2023辽宁省名校联盟高一下学期6月联考数学试卷含答案

辽宁省名校联盟2023年高一6月份联合考试

数学

命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．化简（    ）

A． B． C． D．

2．幂函数在第一象限内是减函数，则（    ）

A．2 B． C． D．

3．已知，则（    ）

A．1 B． C． D．2

4．如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．球冠的面积，其中R为球冠对应球面的半径，为球冠的高，则撑开的伞面的面积大约为（    ）

A． B． C． D．

5．为了得到函数的图像，需将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

6．（    ）

A． B． C． D．

7．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（    ）

A． B． C． D．

8．关于题目：“在中，，点D为BC边上一点，，且”，甲、乙、丙、丁四名同学研究它的周长时，得出四个结论：

甲：周长的最小值为；乙：周长的最大值为；

丙：周长的最小值为；丁：周长的最大值为．

你认为四人中得出正确结论的是（    ）

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛，每组中甲、乙每班各派出一名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛．下面是甲、乙两班6个小组50米短跑比赛成绩（单位：秒）的折线圈，则下列说法正确的是（    ）

A．甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差

B．甲班成绩的众数小于于乙班成绩的众数

C．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数

D．甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差

10．已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

11．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：℃），环境温度为（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（参考数据：）

A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型

B．当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟

C．若，则

D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短

12．质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，且同时出发．A的起点为圆O与x轴正半轴的交点，其角速度大小为；B的起点为射线与圆O的交点，其角速度大小为．则当A与B重合时，B的坐标可以为（    ）

A．  B．

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则______．

14．某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为4cm．需要在底面的中心处打一个半径为的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，加工后的工件体积为______．

15．如图是某地一宋代古塔的示意图，小明为测得塔高，从地面上点C看塔顶A的仰角为75°，沿直线BC的方向前进米到达点D处，此时看塔顶A的仰角为30°，则塔高为______米．

16．已知且，若函数在R上单调递减，则a的取值范围为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．

（1）求B；

（2）从下面三个条件中选择两个作为已知条件，求a与c的值．

条件①：；条件②：的而积为；条件③：．

注：如果选择不同的组合分别解答，接第一个解答计分．

18．（12分）

已知向量，，．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）

某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按，，，，分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．

（1）请将频率分布直方图补充完整；

（2）估计该校所有学生成绩的第60百分位数；

（3）从成绩在，内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈会，求这2人来自不同分组的概率．

20．（12分）

已知函数在区间上单调，且．

（1）求图像的一个对称中心；

（2）若，求的解析式．

21．（12分）

已知函数（且）的最小值为－1．

（1）求的值；

（2）设函数，求零点个数．

22．（12分）

记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．

（1）当为锐角三角形时，证明：；

（2）求的取值范围．

参考答案及解析

一、选择题

1．A【解析】．故选A项．

2．D【解析】由幂函数的定义可知，解得，由幂函数的单调性可知，所以．故选D项．

3．B【解析】设，由，得，所以，则解得或所以．故选B项．

4．A【解析】由球的性质可知，解得，所以撑开的伞面的面积大约为．故选A项．

5．D【解析】易知，，因为，所以函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，故选D项．

6．A【解析】因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以．故选A项．

7．C【解析】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为．故选C项．

8．C【解析】设的内角A，B，C的对边分别为，，，，则．由条件可知，所以，所以，则，所以．由余弦定理得·，由，得，整理得，所以，解得，当且仅当时取得等号，所以周长的最小值为．故选C项．

二、选择题

9．AB【解析】甲班成绩的极差为秒，乙班成绩的极差为秒，A项正确；甲班成绩的众数为8.6秒，乙班成绩的众数为8.9秒，B项正确；甲班成绩的平均数为，乙班成绩的平均数为．所以．C项错误；甲班成绩波动小，相对于甲班的平均值比较集中，乙班成绩波动大，且相对于乙班的平均值比较分散，所以甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，D项错误．故选AB项．

