重庆市育才2021-2022高一上学期数学期中试卷及答案

重庆育才中学2021-2022学年（上）学期高2024届期中考试

数学试卷

本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷  选择题（满分60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数，则函数的单调递增区间为（　   ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知命题：任意，有，则命题的否定形式为（     ）

A. 存在，有. B. 存在，有.

C. 任意，有. D. 存在，有.

4. 设，，则是的（　  ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知正数满足，则代数式的最大值为（　   ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，则，，的大小关系为（     ）

A  B.

C.  D.

7. 若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（　　）

A.  B.

C.  D.

8. 设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．

9. 下列函数中，在定义域上是单调函数的是（     ）

A.  B.

C.  D.

10. 对任意的正数，下列选项正确的是（　   ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

11. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（　   ）

A.  B. 恒过定点

C. 若时，关于轴对称 D. 若时，

12. 对于任意实数，均能写成的整数部分与小数部分的和，其中称为的整数部分函数，称为的小数部分函数，即. 比如，其中；，，则下列的结论正确的是（    ）

A  B.

C.  D. 存在，使得.

第Ⅱ卷  非选择题（满分90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 满足的集合A的个数是_______.

14. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________.

15. 已知函数，则函数的解析式为________.

16. 定义“函数”如下：若函数在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”. 已知是定义在上的“函数”，则实数的取值范围为________．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算下列各式值：

（1）.

（2）.

18. 已知函数（其中）为定义在上的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）设试判断函数在的单调性，并用定义法证明你的结论？

19. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，最大月产量是台.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.

（1）将总利润（单位：元）表示为月产量（单位：台）的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+总利润）

20. 已知函数.

（1）设函数，求函数在上的值域；

（2）若方程在上有解，求的取值范围．

21. 已知函数（其中且），且.

（1）求函数的解析式；

（2）试判断的奇偶性，并证明；

（3）设，请直接写出的单调区间（无需证明）.

22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足：，则称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点.

（1）函数是否是上“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由；

（2）现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围.

重庆育才中学2021-2022学年（上）学期高2024届期中考试

数学试卷

本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷  选择题（满分60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出集合A、B,求出.

详解】，，

所以.

故选：D

2. 已知函数，则函数的单调递增区间为（　   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的对称轴，再根据开口方向，即可求解.

【详解】解：，故函数的对称轴为：，

又函数开口向下，故函数的单调递增区间为：，

故选:A.

3. 已知命题：任意，有，则命题的否定形式为（     ）

A. 存在，有. B. 存在，有.

C. 任意，有. D. 存在，有.

【答案】B

【解析】

【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可得出答案.

【详解】命题：任意，有，

命题的否定形式为存在，有.

故选：B

4. 设，，则是的（　  ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解绝对值不等式求对应x的范围，根据充分、必要性的定义及、对应x范围的包含关系即可知、的关系.

【详解】由题设，，，

∴是的充分不必要条件.

故选：A

5. 已知正数满足，则代数式的最大值为（　   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为27，

故选：D

6. 已知，，，则，，的大小关系为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性比较可得选项.

【详解】解：，，，

所以．

故选：C．

7. 若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为函数的定义域为实数集，所以开口向上的二次函数的图象，与 轴没有交点，即，即实数的取值范围为，故选D.

【方法点睛】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型， ，只需 ；（2）对数型，，只需，（3）分式型，，只需.

8. 设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据在上是减函数，于是可知对称轴，且的函数最小值大于的函数的最大值，联立方程可求解.

【详解】解：由题意得：

函数在上是减函数

在上单调递减，则

当时，

当时，

故，解得，所以的取值范围为

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．

9. 下列函数中，在定义域上是单调函数的是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】分别求出各个选项的定义域，并判断函数在定义域内的单调性，即可得出答案.

【详解】解：对于A，函数的定义域为R，且在上递减，故A符合题意；

对于B，函数的定义域为，

又，所以函数在定义域内不是单调函数，故B不符题意；

对于C，函数的定义域为R，且在上递增，故C符合题意；

对于D，函数的定义域为R，

又，所以函数在定义域内不是单调函数，故D不符题意.

故选：AC.

10. 对任意的正数，下列选项正确的是（　   ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A、D：利用作差法比较；

对于B、C：利用不等式的性质直接证明即可.

【详解】对于A：因为m>0，，

所以，所以.故A正确；

对于B：对任意的正数，因为，所以.故B正确；

对于C：对任意的正数，因为，所以，所以.故C错误；

对于D：.

因为m>0，，所以，所以，即.故D正确.

故选：ABD.

11. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（　   ）

A.  B. 恒过定点

C. 若时，关于轴对称 D. 若时，

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据为幂函数，可求得a值，即可判断A的正误；根据幂函数性质，可判断B的正误；当时，根据偶函数的定义及性质，可判断C的正误；根据m的范围，可得范围，根据幂函数的性质，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】因为为幂函数，

所以，解得，故A正确；

则，故恒过定点，故B正确；

当时，，，

所以为偶函数，则关于轴对称，故C正确；

当时，，则在上为增函数，

所以，故D错误.

