山西省长治市重点中学2021-2022学年高一下学期期末考试——数学试卷

2021—2022学年第二学期高一期末考试数学试题

【满分150分，考试时间120分钟】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数，则

A．       B．         C．   D．

2．已知向量，若，则

A．    B．             C．    D．

3．设一组样本数据的方差为，则数据方差为

A．    B．           C．    D．

4．正方体中，异面直线与所成角为

A．    B．           C．   D．

5．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

A．             B．             C．          D．

6．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据名同学的统计结果，

可以判断出一定没有出现点数的是

A．平均数为，中位数为                 B．中位数为 ，众数为

C．平均数为，方差为                    D．中位数为 ，方差为

7．甲乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为 ，则密码

至少被一人成功破译的概率为

A．       B．            C．   D．

8．在空间，若直线与平面所成角为，则

A．       B．             C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．已知单位向量，的夹角为，则下列结论中正确的是

A．                                B．在上投影向量为   

C．的最小值为（）                D．

10．设复数，满足，，则下列结论中正确的是

A．的共轭复数为                          B．

C．若是方程的根，则       D．   

11．某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，

按照按比例分配原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，

方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是

A．男生样本量为 B．每个女生入样的概率均为

C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为

12．已知三棱锥中两两垂直，且，则下列结论正确的是

A．二面角 的正切值为

B．三棱锥的内切球的半径为

C．是线段上一动点，则面积的最小值为

D．是三棱锥的外接球上一动点，则点到面距离的最大值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知一组数据，则这组数据的第百分位数是       ．

14．抛掷两枚大小质地均匀的骰子，则两枚骰子向上点数之和为的概率是      ．

15．在四面体中，都是边长为的等边三角形，且平面

平面，则该四面体外接球的表面积为_________.

16．的内角的对边分别为.若，边角平分线，

则边的最小值为_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本题满分10分)

在中，内角的对边分别为，点在边上，且，， ,边

（1）求的面积；

（2）求.

18．(本题满分12分)

第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同．

（1）求，的值；

（2）估计这100名候选者面试成绩的中位数，平均数（精确到0.1）；

（3）若先用按比例分配分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率．

19．(本题满分12分)

在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（1）点是棱的使中点，求证平面；

（2）若∠ABC=60°，求证：⊥平面.

20．(本题满分12分)

的内角的对边分别为.的面积为，且

（1）求角;

（2）求的最大值.

21．(本题满分12分)

如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

（1）证明：EF⊥DB；

（2）求DF与面DBC所成角的正弦值．

22．(本题满分12分)

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题分别加分、分、分、分，答错任一题减分.

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足分时，答题结束，淘汰出局.

③每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.

假设甲考生对问题回答正确的概率依次为、、、、且各题回答正确与否相互之间没有影响

（1）求甲考生本轮答题结束时恰答了道题的概率；

（2）求甲考生能进入下一轮的概率.

21-22学年第二学期高一期末考试数学答案

1.B     2.D    3.C     4.B     5.A     6.C     7.C     8.D

9.BCD            10.AD      11.AC     12.ACD

13. 5       14.          15.          16.

17.解：（1）且，为等边三角形，,的面积

（2）在中，由余弦定理可得

在中，由正弦定理可得，

18． (1)因为第二、三、四组的频率之和为0.9，

所以，解得．

再由第一组、第五组的频率之和为，

即，得．

(2)根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第三组的频率为0.45，

所以中位数在第三组，且为．

平均数为

(3)由（1）可得面试成绩在段和段的候选者分别有5人和25人，若用分层随机抽样的方法从中抽取6人，则需在段中抽取1人，设为，在段中抽取5人，分别设为，，，，．

该试验的样本空间为，共有15个样本点．

设“从这6人中随机抽取2人，这2人来自同一分数段”为事件，则，有10个样本点，

故．

19．证明：（1）分别取的中点，连接,

在三角形中，且；

在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;

又平面，平面，所以平面

（2）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,

因为,所以；

因为平面，平面,

所以；

因为

所以平面.

20．解（1）

（2）由正弦定理得：

所以最大值为

21． （1）作交于，连接．

∵平面平面，而平面平面，平面，

∴平面，而平面，即有．

∵，

∴．

在中，，即有，∴．

由棱台的定义可知，，所以，，而，

∴平面，而平面，∴．

（2）因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．

作于，连接，由（1）可知，平面，

因为所以平面平面，而平面平面，

平面，∴平面．

即在平面内的射影为，即为所求角．

在中，设，则，，

∴．

故与平面所成角的正弦值为．

22．解. (1)设分别为第一、二、三、四个问题，用分别表示甲考生在第k个问题回答正确的概率，则，

记“本轮答题结束时甲恰答了道题”为事件.

则.

(2)记“甲考生能进入下一轮”为事件，则