2023湖北省高中名校联盟高一下学期5月联合测评试题数学含解析

湖北省高中名校联盟2022~2023学年度下学期高一联合测评

数学试卷

命题学校及命题人：夷陵中学    杜朝阳、杨晓璐    审题单位：圆创教育教研中心    湖北省武昌实验中学

本试题共4页，22题．满分150分．考试用时120分钟．    考试时间：2023年5月29日下午15：00—17：00

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．    D．

2．已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（    ）

A．     B．    C．1    D．2

3．立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是（    ）

A．过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面

B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

C．平行于同一条直线的两条直线平行

D．垂直于同一条直线的两条直线平行

4．已知向量满足，则（    ）

A．    B．1    C．5    D．

5．点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，起点为圆与轴正半轴的交点，点为与圆的交点，记点运动到点，使得（点在第二象限），则点的坐标为（    ）

A．    B．

C．    D．

6．将函数向右平移个单位长度后得到一个偶函数，则实数的最小值为（    ）

A．    B．    C．     D．

7．在直三棱柱中，，过点作直线与和所成的角均为，则的最小值为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．在中，分别为角所对的边，的面积为，则的取值范围为（    ）

A．    B．     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知为虚数单位，则（    ）

A．复数在复平面内对应的点位于第四象限

B．

C．

D．，则

10．已知向量，则（    ）

A．若，则         B．的最小值为

C．可能成立    D．的最大值为3

11．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（    ）

A．平面

B．的最小值为

C．直线与平面、平面、平面所成的角分别为，则

D．点关于平面的对称点为，则到平面的距离为

12．在中，角的对边分别为为的外心，则（    ）

A．若有两个解，则

B．的取值范围为

C．的最大值为9

D．若为平面上的定点，则点的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在中，内角所对的边分别为．若，则______________．

14．已知点，则在上的投影向量为______________．（用坐标表示）

15．已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为______________（写出一个即可）．

16．已知正三棱锥的侧棱长为3．过顶点作底面的垂线，垂足为，过点作侧面的垂线，垂足为，过点作平面的垂线，垂足为，连接相关线段形成四面体，则四面体的外接球的表面积为______________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，向量的夹角为，其中．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

18．（12分）在中，角的对边分别为．

（1）求的大小；

（2）若为锐角，求的取值范围．

19．（12分）意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，为半圆弧上的点，，阴影部分为弦与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．

（1）写出该几何体的主要结构特征（至少两条）；

（2）计算该几何体的体积．

20．（12分）某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场．如图，经过测量，中间是一条道路，其面积忽略不计．

（1）求的值；

（2）的面积分别记为，求的最大值．

21．（12分）如图，在正四棱锥中，分别为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中．

22．（12分）（1）已知函数，指出函数的单调性．（不需要证明过程）；

（2）若关于的方程在有实数解，求实数的最大值．

湖北省高中名校联盟2022~2023学年度下学期高一联合测评

数学试卷参考答案与评分细则

一、选择题

1．D  【解析】．

2．B  【解析】且．

3．D  【解析】根据四个基本事实可知前三个都是立体几何中的基本事实．

4．A  【解析】由．

5．B  【解析】且，．

6．C  【解析】将函数向右平移个单位长度得到函数，由函数是偶函数得到，又，．

7．C  【解析】为异面直线和所成的角，又，，过点作直线的平行线，则与的角平分线重合时，取得最小值．

8．B  【解析】由．

，

从而，

，

．

9．ACD  【解析】A对，对应的点坐标为在第四象限；

B错，；

C对，，故；

D对，．

10．BC  【解析】A错，若，则．又．

B对，，当时，；

C对，由选项B可知，当时，，则；

D错，，

当时，．

11．ACD  【解析】A对，平面平面平面；

B错，将平面和平面展开到同一个平面，连接即为所求最小值．用余弦定理或者过作延长线的垂线，再用勾股定理均可得出；

C对，当为或时，易求得；当为线段中间的点时，过作与平面、平面、平面平行的平面，构成一个新长方体，其长、宽、高分别设为，则；

D对，因为平面，且垂足为上靠近的三等分点，则关于平面的对称点为把延长倍，于是到平面的距离为．

12．ABD  【解析】A对，有两解的情形为；

B对，由正弦定理，得外接圆半径，

于是；

C错，法一：用投影向量求解：当在上的投影向量模最大且与之同向，取得的最大值，此时最大值为；

法二：转化到圆心：；

D对，由正弦定理知点在半径为的优弧上运动，但是由两段优弧拼接成葫芦状，所以长度为．

三、填空题

13．  【解析】在中，由正弦定理可解出，又，故．

14．  【解析】，由投影向量公式可得．

15．  【解析】取，则符合题意．

16．  【解析】正三棱锥为正方体的一个墙角，为等边的中心．

因为平面平面平面，则在上．

知四面体为鳖臑模型，则即为外接球的直径，即．（本题也可以把立体图形放在正方体中，更方便理解各个垂足所在的位置）

四、解答题

17．（1）与不共线，∴由．                5分

（2）．            10分

18．（1）由

．                3分

又．            4分

，则，又或．            6分

（2）∵角是锐角，由（1）得．            7分

．            9分

．        11分

的取值范围是．                12分

19．（1）该几何体中间空心部分为一个圆柱和两个等高的圆锥拼接而成的组合体，且圆柱的上下底面分别为两个圆锥的底面．该旋转体为球体挖去上述组合体而形成的几何体．（写出“圆柱”、“圆锥”、“球”中一项给1分，两项给3分）                    3分

（2）连接，则．分别过作的垂线，垂足分别为．

，则．

同理，即．            6分

体积为球的体积，碱去两个圆锥的体积，减去圆柱的体积．                12分

20．（1）在中，，根据余弦定理，．

同理，在中，．

所以，化简得．                5分

（2）由（1）有．

由题意，            7分

同理可得，的面积，．            10分

令，则

，

所以，当时，取得最大值，最大值为98．                12分

21．（1）连，并取中点，连．

．

．            4分

（2）设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接．

由，则，则为等边三角形．

因为平面平面，所以到平面的距离等于到直线的距离．

．                5分

在中，用余弦定理，得．

则．

则到直线的距离．                7分

直线与平面所成角的正弦值．            8分

（此问若直接说明为所求的角，从而计算也可给8分；或者用等体积法求距离均可．）

（3）过作于，设，则，，

由，得，解出．

即点为上靠近点的三等分点．                9分

在中，．

四棱锥的高，则．            10分

四边形的对角线垂直，则，

下方几何体体积，

所以．            12分

22．（1）当时，在上单调递增；                1分

当时，在上单调递增；                3分

当时，在上单调递减，在上单调递增．            5分

（2），令，

则．

则原方程化简为．            7分

因为，则方程进一步转化为．            10分

令，由（1）及知．

则，由（1）知关于的函数在单调递减，

所以当时，的最大值为．                12分