2022-2023学年福建省南平市浦城县八年级（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年福建省南平市浦城县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若有意义，则的取值范围是(    )

A. 任意实数 B.  C.  D.

2.  在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平行四边形中，有两个内角的度数比为：，则平行四边形中较小的内角是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列各命题的逆命题成立的是(    )

A. 对顶角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 如果两个角都是，那么这两个角相等

7.  在直角坐标系中，点到原点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  正方形的面积是，则它的对角线长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  ______ ．

12.  计算：______．

13.  在直角三角形中，两条直角边的长分别为和，则斜边的长为        ．

14.  在平行四边形中，，则平行四边形的周长是______．

15.  如图，矩形的对角线，交于点，，，则的长为          ．

16.  如图，在▱中，按以下步骤作图：以为圆心，以长为半径作弧，交于点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，求的值．

19.  本小题分
如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长．

20.  本小题分
如图，在中，，，为上一点，，．
求证：；
求的长．

21.  本小题分
如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，
求证：四边形是平行四边形；
．

22.  本小题分
图、图、图均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：

在图中画出，使三个顶点均在格点上且，；
在图中画出，使三个顶点均在格点上且，；
在图中画出，使三个顶点均在格点上且，．

23.  本小题分
在▱中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，，求证：平分．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
求证：；
若，平分，，求长．

25.  本小题分
已知：如图，在正方形中，点、分别在和上，．
求证：；
连接交于点，延长至点，使，连接，，判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得，．
故选B．
二次根式有意义：被开方数是非负数．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，

在中，，，，
，
故选：．
根据勾股定理计算，即可得到答案．
本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是、，斜边长为，那么掌握勾股定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
利用最简二次根式的定义判断即可．
【解答】
解：：为最简二次根式，符合题意；
：，不符合题意；
：，不符合题意；
：，不符合题意，
故选：．
【点评】
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．  

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
：：，
，
即平行四边形中较小的内角是，
故选：．
由平行四边形的性质得出，推出，再由：：，求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
【解答】
解：
A.与不能合并，所以选项错误；
B.原式，所以选项正确；
C.原式，所以选项错误；
D.原式，所以选项错误．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：逆命题为相等的两个角是对顶角，逆命题不成立，不符合题意；
B.逆命题为两个数的绝对值相等，那么这两个相等，逆命题不成立，不符合题意；
C.逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题成立，符合题意；
D.逆命题为两个角相等，那么两个角都是，逆命题不成立，不符合题意．
故选：．
分别写出下列命题的逆命题，然后判断真假即可．
本题考查命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题并作出正确的判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系中点的坐标为，
，
点到原点的距离是．
故选：．
直角坐标系中，某点到轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为．
本题考查勾股定理及两点间的距离公式，在于注意求点到原点的距离时要用到勾股定理是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，熟记定理和性质是解题的关键．
设正方形的对角线为，然后根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】
解：设正方形的对角线为，
正方形的面积是，
边长为，
由勾股定理得，．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】

解：点是沿折叠，点的对应点，连接，
，，
在中，，，，
，
，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
．
故选A．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，

菱形的边长为，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
点为的中点，
菱形的边长为，
即，
点在的延长线上，，
，
连接，
于点，，
由勾股定理得，，
，
，
根据勾股定理，得
，
点为的中点，
．
故选：．
连接、，根据菱形的边长为，可得，由，可得、是等边三角形，进而可求，再根据勾股定理分别求出、的长，进而可得的长．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的性质知：，
故答案为：．
根据进行解答即可．
本题主要考查二次根式的性质和化简的知识点，本题比较基础，很简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
本题是二次根式的减法运算，二次根式的加减运算法则是合并同类二次根式．
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
 

13.【答案】 

【解析】解：在直角三角形中，两条直角边的长分别为和，
斜边长为：．
故答案为：．
根据勾股定理直接求出斜边的长即可．
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，那么．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形的周长是，
故答案为：．
根据平行四边形的对边相等可得，，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，
，
，
是等边三角形，
，
在中，根据勾股定理得，．
故答案为：．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得，再根据邻补角的定义求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了矩形的对角线相等且互相平分．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设交于点．

由作图可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故答案为：．
设交于点证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：

；




． 

【解析】先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先算乘除法，再算加法即可．
本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
，





．
的值是． 

【解析】根据已知可得和的值，然后利用完全平方公式将化为，再整体代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，运用了整体代入和恒等变换的思想．掌握完全平方公式和平方差公式及相关的运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：四边形是平行四边形，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定与的关系，即可求出答案．
本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，，
，，
，
；
解：，，
，
在中，，
，
，
解得：．
的长为． 

【解析】根据勾股定理的逆定理判断即可；
根据勾股定理求出即可．
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形；

四边形是平行四边形．
．
四边形是矩形，
，
． 

【解析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活应用这些知识，属于中考常考题型．
根据矩形的对边平行得出，又，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形；
根据平行四边形的对边相等得出，根据矩形的对角线相等得出，等量代换即可证明．
 

22.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，即为所求；
如图中，即为所求．
 

【解析】根据题目要求画出图形即可；
根据题目要求画出图形即可；
利用数形结合的思想画出三角形使得．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分． 

【解析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的定义，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
 

24.【答案】证明：，为的中点，
，
、分别为、的中点，
，
，
；
解：，平分，
，
，为的中点，
，
，
，
、分别为、的中点，，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：． 

【解析】根据三角形的中位线的，根据直角三角形斜边上的中位线求出，即可得出答案；
求出，根据角平分线的定义求出，求出，，求出是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了三角形的中位线性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，能根据三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线性质求出是解此题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，

；

解：四边形是菱形，理由为：
证明：四边形是正方形，
正方形的对角线平分一组对角，
正方形四条边相等，
已证，
等式的性质，
即，
在和中，
，
≌，
，又，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证≌；
由于四边形是正方形，易得，；联立的结论，可证得，根据等腰三角形三线合一的性质可证得即垂直平分；已知，则、互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形是菱形．
本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．