2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第二次阶段性检测数学试题含答案

  长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第二次阶段性检测

数  学

时量：120分钟     满分：150分   得分：______

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（    ）

A.  B.  C. 16 D. 8

3. 已知复数z满足，若，则复数z为（    ）．

A.  B.

C. 或 D. 或

4. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知函数满足，，则下列说法正确的是（    ）．

A.  B.

C.  D.

7. 如图，，，，，点在棱上的射影分别是，若，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A. 若，，则直线a，b一定相交

B. 若，，则

C. 若，，则直线a平行于平面内的无数条直线

D. 若，，，则a与b是异面直线

10. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（    ）

A. 若，则

B.

C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于

D. 若，，则的最小值为

11. 正方体ABCD-棱长为a，E在棱上运动(不含端点)，则（    ）

A. 侧面中不存在直线与DE垂直

B. 平面与平面ABCD所成二面角

C. E运动到的中点时，上存在点P，使BC∥平面AEP

D. P为中点时，三棱锥体积不变

12. 已知函数（），则下列说法正确的是（    ）

A. 在区间上单调递增

B. 在上的值域为

C. 的最小正周期为

D. 的图象可以由函数的图象，先向左平移个单位，再向上平移个单位得到

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，，则的最小值为______.

14. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，且该四棱锥的五个顶点在一个球面上，则这个球的表面积______.

15. 在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为__________.

16. 已知实数x，y满足，，则______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，，且与夹角为，求：

（1）；

（2）与的夹角的余弦值.

18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.

（1）求角A；

（2）若，求△ABC面积的最大值.

19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数

的图象.

（1）求函数在区间[，]上的单调递减区间；

（2）若对于恒成立，求实数m范围.

21. 如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直线AM与直线PC所成的角为60°.

（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求异面直线PA与MB所成角的余弦值.

22 函数.

（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）当时，为定义域为R的奇函数，且时，，若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.

长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第二次阶段性检测

数  学

时量：120分钟     满分：150分   得分：______

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

2. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（    ）

A.  B.  C. 16 D. 8

【答案】B

3. 已知复数z满足，若，则复数z为（    ）．

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

4. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

6. 已知函数满足，，则下列说法正确的是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

7. 如图，，，，，点在棱上的射影分别是，若，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

8. 已知函数，若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A. 若，，则直线a，b一定相交

B. 若，，则

C. 若，，则直线a平行于平面内的无数条直线

D. 若，，，则a与b是异面直线

【答案】BC

10. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（    ）

A. 若，则

B.

C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于

D. 若，，则的最小值为

【答案】AC

11. 正方体ABCD-棱长为a，E在棱上运动(不含端点)，则（    ）

A. 侧面中不存在直线与DE垂直

B. 平面与平面ABCD所成二面角为

C. E运动到的中点时，上存在点P，使BC∥平面AEP

D. P为中点时，三棱锥体积不变

【答案】BCD

12. 已知函数（），则下列说法正确的是（    ）

A. 在区间上单调递增

B. 在上的值域为

C. 的最小正周期为

D. 的图象可以由函数的图象，先向左平移个单位，再向上平移个单位得到

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，，则的最小值为______.

【答案】

14. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，且该四棱锥的五个顶点在一个球面上，则这个球的表面积______.

【答案】

15. 在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为__________.

【答案】2

16. 已知实数x，y满足，，则______.

【答案】6

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，，且与夹角为，求：

（1）；

（2）与的夹角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用来计算求；

（2）设与的夹角为，先求出，再利用向量夹角公式来计算即可.

【小问1详解】

由已知可得，

；

【小问2详解】

设与的夹角为，

又，

.

18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.

（1）求角A；

（2）若，求△ABC面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）因为，根据正弦定理“边化角”，结合正弦两角和公式，即可求得角；

（2）根据余弦定理求得关系式，结合均值不等式和三角形面积公式，即可求得的面积的最大值.

【小问1详解】

由，根据正弦定理得：

，  

又，代入上式得：，

，  

又，所以，  

又，所以 .

【小问2详解】

由余弦定理得：

，代入得：，  

根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，  

的面积为：，  

故面积的最大值为.

19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；

（2）分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求.

【小问1详解】

证明：因为四边形是矩形，所以，，

因为平面，平面，所以平面，  

因为，平面，平面，所以平面，  

因为，、平面，则平面平面，

因为平面，所以，平面.

【小问2详解】

解：因为，，所以，二面角的平面角为，

由题意可得，

又因为，、平面，所以，平面，

过点在平面内作，垂足为点，

因为平面，所以，

又因为，、平面，所以平面，

连接，所以直线与平面所成角为， 

因为，，，则，

因为，则，

所以.

直线与平面所成角的正弦值为

20. 已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数

的图象.

（1）求函数在区间[，]上的单调递减区间；

（2）若对于恒成立，求实数m的范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用辅助角公式可将化为，因[，]，则

，后由在上的单调递减区间可得答案；

（2）由题可得，后利用在单调性可得.

方法1：令，则等价于

，，后分三种情况，利用分离参数结合函数单调性可得答案；

方法2：令，则等价于

，，则，即可得答案.

【小问1详解】

.

因[，]，则，又分别在上单调递增和递减，

则，即函数在区间[，]上的单调递减区间为；

【小问2详解】

函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，

所得解析式为，

又将所得函数图象向右平移个单位长度，

解析式为，则.

因，则.

又在上单调递增，在上单调递减，

则，故.

方法1：令，则等价于

，.

当时，，则此时m可取任意值；

当时，，

注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；

当时，，

注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；

综上可得：.

方法2：令，则等价于

，.

则.

【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大.

（1）问较为基础，（2）问为恒成立问题，方法1转化为最值问题，方法2利用二次函数观点解决问题.

21. 如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直线AM与直线PC所成的角为60°.

（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求异面直线PA与MB所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）证明平面，原题即得证；

（2）设是的中点，连接，，，证明是异面直线与所成角（或其补角），再利用余弦定理求解.

【小问1详解】

依题意，，，，平面，  

所以平面，由于平面，

所以平面平面 .

【小问2详解】

设是的中点，连接，，，

由于，，所以四边形是平行四边形，所以， 

由于平面，所以平面，

而，  

由于直线与直线所成的角为60°，即，

所以，

由于，，所以四边形平行四边形，

所以，所以是异面直线与所成角（或其补角），  

由于平面，平面，所以，，

在三角形中，由余弦定理得，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

22. 函数.

（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）当时，为定义域为R的奇函数，且时，，若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）等价于恒成立，再求出的范围即得解；

（2）先利用函数的奇偶性求出的解析式，分析得到已知等价于，再分析函数的图象得解.

【小问1详解】

由题恒成立，则恒成立，

由于，，所以，

所以.

【小问2详解】

当时，；若，，，

又因为为定义域为R的奇函数，

所以当时，，所以，

方程等价于，

根据解析式可知，

当时，，

当时，，

当时，，

因此，，

故方程即为，

由于在上是单调递增函数，

故方程即为等价于，即：，

当时，函数在单调递减，在上单调递增，

要使得有两个不同的实数解，即，即，

当时，同理可得，

综上可知，