
∴a=14-2b
∵1≤a≤7，0≤b≤7，且a，b为整数，
∴
解得，
∴当b=4时，则a=6，m=6431，
当b=5时，则a=4，m=4523，
当b=6时，则a=2，m=2615，
∴满足条件的所有“七巧数”m为：6431，4523，2615．
故答案为：6431，4523，2615（任意填一个，答案不唯一）
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系．
4．（2020春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33¸11=3，所以f（12）=3．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
①下列两位数：40，42，44中，“迥异数”为 ；
②计算：f（23）= ．
（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）=11，请求出“迥异数”b．
（3）如果一个“迥异数”c，满足c-5f（c）>30，请直接写出满足条件的c的值．
【答案】(1)①42，②5；(2)38；(3) 71或81或82或91或92或93.
【分析】(1)①由“迥异数”的定义求解即可；
②根据定义计算可得；
(2)先将这个“迥异数”用k的代数式表示为：12k+2，再计算f(b)的值，最后利用等式f(b)=11即可求得b.
(3)设这个“迥异数”的十位和个位分别是m和n，将这个数c及f(c)分别用m和n的代数式表示，然后再通过给出的不等式求解即可.
【详解】解：(1)①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，40，42，44中，“迥异数”为42.
故答案为：42.
②f(23)=(23+32)÷11=5.
故答案为：5.
(2)∵这个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)
∴b=10×k+2(k+1)=12k+2.
将这个数的个位和十位调换后为：10×2(k+1)+k=21k+20
∴f(b)=(12k+2+21k+20)÷11=3k+2
又f(b)=11
∴3k+2=11
∴k=3
故这个“迥异数”b=12k+2=38.
故答案为：38.
(3) 设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m,n均为大于1小于10的正整数.
则c=10m+n，调换个位和十位后为：10n+m
故f(c)=(10m+n+10n+m)÷11=m+n
∵c-5f（c）>30
∴10m+n-5(m+n) >30
整理得：5m-4n>30
∴，即……①
又∵
∴，解得：
又n为正整数
故n=1或2或3
当n=1时，代入①中，m=7或8或9，此时c=71或81或91；
当n=2时，代入①中，m=8或9，此时c=82或92;
当n=3时，代入①中，m=9，此时c=93.
故所有满足条件的c有：71或81或82或91或92或93.
【点睛】本题借助“迥异数”这个新定义考查了一元一次不等式的解法，能理解题目意思，理解“迥异数”是解决此题的关键.

类型八、几何问题
【解惑】
（2021春·山东潍坊·七年级统考期末）如图，一机器人在平地上按图中的程序行走，要使机器人行走的路程大于10m，则a的值可能是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列出不等式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
∵每一次都是右转a°，
∴多边形的边数＝360°÷a°＝，
∴×1＞10，即：a＜36，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．
【融会贯通】
1.（2022·福建·模拟预测）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为 ___ ．
【答案】100°
【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得800度．则内角和是（n-2）•180°与800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）•180°≥800°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，进而求出少计算的内角．
【详解】解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2）•180°≥800°，
解得：n≥，
则多边形的边数n=7；
多边形的内角和是（7-2）•180=900度；
则未计算的内角的大小为900°-800°=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及不等式的解法，解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算内角的取值范围．
2.（2023春·全国·七年级专题练习）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________．

【答案】3或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
∵
∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：；
第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
∴的值为：3或
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．

(1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______．
(2)求射线OQ返回时t的值取值范围．
(3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围．
（注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围）
【答案】(1)80°
(2)
(3)或或

【分析】（1）根据当t＝5时，求出，即可求出；
（2）先求出，当旋转到时的时间，并且此时，再求出当开始返回时的时间，即可得出射线返回时的时间返回；
（3）先求出第一次重合时的时间，(秒)，再分① 返回前，②，重合后，③返回后到秒停止的几种情况进行求解．
【详解】（1）解：当t＝5时，，
，
故答案为：；
（2）解：，
当旋转到时，（秒），
此时，
开始返回：(秒)，
射线返回时，，
即；
（3）解：，
第一次重合时，(秒)，
① 返回前，，重合前，，（秒），
即
②，重合后，，（秒），
即时，
③返回后到秒停止，时，
（秒），
即当时，
综上所述：或或，．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、不等式的应用、角的和差倍分关系，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：根据题意可得：，
解不等式组得：，
答：x的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件．
5．（2021春·七年级课时练习）若多边形有且只有四个钝角，那么此多边形的边数至多是多少？
【答案】7
【分析】根据题意，列出一元一次不等式，求最大整数解即可．
【详解】设多边形的边数为，根据题意，得：

