2023年内蒙古包头市青山区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2023年内蒙古包头市青山区中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”“米”表示的意义为(    )

A. 高于海平面米 B. 低于海平面米
C. 比“拉索”高米 D. 比“拉索”低米

2.  神舟十三号飞船在近地点高度，远地点高度的轨道上驻留了个月后，于年月日顺利返回．将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，点在上，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将先向左平移个单位，再作出其关于轴的对称图形，则点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，由边长为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点和点，则(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  在“双减”政策后，学校对某班同学一周七天每天完成课外作业所用的平均时间进行了调查统计，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是(    )

A. 一周完成课外作业所用时间的平均数为
B. 每天完成课外作业所用时间的中位数是
C. 每天完成课外作业所用时间的众数是
D. 每天完成课外作业所用时间的最大值与最小值的差为分钟
 

10.  如图，在▱中，，按如下步骤作图：以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径在右侧作弧，两弧交于点，射线交于点若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列命题是真命题的是(    )

A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是且
C. 若关于的一元一次不等式组无解，则的范围是
D. 若点是线段的黄金分割点，则

12.  如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，将沿折叠得到，点落在边上，连接现有如下个结论：；；；在以上个结论中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

13.  分解因式：______．

14.  计算：______．

15.  在一个不透明的袋子里，有个除颜色外，其他都相同的小球．其中有个是红球，个是绿球，每次拿一个球然后放回去，拿次，则有一次取到绿球的概率是______．

16.  菱形的两个内角的度数比是：，一边上的高长是，则菱形的面积是______．

17.  如图，某游乐场的大型摩天轮的半径是，摩天轮的中心离地面距离为，摩天轮旋转周需要小明乘坐摩天轮从底部处出发开始观光，已知处离地面的距离为，小明第一次到达处需要        ．

18.  端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋元，每天可售出袋；若售价每降低元，则可多售出袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到元？若设每袋粽子售价降低元，则可列方程为______ ．

19.  如图，反比例函数与矩形一边交于点，且点为线段中点，若的面积为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为、、、．
一名乘客通过该站闸口时，求他选择闸口通过的概率；
当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．

21.  本小题分
小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点处测得小山顶端的仰角为，小山顶端在水中倒影的俯角为若点到湖面的距离，，，、、三点共线，，求小山的高度光线的折射忽略不计；结果保留根号

22.  本小题分
某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校千米的某风景区，由于有几名学生未到学校，甲车先出发，一段时间后乙车从学校出发，两车在一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后出现故障；停车检修，当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程单位：与甲车行驶时间单位：的函数图象．
______ ，乙车的速度是______ ；
求段的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
直接写出乙车出发多长时间乙车追上甲车．

23.  本小题分
如图，内接于，，点，分别在和上，且，连接，并延长交于点，连接分别交，于点，．
求证：；
试猜想与的数量关系，并说明理由；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

如图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
若把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
若把绕点在平面内自由旋转，，，请求出面积的最大值．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点和点，与轴交于点．
Ⅰ求点的坐标；
Ⅱ点是抛物线上的动点，当时，求出点的坐标；
Ⅲ直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点若点为轴上方二次函数图象上一动点，过点作直线，分别交直线于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：区分高出海平面与低于海平面的高度，高出海平面用号表示，
故“米”表示的意义为低于海平面米．
故选：．
根据正负数的意义，表示相反意义的量，可得结果．
本题考查正数，负数的意义，熟练掌握正负数是表示相反意义的量是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握的指数比原来的整数位数少是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
平分，
．
．
故选：．
根据平行线的性质，由，得根据角平分线的定义，得平分，那么，进而求得．
本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
，
故选：．
根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：



．
故选：．
先通分，再计算，然后化简，即可求解．
本题主要考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：
为平移后的三角形；
为关于轴的对称图形．
由图可知，点的对应点．
故选：．
先根据平移的性质画出平移后的三角形，再根据关于轴的点的坐标特点描出各点，把各点连接起来，得出点坐标即可．
本题考查的是坐标与图形变化，熟知关于轴对称的图形与图形平移的性质是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由三视图可知圆柱的底面直径为，高为，
底面半径为，
，
故选：．
由已知三视图为圆柱，首先得到圆柱底面半径，从而根据圆柱体积底面积乘高求出它的体积．
此题考查的是圆柱的体积及由三视图判断几何体，关键是先判断圆柱的底面半径和高，然后求其体积．
 