10．BC【解析】由图像可知，解得，，A项错误，B项正确；由图像可知，，所以直线为图像的一条对称轴．因为，所以，又，所以，C项正确；，由五点作图法可知，所以，D项错误．故选BC项．

11．BCD【解析】由，得，所以，整理得．A项错误；由题意可知．对于B项，，B项正确；由，得，即，则．C项正确；设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为分钟，则，设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为分钟，则，因为，所以，D项正确．故选BCD项．

12．ABC【解析】设ts时A与B重合，由题意可知，，解得，．若B的坐标为，则，，则，整理得，，，显然当，时，成立，所以A项正确；若B的坐标为，由上可知，，整理得，，，显然当，时，成立，所以B项正确；若B的坐标为，由上可知，，整理得，，，显然当，时，成立，所以C项正确；若B的坐标为，由上可知，，整理得，，，因为为偶数，为奇数，所以不存存，，使得成立，所以D项错误．故选 ABC项．

三、填空题

13．【解析】由，得，解得，则．

14．【解析】要使工件加工后的表面积最大，则取得最大值，令，当时，取得最大值，此时加工后的工件体积为．

15．【解析】在中，，，

由正弦定理得，所以，

由，

得．

16．【解析】由题意可知在上单调递减，则．

又在上单调递减，所以，解得，且，解得．

综上，，故a的取值范围为．

四、解答题

17．解：（1）由条件与正弦定理可知，，所以，

又，所以．

（2）选择①②．

由（1）得，

由②得，所以，

又，所以由余弦定理得，

即，所以，

解得，或，．故a与c的值分别为5，3或3，5．

选择①③．

由余弦定理得，即，所以，

解得，或，．故与c的值分别为5，3或3，5．

选择②③．

由（1）得，

由②得，所以，

又，解得，或，．故a与c的值分别为5，3或3，5．

18．解：（1）由，得，

因为，所以，所以．

（2）由，得，

整理得，又，所以（负值舍去）．

则，．

，

，故．

19．解：（1）成绩在的频率为．

补充完整的频率分布直方图如下图所示：

（2）由频率分布直方图可知成绩小于80分的学生所占

比例为，

成绩小于90分的学生所占比例为，所以第60百分位数一定在内，

因为，所以估计该校所有学生成绩的第60百分位数约为83.75分．（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在内的有3人，分别记为，，；成绩在内的有4人，分别记为，，，．

则从这7人中随机抽取2人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种；

记这2人来自不同分组为事件A，其基本事件有，，，，，，，，，，，，共12种，

故这2人来自不同分组的概率为．

20．解：（1）由题意可知，

因为在区间上单调，所以当时，，

则的图像的一个对称中心为．

（2）由题意可知的最小正周期，所以，

因为，所以，2或3．

由（1）可知，，，

因为，所以，

所以，或，．

若，．

则，，，即，，，

易知，所以不存在，，使得，2；

当时，；此时，，

由，得，所以．

若，，

则，，，即，，，

易知，不存在，，使得，2或3．

综上，．

21．解：（1）当时，在上单调递增，此时，无最小值．要使取得最小值－1，则

在上单调递减，所以，则，所以．

（2）令，则，

解得或．

要求的零点个数，即求的图像与两直线，的交点个数．

由（1）可作出在上的图像，如图所示，

当时，所以，解得，的图像与直线有1个交点；

当时，若，即时，的图像与两直线，有3个交点；

若，即时，的图像与两直线，有2个交点；

若，即时，f（x）的图像与两直线，有1个交点．

综上，当时，有3个零点；当时，有2个零点；当或时，有1个零点．

22．（1）证明：由题意与余弦定理得，

由正弦定理得，

所以，

因为为锐角三角形，所以，

故．

（2）解：设，代入，得，即，

由三角形三边关系可知，，

所以，即，

整理得，且，解得，

所以，

又，所以，