2022-2023学年广东省河源市连平县教学协作区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省河源市连平县教学协作区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条(    )

A. 中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 角平分线的交点 D. 高线的交点

4.  下列从左到右的变形，其中是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列命题中错误的是(    )

A. 任何一个命题都有逆命题 B. 一个真命题的逆命题可能是真命题
C. 一个定理不一定有逆定理 D. 任何一个定理都有逆定理

6.  不等式组的解集在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中不一定成立的是(    )

A.
B. 平分
C. 垂直平分
D.

8.  如图，把绕点逆时针旋转得到，若，则为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共个，购买资金不超过元．若每个篮球元，每个足球元，则篮球最多可购买(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，在正方形中，为边上的点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若，，则______．

12.  在平面直角坐标系中，把点向左平移一个单位得到点，则点的坐标为______．

13.  如图，中，，，斜边的垂直平分线与的平分线都交于点，则点到斜边的距离为______．

14.  若不等式组的解集为，那么的值等于______．

15.  直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

16.  某办公用品销售商店推出两种优惠方法：购个书包，赠送支水性笔；购书包和水性笔一律按折优惠．书包每个定价元，水性笔每支定价元．小丽和同学需买个书包，水性笔若干支不少于支．
分别写出两种优惠方法购买费用元与所买水性笔支数支之间的函数关系式；
对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
小丽和同学需买这种书包个和水性笔支，请你设计怎样购买最经济．

四、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
分解因式：

 

18.  本小题分
解不等式组
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

，并写出不等式组的整数解．

19.  本小题分
如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．
求证：是等腰三角形．

20.  本小题分
如图，在直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，．
在图中画出向左平移个单位后的；
在图中画出绕原点逆时针旋转后的．

21.  本小题分
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式第一步
第二步
第三步
第四步
请问：
该同学因式分解的结果是否彻底？______填“彻底”或“不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

22.  本小题分
如图，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为．

如果，，试求的周长；
如果：：，求的度数．

23.  本小题分
如图，点是等边内一点，，，将绕点按顺时针旋转，得，连接．
判断的形状，并证明；
当时，试判断的形状，并说明理由；
直接写出为多少度时，是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．对称中心在中心点故正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不等式的两边都加，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
B、如，，，，故B错误，符合题意；
C、不等式的两边都除以，不等号的方向不变，故C正确，不符合题意；
D、不等式的两边都乘，不等号的方向改变，故D正确，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
主要考查了不等式的基本性质，“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．
故选：．
根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．
此题主要考查了垂直平分线的性质和三角形外心的作法，关键是根据垂直平分线的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.，是因式分解，故此选项符合题意；
C.，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
D.，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错．
 

5.【答案】 

【解析】解：、任何一个命题都有逆命题，所以选项的说法正确，不符合题意；
B、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能为假命题，所以选项的说法正确，不符合题意；
C、一个定理不一定有逆定理，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、有的定理有逆定理，有的定理不一定有逆定理，所以选项的说法错误，符合题意．
故选：．
根据逆命题与原命题的关系和它们的真假性无联系对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式可化为：
在数轴上可表示为：
故选：．
本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出的取值范围，它们相交的地方就是不等式组的解集．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

7.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，故A选项正确；
在和中，
，
≌，
，，故B，选项正确；
，
，故选项D正确；
由等腰三角形三线合一的性质，垂直平分，不一定垂直平分，故C选项错误；
即不一定成立的是选项C，
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出两三角形全等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
先根据旋转的性质得，，然后根据三角形外角性质求的度数．
【解答】
解：绕点逆时针旋转得到，
，，
．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
设买篮球个，则买足球个，根据购买足球和篮球的总费用不超过元建立不等式求出其解即可．
【解答】
解：设买篮球个，则买足球个，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
最大取，
最多可以买个篮球．
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：绕点顺时针方向旋转得到，
，，，
．
故选：．
由旋转前后的对应角相等可知，；一个特殊三角形为等腰直角三角形，可知，把这两个角作差即可．
本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
利用平方差公式进行分解进而求出即可．
此题主要考查了平方差公式分解因式的应用，正确分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点向左平移个单位长度，
点的横坐标为，纵坐标不变，
的坐标为．
故答案为：．
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

13.【答案】 

【解析】解：斜边的垂直平分线与相交于点，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即点到斜边的距离为．
故答案为：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形内角和定理列式求出，设的垂直平分线与相交于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后根据列式计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：解不等式组的解集为，
因为不等式组的解集为，所以，，
解得，代入．
故答案为：．
先用字母，表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集是，对应得到相等关系，，求出，的值再代入所求代数式中即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母，表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母，的一元一次方程求出字母，的值，再代入所求代数式中即可求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：将点代入直线，得，
从图中可看出，当时，，
故答案为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系．
首先把坐标代入直线，求出的值，再根据函数图象可得答案．
 

16.【答案】解：设按优惠方法购买需用元，按优惠方法购买需用元
，
．
解：分为三种情况：
设，
，
解得：，
当时，选择优惠方法，均可；
设，
，
解得：，
当时，选择优惠方法；
设，


当时，选择优惠方法．
解：采用的购买方式是：
用优惠方法购买个书包，
需要元，同时获赠支水性笔；
用优惠方法购买支水性笔，需要元．
共需元．
最佳购买方案是：用优惠方法购买个书包，获赠支水性笔；再用优惠方法购买支水性笔． 

【解析】由于购个书包，赠送支水性笔，而需买个书包，由此得到还要买支水性笔，
所以得到；又购书包和水性笔一律按折优惠，所以得到；
设，求出当时选择优惠；当时，选择优惠．
采取用优惠方法购买个书包，再用优惠方法购买支水性笔即可．
利用一次函数求最值时，主要应用一次函数的性质；
用一次函数解决实际问题是近年中考中的热点问题．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

18.【答案】解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
；


由得，
由得，
所以不等式组的解集是，
则整数解是，，，． 

【解析】不等式去括号、移项合并、系数化为即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．
考查不等式组的解法；求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

19.【答案】证明：平分，于点，于点，
，
在和中，
，
≌，
，
为等腰三角形． 

【解析】由条件可得出，可证明≌，可得出，再由等腰三角形的判定可得出结论．
本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求．
 

【解析】根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了旋转变换与平移变换的性质，熟练掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键．
 

21.【答案】不彻底；
设
原式



． 

【解析】

解：，
该同学因式分解的结果不彻底．
故答案为：不彻底．

见答案．
【分析】
根据因式分解的步骤进行解答即可；
设，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．  

22.【答案】解：由折叠的性质可知，垂直平分线段，
根据垂直平分线的性质可得：，
所以，；
的周长为．
设，则，
，
，
在中，，
即：，，
． 

【解析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
折叠时，对称轴为折痕，垂直平分线段，由垂直平分线的性质得，再把的周长进行线段的转化即可；
设，则，根据，可证，在中，利用互余关系求，再求．
 

23.【答案】解：是等边三角形，
绕点按顺时针方向旋转得，
≌，，
，
是等边三角形．

当时，是直角三角形．
绕点按顺时针方向旋转得，
≌，
，
由是等边三角形，
，
，
当时，是直角三角形．

，，
．
是等边三角形，
，
，，
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：，
，，． 

【解析】由旋转的性质得出、即可知是等边三角形；
由旋转可以得出 ，，就可以得出是等边三角形，就可以得出，从而得出，而得出的形状；
由条件可以表示出，就有，，当，或时分别求出的值即可．
本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．