专题02 线圆最值（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

这是一份专题02 线圆最值（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用），文件包含专题02线圆最值知识解读-备战中考数学《重难点解读•专项训练》全国通用解析版docx、专题02线圆最值知识解读-备战中考数学《重难点解读•专项训练》全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
   专题02  线圆最值（知识解读）【专题说明】  直线与圆的位置关系是中考数学一个非常重要的 内容，它涉及的知识点较多，题型也千变万化.最值是数学知识体系中的重要内容，也是数学中最具挑战性的问 题.中考命题者对直线与圆知识中的最值问题常常是情有独钟，这种导向性使得该知识成为教学中的重点与难点.从问题解决的思路来看，学生要想顺利地解决此类 问题，需要综合运用几何与代数的相关知识与方法，以及数形结合等思想，并在此过程中寻找到解决最值问题的方法.本文通过教学实践，枚举几例直线与圆中的最值问题，以供参考.【方法技巧】考点：线圆最值 已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间的距离为d.位置关系直线与O相离直线与O相切直线与O相交图示点Q到直线l距离的最大值d＋r2rd＋r此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为点Q点Q到直线l距离的最小值d－r0r－d此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解【典例分析】【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值为 　 　．【答案】3【解答】解：∵BC＝2AB＝4，∴AB＝2，•点E是AB 的中点，∴AE＝BE＝1．；∴点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动，过点 P作PQ⊥CD 于点Q，过点E作EF⊥CD于点F，则＝PQ，∴当PQ最小时，△PCD 的面积取得最小值•EP+PQ≥EF，当E，P，Q三点共线时，PQ取得最小值，最小值为EF﹣EP的值；∴四边形ABCD是矩形，∴EF＝BC＝4，∴PQ最小＝EF﹣EP＝3，∴S△PCD最小＝PQ最小＝3，故答案为：3．【典例2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，点M是DE的中点，连接BM，CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△BMC面积的最大值为 　 　．【答案】12．【解答】解：连接AM，交BC于H，.∵AB＝AC，AD＝AE，点M是DE的中点，∴AM⊥DE，AH⊥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转180°，即M'、M、H在同一直线上时，△BMC面积取最大值．∵AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，∴AD＝AE＝2，BH＝＝＝3，∴AM＝AD＝＝，∴AM'＝，∴M'H＝＝4，此时，△BMC面积＝＝＝12．故答案为：12．【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是矩形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为 　  ．【答案】2【解答】解：∵∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的圆上，即点P到BC的最大距离为2，∴点P到AD的最小值＝3﹣×4＝1，∴S△APD＝×4×1＝2，∴△APD面积的最小值为2．故答案为：2．【典例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为 　   　．【答案】﹣1【解答】解：如图，由折叠知A'M＝AM，又∵M是AD的中点，∴MA＝MA'＝MD，点A'的运动轨迹就是在以点M为圆心，MA长为半径的上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BD，在菱形ABCD中，∵AD＝AB，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵M是AD的中点，∴点E与点B重合，∴EM＝，设点A'到BC的距离为h，当点A'在ME上时，h取得最小值，最小值为EM﹣A'M＝﹣1，∴△A'BC面积的最小值为＝BC•h＝×2×（﹣1）＝﹣1，故答案为：﹣1．【典例5】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点D是AC边上一点，点E是平面内一点，且DE＝1，连接AE，CE，则四边形ABCE面积的最大值为 　  　．【答案】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝．经分析，当DE⊥AC于D时，四边形ABCE面积的最大．∴四边形ABCE面积的最大值为S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝DE＝＝．故答案为：．【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠BCD＝90°，AB＝12，BC＝16．点M是AB上一点，AM＝4，点N是四边形ABCD内一点，且DN＝5，连接CN，MN．（1）当M，N，D三点共线时，求MN的长；（2）求四边形BCNM面积的最小值．【解答】解：（1）延长DA到F，作MG⊥AF于G，AE⊥BC于E，∵∠B＝60°，AB＝12，∴BE＝6．∴AD＝EC＝10，∵AM＝4，∠AMG＝30°，∴AG＝2，MG＝2，∴DG＝12，∵DM2＝DG2+MG2，∴DM2＝122+（2）2，∴DM＝2，∴MN＝2﹣5；（2）取BC中点K，连接MC，MK，作NH⊥MC于H，DL⊥MC于L，∵∠B＝60°，BM＝BK＝8，∴△MBK是等边三角形，∴MK＝KC＝6，∠MKB＝60°，∴∠KMC＝∠MCK＝30°，∴∠BMC＝90°∴MC＝8，∴S△MBC＝MC•MB＝32，∴当△NMC面积最小时，四边形MBCN面积最小，∵DN＝5，∴当D，N，H三点共线时，NH最小，△NMC面积最小，由（1）知DC＝AE＝6，∴DL＝DC＝9，∴NH最小值为：4，∴S△NMC的最小值为：CM•NH＝16，∴四边形MBCN面积最小值为：32+16＝48．【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F分别为AD，BC上的两个动点，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点H，G．（1）如图①，当点G落在DC边上时，连接BG．①若点G为DC的中点，求CF的长；②试探究EF与BG之间的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图②，若点E为AD的中点，连接AH，HC，求四边形AHCB面积的最大值．【解答】解：（1）①如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝4，BC＝6，∵DG＝CG＝2，由翻折的性质可知，FB＝FG，设FB＝FG＝x，∵FG2＝CG2+CF2，∴x2＝（6﹣x）2+22，∴x＝，∴CF＝6﹣＝； ②结论：EF⊥BG，＝．理由：如图①中，过点E作ET⊥BC于点T，设BG交ET于点J，BG交EF于点O，则四边形ABTE是矩形，ET＝AB＝4．由翻折变换的性质可知，EF垂直平分线段BG，∴∠EOJ＝∠BTJ＝90°，∵∠EJO＝∠BJT，∴∠FET＝∠CBG，∵∠ETF＝∠C＝90°，∴△ETF∽△BCG，∴＝＝＝； （2）如图②中，连接AC，过点E作ER⊥AC于点R．在Rt△ADC中，AD＝6，CD＝4，∴AC＝＝＝2，∵sin∠EAR＝＝，AE＝ED＝3，∴＝，∴ER＝，∵EH＝AE＝3，∴当点H在RE的延长线上时，△ACH的面积最大，此时四边形ABCH的面积最大，∴四边形ABCH的面积的最大值＝×4×6+×2×（+3）＝18+3．