2022-2023学年浙江省91高中联盟高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年浙江省91高中联盟高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据交集定义计算即可.

【详解】.

故选：D.

2．已知复数（其中是虚数单位）是纯虚数，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数，根据复数的概念可得出关于的等式与不等式，解之即可.

【详解】因为为纯虚数，

则，解得.

故选：A.

3．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式计算可得出的值.

【详解】，

故选：B.

4．已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.

【详解】由条件可知,

由，解得：.

故选：C.

5．下列说法正确的是（    ）

A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的几何体是圆锥

B．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥

C．将三棱锥展开后，所得平面图形一定不可能是正方形

D．任何直三棱柱都可以找到一个球，使得三棱柱的6个顶点都在该球面上

【答案】D

【分析】根据空间几何体的概念和性质进行判断即可.

【详解】以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的几何体是圆锥，A错误；

底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形的几何体图形为正四棱锥，有定义可知正方体的顶点为顶点不可以构成正四棱锥，B错误；

如图即可将一个正方形折叠为三角锥形，其中A、B为正方形两个边的中点，C为正方形的顶点，C错误；

直三棱柱的两个底面的外接圆圆心连线中点就是该三棱柱外接球球心，且使得三棱柱的6个顶点都在该球面上，D正确.

故选：D.

6．如图，在平行六面体中，所有棱长为，，，分别取上的点使，以为圆心，为半径分别在平面和平面内作弧，并将两弧各六等分，等分点依次为以及，一只蚂蚁欲从点出发，沿平行六面体表面爬行至，则其爬行的最短距离为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面，连接，则的长度即为所求最短距离.

【详解】如图，将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面，

连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短距离，

因为，分别为弧的六等分点，且，，

所以，，

所以，

又因为，所以，

故选：B

7．已知向量满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，设，得到向量的终点在直线，再设，得到向量的终点落在圆心为的圆上，结合图象，即可求得的取值范围.

【详解】如图所示，因为，可设，

又因为，则向量，其中，即向量的终点在直线，

设向量，由，可得，

即向量的终点落在圆心为，半径的圆上，

结合图象可得，当向量的终点与重合，且向量的终点与点重合时，

此时向量取得最小值，最小值为，

当或是，可得，

所以的取值范围是.

故选：B.

8．已知函数的定义域均为，且为偶函数，函数满足，对于，均有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据可知是以6为周期的函数，则，根据函数的对称性可得.由可得.

结合、计算求出和即可.

【详解】，

两式相减，得，所以函数是周期函数，周期，

有.

因为为偶函数，图象关于y轴对称，

将的图象上的点横坐标扩大3倍，纵坐标不变，得，图象关于y轴对称，

再向左平移一个单位长度，得，图象关于对称，

有.

又，令，则，即.

当时，，

则①，，

所以，即②，

由①②，得，解得，所以，

又，所以.

故选：A.

【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．

二、多选题

9．以下四个命题中，真命题的是（    ）

A．不等式的解集为

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】ABD

【分析】利用分式不等式的解法可判断AC选项；利用作差法可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，由可得，解得，

所以，不等式的解集为，A对；

对于B选项，若，则，，则，故，B对；

对于C选项，若，则，

所以，，则，所以，，可得，

所以，若，则且，C错；

对于D选项，当，时，

对于函数，当时，随着的增大而减小，则，D对.

故选：ABD.

10．若向量满足，则（    ）

A．向量的夹角为或

B．向量在向量上的投影向量为

C．在平行四边形中，若，则该平行四边形的面积是

D．在平面四边形中，是的中点．若，且，则该四边形是梯形

【答案】BCD

【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可判断A；根据投影向量的概念计算即可判断B；根据三角形的面积公式计算即可判断C；根据平面向量的线性运算可得，即可判断D.

【详解】A：由，得，

又，所以，故A错误；

B：向量在上的投影向量为，故B正确；

C：由选项A分析可知，则，

所以平行四边形的面积为，故C正确；

D：，因为E是BC的中点，

所以，

又，所以，

得，即，所以四边形ABCD为梯形，故D正确.

故选：BCD.

11．在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是（    ）

A．关于的方程的解为

B．复数的虚部是

C．若复数满足，则

D．已知，若是关于的方程的一个根，则

【答案】BC

【分析】求出方程的解判断A；利用复数乘方、除法运算计算判断B；设出复数的代数形式求出复数，求出复数模判断C；利用方程根的意义结合复数相等判断D作答.

【详解】对于A，方程化为，解得或，A错误；

对于B，，即复数的虚部是，B正确；

对于C，设，则，于是，

解得，所以；

对于D，依题意，，即，

于是，解得或，D错误.

故选：BC

12．如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（    ）

A．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面为，则都是所在棱的中点

B．当底面水平放置后，将容器绕着转动（转动过程中始终保持水平），有水的部分是棱柱

C．在翻滚､转动容器的过程中，有水的部分不可能是三棱锥

D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为

【答案】BCD

【分析】根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断A；根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断BC；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D.

【详解】A：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点，

设水面到底面的的距离为，，

所以水的体积为，

又转动前水的体积为，

所以不为所在棱的中点，故A错误；

B：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面，

所以有水的部分是棱柱，故B正确；

C：在翻滚､转动容器的过程中，

当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图，

此时，

而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C正确；

D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA，

则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心，

所以为外接球的半径，且，

所以直三棱柱外接球体积.

