2023年辽宁省阜新市高考数学联考试卷（4月份）

2023年辽宁省阜新市高考数学联考试卷（4月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知复数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面米，水面宽度为米，则当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4.  设等差数列的前项和为，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为了得到函数的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

6.  已知函数，则的极大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  当，时，恒成立，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，是球的球面上的四个点，圆为的外接圆若圆的面积为，，则四面体体积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  九章算术中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则(    )

A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量在向量上的投影向量为
 

10.  年月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比与去年同期相比的变化情况如图所示，则下列说法错误的是(    )

 

A. 猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的倍
C. 去年月鲜菜价格要比今年月低
D. 这种食品价格同比涨幅的平均值超过

11.  已知函数，则下列结论正确的有．(    )

A. 为奇函数
B. 为偶函数
C. ，，当时，
D. ，

12.  椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象关于椭圆曲线：，下列结论正确的有(    )

A. 曲线关于直线对称
B. 曲线关于直线对称
C. 曲线上的点的横坐标的取值范围为
D. 曲线上的点的横坐标的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）

13.  已知向量，则 ______ ．

14.  在，，，这个数中，最小的是______ ，最大的是______ ．

15.  年月日，土耳其发生级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援已知某救援队共有人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排人，每人只去一个地区，则共有______ 种安排方案．

16.  如图，已知过原点的直线与双曲线相交于，两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若，求的值．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．

19.  本小题分
现有个红球和个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中个球．
求甲盒子中有个红球和个黄球的概率．
已知甲盒子中有个红球和个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为证明：．

20.  本小题分
中国古代数学著作九章算术中记载了一种被称为“曲池”的几何体该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分在如图所示的“曲池”中，平面，记弧、弧的长度分别为，，已知，，为弧的中点．
证明：．
若，求直线与平面所成角的正弦值．

21.  本小题分
椭圆的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆上．
求椭圆的方程．
过点的直线与椭圆交于，两点异于点，，记直线与直线交于点，试问点是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性．
若存在两个零点，，且曲线在和处的切线交于点
求实数的取值范围；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
则．
故选：．
分别化简集合，，由集合的交集运算即可得出结论．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得，则，
从而，，故．
故选：．
由题意可得，化简后利用复数相等即可解得，，从而可解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，

可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米．
故选：．
以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解．
本题主要考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由等差数列的性质可得则．
故．
故选：．
根据等差数列的性质计算即可．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．
故选：．
根据三角函数的图像变换求解．
本题主要考查了三角函数图象的变换，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，解得，
，，
当或时，；当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值．
故选：．
求导数，求出，得到解析式，利用导数求函数单调区间，得到极值．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为，
所以，解得，
即的取值范围是．
故选：．
将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用基本不等式的结论进行计算即可以得到结果．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：圆的面积为，所以圆的半径为，
，
球的半径，
四面体体积的最大值为：
．
故选：．
由圆的面积为，得圆的半径为，从而求得球的半径，从而可得出四面体体积的最大值．
本题考查四面体的外接球问题，四面体的体积的最值的求解，化归转化思想，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
则
，故A不正确，B正确．
向量在向量上的投影向量为，不正确．
向量在向量上的投影向量为，D正确．
故选：．
先将表示出来，然后转化成选项中的向量表示，由此直接可得到不同方向上的投影向量．
本题考查了空间向量及其线性运算，投影向量，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这种食品中，
粮食价格同比涨幅最小，所以A错误；
，所以B错误；
去年月鲜菜价格要比今年月高，所以C错误；
因为，所以D正确．
故选：．
找到种食品中价格同比涨幅最小者判断选项A；通过计算二者的同比涨幅关系判断选项B；由鲜菜价格同比涨幅判断选项C；求得这种食品价格同比涨幅的平均值与的关系判断选项D．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于、：因为的定义域为，
且，，
所以为奇函数，为偶函数，
故A，B正确；
对于：构建，则，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，故
即在上恒成立，则在上单调递增，
不妨令，则，即，
整理得，且，
则，不正确；
对于：构建，则，
当且仅当，即时等号成立，
故在上单调递增，则，D正确．
故选：．
对于、：根据奇偶性的定义分析判断；对于：构建，利用导数判断单调性，分析判断；对于：构建，利用导数求原函数的最值，分析判断．
本题考查函数奇偶性以及导函数的相关运用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，得．
对于：因为，所以曲线不关于直线对称，不正确．
对于：设点在曲线上，则，
，
所以点在曲线上，所以曲线关于直线对称，B正确．
对于：由，得，解得或，不正确，D正确．
故选：．
由特殊值结合对称性判断；设点在曲线上，证明点在曲线上，从而判断；，解不等式判断．
本题考查曲线与方差相关知识，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
先求得的坐标，进而求得的模的值．
本题考查向量模的概念，属于基础题．
 