解得：，
∵n为正整数，
∴n=7，
∴此多边形的边数至多是7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，理解题意列出一元一次不等式是解题的关键．
类型九、一元一次不等式组中取整
【解惑】
（2023·山东泰安·统考一模）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解不等式组，利用表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得的范围．
【详解】解∶∵，
∴，
不等式组有4个整数解，
不等式组的整数解是3，4，5，6，
．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了．

【融会贯通】
1．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有个整数解得出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组有且仅有个整数解是，，，，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键．
2．（2022春·四川泸州·七年级统考期末）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a所满足的条件，求解即可．
【详解】解：对于，
由①得：，
由②得：，
∵原不等式组恰有3个整数解，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集为，再由不等式组有且仅有一个整数解，即可求解．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有一个整数解，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
4．（2023春·北京西城·九年级北京铁路二中校考阶段练习）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【答案】原不等式组的解集为，不等式组的非负整数解为0，1．
【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，即得出不等式组的解集，再在解集中找出非负整数即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解．掌握解不等式组的方法和步骤是解题关键．
5．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）已知m，n与代数式的值的对应关系如下表：
m
…
2
3
4
…
n
…
3
1

…

…

4

…
(1)根据表中信息，求a，b的值；
(2)若关于x的不等式组有且只有一个整数解，求t的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．

【分析】（1）结合表中数据建立二元一次方程组求解即可；
（2）分别求解不等式，结合不等式组的解得情况得到关于t的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：依据表中数据可得：
，
解得：，
即：，；
（2）由（1）得：
，
解不等式得：
，
解不等式得：
，
由不等式组有且只有一个整数解，
得，
解得：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，以及根据不等式组的解得情况求参；解题的关键是正确求解方程组和不等式组，理解不等式组解得情况．
类型十、一元一次不等式组中有、无解
【解惑】
（2022秋·浙江·八年级专题练习）若不等式有解，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分，所以在有解的情况下，m的值必须小于2．
【详解】解：∵不等式组有解，
∴
故选A．
【点睛】主要考查已知一元一次不等式的解集求不等式中的字母的取值范围．掌握求不等式组解集的口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题关键．

【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为（　　）
A．23 B．26 C．29 D．39
【答案】D
【分析】解不等式组得到，再由最多3个整数解可推出m的取值范围；解方程可得，再由解为非负整数可推出m的取值范围，综合两个取值范围即可确定m的取值为10或13或16，相加即可得到答案．
【详解】解关于x的不等式组，得：，
该不等式组有解且至多3个整数解，
，解得：
解关于y的方程，得，
该方程的解为非负整数


或或
则符合条件的所有整数m的和为：．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式组与一元一次方程的求解，熟练掌握各自的解法，根据题目设定的要求列出关于参数m的不等式并求解，是本题的解题关键．
2．（2022秋·湖北黄冈·八年级校联考开学考试）若不等式组 有解，则a的取值范围是（    ）
A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜1 D．a≤1
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
解不等式1﹣2x＜2﹣x，得：x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴﹣1＜x＜a，
∴a＞﹣1，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为．其中，正确结论的序号是（    ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据解不等式组的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，找到参数的取值范围解决问题．
【详解】解：①时，x比小的大，比大的小，取中间，即解集为，故①正确；
②时，x比小的小，比大的大，无处取解，即无解，故②正确；
③要使不等式组无解，则要求x比小的小，比大的大，即a要小于3，当时，仍然无解，故a的取值范围为，故③错误；
④要使不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为，则a的值可以为，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的含参问题，解决本题的关键是熟记解不等式组的口诀，注意临界值是否取等．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式组无解，则的取值范围为______．
【答案】/
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 __．
【答案】/
【分析】不等式组整理后，根据无解的条件确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组无解，
即无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组无解的条件是解本题的关键．