故选：ABC

12. 对于任意实数，均能写成的整数部分与小数部分的和，其中称为的整数部分函数，称为的小数部分函数，即. 比如，其中；，，则下列的结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 存在，使得.

【答案】ABD

【解析】

【分析】A. 根据的含义判断；B.根据的含义判断；C. 由判断；D.由判断.

【详解】A. 因为称为的小数部分，所以，故正确；

B. 因为称为的小数部分，所以，故正确；

C. 当时， ，故，故错误；

D.当时，，故正确.

故选：ABD

第Ⅱ卷  非选择题（满分90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 满足的集合A的个数是_______.

【答案】8

【解析】

【分析】由，可得集合A是集合的子集且1，2均在子集中，从而可求出集合A

【详解】解：因为，

所以，

所以满足集合A的个数为8，

故答案为：8

14. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________.

【答案】．

【解析】

【分析】由的范围求得的范围即可得的定义域．

【详解】时，，所以的定义域是．

故答案为：．

15. 已知函数，则函数的解析式为________.

【答案】

【解析】

【分析】设，求出代入后可得，再把换成．

【详解】设，所以，

所以，即．

故答案为：．

16. 定义“函数”如下：若函数在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”. 已知是定义在上的“函数”，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，由“函数“的定义分析，若函数是“函数”，只需方程在内有解．即在内有解．令，并求出其值域为，则的值域为的子集，解不等式即可得答案．

【详解】解：由题意得：题意可转化为方程在内有解，

即在内有解，

令，易知在单调递增，又，

故，即，

故的值域为的子集，又,故只需即可，

令，解得，

故答案为：

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算下列各式的值：

（1）.

（2）.

【答案】（1）   

（2）3

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算性质运算即可得出答案；

（2）根据对数的运算性质运算即可得出答案.

【小问1详解】

解：；

【小问2详解】

解：.

18. 已知函数（其中）为定义在上的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）设试判断函数在的单调性，并用定义法证明你的结论？

【答案】（1）2    （2）在上单调递减，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的定义，求得的值；

（2）根据单调性定义判断并证明．

【小问1详解】

是上的奇函数，

即，

恒成立，解得.

【小问2详解】

由（1）知，

令，则有：

在上单调递减.

19. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，最大月产量是台.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.

（1）将总利润（单位：元）表示为月产量（单位：台）的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+总利润）

【答案】（1）   

（2）当月产量为台时，公司所获利润最大，最大利润为元

【解析】

【分析】（1）由总收入减去固定成本再减去增加投入即可得与的关系式，注明定义域即可；

（2）根据二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

根据题意可得：

，

所以总利润（单位：元）表示为月产量的函数为：

.

【小问2详解】

由（1）可知：

，

所以当且仅当时，取得最大值为.

所以当月产量为台时，公司所获利润最大，最大利润为元.

20. 已知函数.

（1）设函数，求函数在上的值域；

（2）若方程在上有解，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数在上值域，再根据指数函数的单调性即可求得函数在上的值域；

（2）令，方程可转化为，即，求得函数的值域，即可得出答案.

【小问1详解】

解：（1），

令，

，

又在单调递增，

，

函数在上的值域为；

【小问2详解】

令，方程可转化为，

整理得，

令，

取，

则，

因为，所以，则，

所以

所以函数在单调递增，，

的取值范围为.

21. 已知函数（其中且），且.

（1）求函数的解析式；

（2）试判断的奇偶性，并证明；

（3）设，请直接写出的单调区间（无需证明）.

【答案】（1）   

（2）是定义在上的奇函数，证明见解析   

（3）在和上单调递减

【解析】

【分析】（1）根据，求得参数，即可得解；

（2）根据奇偶函数的定义，判断的关系，即可得出结论；

（3）根据，再结合指数函数的单调性即可得出答案.

【小问1详解】

解：，

，解得：，

函数的解析式为；

【小问2详解】

解：函数的定义域为，对于任意的，，

且，

函数是定义在上的奇函数；

【小问3详解】

解：，，

函数在和上单调递减.

22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足：，则称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点.

（1）函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由；

（2）现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据“平均值函数”的定义，假设求，确定是否在上即可判断是否是上的“平均值函数”.

（2）由题设，设是平均值点可得，应用换元法则在区间上有解，法一：利用二次函数的性质，讨论区间内根的个数求参数范围；法二：应用参变分离思想，将方程整理为，讨论t，结合的性质求参数范围.

【小问1详解】

函数是上的“平均值函数”，理由如下：

，设是它的平均值点.，则有解得：.

∴函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点.

【小问2详解】

由题意得：，设是它的平均值点，

∴，即，整理得：

令，则有解.

法一：令，

①当在内有一个实根时，，解得.

②当在内有两个不等实根时，，可得，故.

综上所述：.

法二：整理得，

①当，即时，解得（矛盾），故.

②当，即时，整理得：

令

在上单调递增，

，即.

.