14.【答案】   

【解析】解：由于，
故，，
故．
故最小的是，最大的是．
故答案为：；．
直接利用数的变形比较出数的大小．
本题考查的知识要点：数的变形，数的大小比较，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：人数分配有，，和，，两种情形，
所以共有种安排方案．
故答案为：．
讨论分派人数的情形，利用排列组合知识计算即可．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，

则，所以，
设直线的倾斜角为，则，所以，
所以直线的斜率为，
设，，则，
由，得到，
所以，所以，则．
故答案为：．
取的中点，连接，先求得直线的斜率，然后利用点差法求得，进而求得双曲线的离心率．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以．
又，
所以，
所以，
即，所以，
又，所以．
因为，，所以，
所以． 

【解析】利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式得到，即可得解；
首先求出，再根据利用两角和的正弦公式计算可得．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，当时，，
两式相减，得，整理得，
即时，，又当时，，解得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
由知，，
令，易知，，
设数列的前项和为，则，，
由，得，
即，
，
． 

【解析】根据条件，利用与的关系，得到，再求出，即可求出结果；
利用所求结果得到，然后利用分组求和及错位相减法即可求出结果．
本题考查数列递推式，数列的求和，考查利用错位相减法进行数列求和，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题可知，甲盒子中有个红球和个黄球的概率为：
．
当时，，，，
又，，，
；
当时，，，，
又，，，
，
故E． 

【解析】根据超几何分布，即可求解；
当时，的取值可能是，，；当时，的取值可能是，，，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解．
本题考查离散型随机变量的期望的求解，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：证明：延长，并相交于点，因为，则，，
连接，，因为为弧的中点，则，为正三角形，于是，
因为平面，，则有平面，
又平面，于是，而，，平面，因此平面，又平面，
所以．

以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
令直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】延长，并相交于点，证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值作答．
本题考查线线垂直与线面角的求法，属于中档题．
 

21.【答案】解：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左右顶点分别为，，点在椭圆上，
所以，解得，
故椭圆的方程为．
依题可设直线的方程为，，，，
联立方程组，整理得，
所以，，
所以，

直线的方程为，
直线的方程为，
联立方程组，解得，
所以．
故点在定直线上． 

【解析】根据左右顶点及点在椭圆上列式求解写书椭圆方程即可；
先设直线方程再联立方程组求韦达定理，再求两个直线的交点，确定交点横坐标即得．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得．
当时，，当时，，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
由知，当时，在上单调递减，不可能有两个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
又，；，；
所以的取值范围是．
证明：曲线在和处的切线分别是：
，
联立两条切线方程得，所以．
因为，所以．
要证，只需证，
即证，只要证
令，
则，所以在上单调递减，
所以，
所以，所以． 

【解析】利用导数分成，两种情况讨论函数的单调性；
利用导数得出函数的单调性，结合函数图像得出实数的取值范围；
由曲线在和处的切线方程联立，得出，又存在两个零点，，代入得出，
要证，只需证，即证，只要证即可．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，分析法的应用，化归转化思想，属难题．