由选项A可知，容器中水的体积为，

又，所以，

当且仅当时等号成立，所以，

则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为，

即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知问量，则与垂直的单位向量是__________．

【答案】或

【分析】设与垂直的单位向量为，根据单位向量的定义以及平面向量垂直的坐标表示可得出关于、的方程组，解之即可.

【详解】设与垂直的单位向量为，由题意可得，

解得或，

故垂直的单位向量是或.

故答案为：或.

14．山楂冰糖葫芦是将可近似为球的山楂外围裹上冰糖浆凝固制成的，假设山楂大小均匀，直径均约为3cm，外层冰糖层均匀裹在山楂上，厚度在0.5cm左右，若有的冰糖浆，则大约可制作__________颗冰糖葫芦（取3，最后结果精确到整数）．

【答案】54

【分析】利用球的体积公式分别求出一个山楂涂上糖浆前后的体积，相减，进而得出结果.

【详解】一个山楂的体积为，

一个山楂涂上糖浆后的体积为，

所以一个山楂需要糖浆，

，

所以大约可制作54个冰糖葫芦．

故答案为：54.

15．已知分别是三内角的对边，且满足，则的是__________三角形．（填三角形的形状特征）

【答案】直角

【分析】边化角，结合降幂公式化简整理可得.

【详解】解析：由正弦定理和降幂公式可得，

即

又，

所以

即

因为，

所以，

即

因为，所以，得，故为直角三角形．

故答案为：直角

16．已知是边长为6的正三角形，，若点是边上的动点，则满足的点有__________个．

【答案】3

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，找出各点坐标，根据向量坐标与向量之间的关系列式求解即可.

【详解】建系如图，，

由可得．

①当在边上运动时，设，

，得或，此时2个；

②当点在线段上运动时，设，

，得或，此时1个（与①中重合）；

当点在线段上运动时，设，

，得，此时1个，共3个．

故答案为：3.

四、解答题

17．已知向量．

(1)若，求的值：

(2)若，求向量的夹角的余弦值．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用两向量平行的坐标表示即可求解；

（2）利用向量的模的坐标表示及向量的夹角公式的坐标表示即可求解.

【详解】（1）因为，且，

所以，即，解得或，

故的值为或.

（2）因为，

所以，即解得.

当时，，

所以.

当时，，

所以.

故向量的夹角的余弦值为或.

18．已知函数．

(1)求函数的周期及在上的单调递增区间：

(2)若关于的方程在上有两个不同的实数根．求实数的取值范围．

【答案】(1)；递增区间是

(2)

【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数后应用周期公式和单调递增区间求解即得；

（2）根据方程有两个不同的实数根求解值域即可.

【详解】（1）

周期为

所以递增区间是；

（2）

因为方程在上有两个不同的实数根,

.

19．如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求：

(1)四棱锥的表面积；

(2)三棱锥的体积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求斜高，然后直接计算可得；

（2）根据M、N的位置，将所求三棱锥体积问题转化为求三棱锥的体积.

【详解】（1）作，垂足为E，

由正四棱锥性质可知，E为BC中点，所以

所以；

（2）作平面ABCD，由正四棱锥性质可知O为BD的中点

因为

所以

又是的中点，

所以

．

20．如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车在同一铅垂平面内且相距50米．假设甲､乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为．

(1)求缆车相对甲乙所在水平面的高度；（结果用表示）

(2)若测得，求缆车之间的距离．

【答案】(1)

(2)米

【分析】（1）如图，设A相对甲、乙所在的水平高度为h，则，结合计算变形即可求解；

（2）由（1），根据题意可得，则，根据正弦定理求出，结合余弦定理计算即可求解.

【详解】（1）过A作于E，设A相对甲、乙所在的水平高度为h，

则，

即，所以，

即A相对甲、乙所在的水平高度为；

（2）由（1）得，

所以，

在中，，则，

由正弦定理得，

在中，，,

由余弦定理，得

，

(米).

21．已知函数是偶函数．

(1)求的值；

(2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用偶函数的定义结合对数运算可求得实数的值；

（2）分析函数在上的单调性，令，，则对恒成立，对实数的取值进行分类讨论，验证对能否恒成立，综合可得出的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以，

，

因为函数为偶函数，则，即，

所以，，解得.

（2）由（1）可得

，

，

任取、，且，则，

，

当时，，则，

所以，，即，

当时，，则，

所以，，即，

所以，函数在上递减，在上递增，

令，问题转化为：，即，

再令，所以，对恒成立．

（i）当时，左边，右边，不符合题意

（ii）当时，

①当时，则，，

当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；

②当时，有，

所以，，

当，则，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，

所以，，此时，；

③当时，恒成立，符合题意．

综上所述，的取值范围是，的取值范围是．

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22．在平面四边形中，．

(1)若在锐角中，，求周长的取值范围；

(2)若，求的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，在中用正弦定理求出AB，BD，利用三角恒等变换化简，利用整体代换法求出三角函数值域即可解答；

（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算即可求解.

【详解】（1）设，

则在中，由正弦定理得，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以周长的取值范围为；

（2）在中，，

在中，，所以，

整理得，

所以，

又，

所以，

所以,

所以.