8.【答案】 

【解析】解：为直径，
，
在中，，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理得到，，再利用正切的定义得到，从而得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角．也考查了正切的定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知，这一周完成课外作业所用时间的平均数是，
故A选项符合题意；
把数据从小到大排列，中位数是第个数，所以中位数是，故B选项不符合题意；
每天完成课外作业所用时间出现次，出现次数最多，所以众数是，故C选项不符合题意；
每天完成课外作业所用时间的极差是分钟，故D选项不符合题意；
故选：．
根据众数，中位数，平均数、极差的定义解答即可．
此题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了极差、中位数、平均数、众数的相关知识．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：
由作图知，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，，，
，
；
故选：．
证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，再由三角函数定义即可得出结果．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识；证明四边形是菱形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：三角形的内心到三角形三边的距离相等，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B.当时，方程为，方程有一个实数根；当时，关于的方程有实数根，则，解得：，综上所述，的取值范围是，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
C.若关于的一元一次不等式组无解，则的范围是，原命题是真命题，故此选项符合题意；
D.若点是线段的黄金分割点且，则，原命题是假命题，故此选项不符合题意．
故选：．
利用三角形的内心的性质，一元二次方程根的判别式，一元一次不等式组的解法，黄金分割的概念进行判断即可．
本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握三角形的内心的性质，一元二次方程根的判别式，一元一次不等式组的解法，黄金分割的概念是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由折叠得：≌，
，，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
≌，
，
，
故正确；
点是边的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
故正确；
设，则，
由≌得：，
点是边上的中点，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：，
，
故不正确，
，
，
，
和等高，
，
则，
，
故正确．
故选：．
根据证明两三角形≌即可判断；根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，得，所以，即可判断；根据折叠的性质和线段中点的定义可得，设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可判断；先求的面积，根据和等高，可知 ，，即可判断．
本题考查翻折变换折叠问题，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接化简二次根式，进而合并求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由列表可知共种等可能的结果，其中有一次取到绿球的结果有种，
所以拿次，则有一次取到绿球的概率，
故答案为：．
列举出所有情况，数出有一次取到绿球的情况占总情况数的多少即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作于点，

菱形的两个内角的度数比是：，
，，
，
则，
，
，
菱形的面积是．
故答案为：．
直接利用菱形的性质结合平行线的性质得出，进而求出菱形的边长，即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确求出菱形的内角度数是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作地面所在直线的垂线，垂足为，于，如图：

根据题意，，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
小明第一次到达处需要．
故答案为：．
过作地面所在直线的垂线，垂足为，于，证明四边形是矩形，由锐角三角函数定义求出，得，再列式计算可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，画出图形，求出所对的圆心角．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，
超市每天售出此种粽子的利润．
故答案为：．
由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，则的坐标为，
为线段的中点，
，
、在反比例函数的图象上，
，

，
解得：，
故答案为：．
根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出或的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
 

20.【答案】解：一名乘客通过该站闸口时，他选择闸口通过的概率为；
画树状图得：

由树状图可知：有种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有种结果，
两名乘客选择相同闸口通过的概率． 

【解析】直接根据概率公式求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：
，
设，则，
，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
小山的高度为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，从而可得，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：由图象得，甲的函数图象是线段，可设，经过，
，
解得：，
，
当时，
，
．
故答案为：，．
当时，
，
解得：，
，
乙行驶的时间为，
，
，
设段的函数解析式，则有
，
解得：，
段的函数解析式．
由得：
，
解得：，
．
故乙车出发乙车追上甲车．
根据图象可求，从而可求，进而可求乙的速度；
由可求，，即可求解；
由可求已追上甲时家出发的时间，进而可求解．
本题考查了一次函数的在行程问题中的应用，正确理解自变量和因变量的意义是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
；
解：，理由如下：
连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
同理得，
，
，
，
，，
，
∽，
即，
． 

【解析】根据等弧所对的圆周角相等得，即可求证；
连接，利用圆周角定理以及平行线的性质得出，，根据三角形内角和定理可得，等量代换得，则，由得，即可得；
利用圆周角定理以及平行线的性质得出，则，同理得，则，根据等弧所对的圆周角相等得出，，可得∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查圆综合题，相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，圆的有关性质等知识，解本题的关键是熟练掌握圆的有关性质，是一道很好的中考压轴题．
 

24.【答案】，；
是等腰直角三角形
理由：由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，利用三角形的中位线得，，
，
利用三角形的中位线得，，
，
，





，
，
，
，
是等腰直角三角形；

由知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，的面积最大，
，
．
． 

【解析】解：如图，在中，，，，
，．
点，分别为，的中点．
是的中位线，
，且．
同理，，且．
，．
故答案是：，；

利用三角形中位线定理进行证明；
由题意可证≌，可得，，根据三角形中位线定理，可证，，，根据角的数量关系可求，即可证是等腰直角三角形；
由题意可得，最大时，面积最大，点在的延长线上，即可求出面积的最大值．
本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形性质和判定，三角形中位线定理，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．
 

25.【答案】解：Ⅰ将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为，
当时，，
则点的坐标为：；

Ⅱ当点在轴上方时，
过点作轴交抛物线于点，

则，
则点、关于抛物线对称轴对称，
故点；
当点在轴下方时，
设直线交轴于点，
由抛物线的表达式知，点，
，
则，
设点，
则，
解得：，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，
即点的坐标为：，
故点的坐标为：或；

Ⅲ设点的坐标为：，
则直线的表达式为：，

将点的坐标代入上式得：，
则，
则直线的表达式为：，
当时，，
则；
同理可得，直线的表达式为：，
当时，，
则为定值，
即为定值，定值为：． 

【解析】Ⅰ将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，进而求解；
Ⅱ当点在轴上方时，过点作轴交抛物线于点，即可求解；当点在轴下方时，证明，进而求解；
Ⅲ求出直线的表达式为：，得到，同理得到的长度，进而求解．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键掌握代入法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等．