类型十一、一元一次不等式组与二元一次方程组求解
【解惑】
（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A． B． C．0 D．3
【答案】A
【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得
，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
，
③+④得：
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，而为整数，
∴，
∴满足条件的所有整数a的和，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2022春·重庆·七年级校考期中）已知关于，的二元一次方程组的解关于，满足，，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先解关于，的二元一次方程组，然后根据，，得到关于的一元一次不等式组即可求解．
【详解】解：
①＋②，得，
解得，
将代入①得，，
解得，
∵，，
∴，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的解法，正确地求得二元一次方程组的解是解题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m为_____．
【答案】5
【分析】先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的值，然后再求m的平方根即可．
【详解】解：由二元一次方程组，得，
∵整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，
∴，解得，，
∴m＝5或6，
当m＝5时，x＝3，y＝2，
当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去；
∴m＝5，
由不等式组，得x≤6，
∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解，
∴，解得，5≤m，
由上可得，m的值为5，
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
3．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组，
(1)若x+y＝1，求a的值．
(2)若﹣3≤x﹣y≤3，求a的取值范围．
(3)在（2）的条件下化简|a|+|a﹣2|．
【答案】(1)
(2)
(3)2

【分析】（1）将两方程相加得到，再由可得关于a的方程，解方程即可求解；
（2）两方程相减可得，再根据得到关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值、合并同类项求解即可．
（1）
解：，
①+②得：，则，
∵，
∴，
解得：；
（2）
解：①-②得：，
∵
∴，
解得：；
（3）
解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式、绝对值性质以及合并同类项，根据题意，正确列出关于a的方程和不等式组是解答的关键．
4．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知关于，的二元一次方程组，当为何值时，且？
【答案】
【分析】根据消元法，得到，，由题意得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：由，得
，
把代入②，得
，
且，
，
解得：，
当时，且．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，熟练掌握消元法是解题的关键．
5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）已知关于，的二元一次方程组的解为非正数，为负数，求的取值范围．
【答案】
【分析】先解方程组，求出，用表示的值，根据为非正数，为负数求出答案．
【详解】解：，
①＋②，得，
解得③，
将③代入②，得，
∵方程组的解为非正数，为负数，
∴，
解得，
即的取值范围是．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，正确掌握各解法及题意是解题的关键．

类型十二、一元一次不等式组的新定义

【解惑】
（2023年广东省深圳市三十五校中考模拟数学试卷）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：
解不等式①可得：
解不等式①可得：
因为该不等式组的解集为
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．

【融会贯通】

1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围
【答案】(1)①②
(2)
(3)

【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可．
【详解】（1）①，解得；
②，解得；
③，解得；
解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵，在范围内，
∴不等式组“关联方程”是①②；
故答案为：①②；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得；
（3）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得，
综上所述，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
2．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，．
(1)求常数，的值；
(2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出，再由题意求解即可．
【详解】（1）由题意得，
解得，；
（2）由题意得，
解得．
∵要使恰有2个整数解，
∴，
解得．
【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
3．（2023春·安徽合肥·七年级中国科技大学附属中学校考阶段练习）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如：．已知，．
(1)求m，n的值；
(2)已若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题目所在定义列出关于m、n的方程组求解即可；
（2）先分别求出，，然后解不等式组，根据不等式组的解集情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴；
（2）解：由题意得，
，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”．
例如：不等式组：是：的“子集”．
(1)若不等式组：：，：，则其中______不等式组是不等式组：的“子集”填或；
(2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是______；
(3)已知，，，为不互相等的整数，其中，，下列三个不等式组：：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，求的值．
【答案】(1)A
(2)
(3)-4

【分析】（1）求出不等式组A与B的解集，利用题中的新定义判断即可
（2）根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（3）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值．
（1）
解：：的解集为，：的解集为，：的解集为，
则不等式组是不等式组的子集，
故答案为：；
（2）
关于的不等式组是不等式组的“子集”，
，
故答案为：；
（3）
，，，为互不相等的整数，其中，，
：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，
，，，，
则，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
5．（2023春·八年级单元测试）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：
试解决下列问题：
(1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0，，．

【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用＜x＞设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0，为整数，
设=k，k为整数，则x=k，
∴＜k＞=k，
∴k-≤k＜k+，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．