北师大版九年级数学简便运算技巧全归纳
展开初中数学简便运算技巧全归纳 一、最基本的简便运算技巧——运算律 加法交换律、加法结合律，乘法交换律、乘法结合律，乘法对加法的分配率。（1）加法交换律：a+b = b+a 加法结合律：（a+b）+c = a+（b+c）17.25-（7.25+2.36）= （17.25-7.25）-2.36 =7.64 （2）乘法交换律：a×b = b×a 乘法结合律：（a×b）×c = a×（b×c）0.125×0.25×64 = 0.125×8×0.25×4 = 1×1 = 1 125×24 = 125×8×3 = 3000 （3）乘法对加法的分配率（20+4）×25 = 20×25+4×25 =500+100=600 75.6×8.3+7.56×17 = 75.6×8.3+75.6×1.7 =75.6×(8.3+1.7) = 756 二、拆项法 一般形式：分数和整数相乘 方法技巧：第一步，把分数拆成“1 - ”的形式，这种情况通常分子和分母的值相差为1或2；或者把整数拆成两数之和的形式，被拆后的一个数和分数的分母成倍数关系；第二步，利用乘法对加法的分配率进行化简计算。例1、计算（1） （2） （3） 三、裂项相消法 裂项相消法常见于分数计算中，先将算式中的项进行拆分，拆成两个或多个数字的和或差，拆分后的项前后可以相互抵消。一般形式：分母为两个自然数的乘积，而分子是分母乘式中两个乘数的差 例2、解：例3、解： （注意：如果分子本题中如果分子不是分母乘式中两个乘数的差，而是一个相同的常数，需要在变形后乘以一个常数，请看例4和例5） 例4、解： 例5、观察下列等式：第1个等式：a1＝＝×(1－)；第2个等式：a2＝＝×(－)；第3个等式：a3＝＝×(－)；第4个等式：a4＝＝×(－)；……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝________；(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________(n为正整数)；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．解：根据观察知答案分别为：(1) ×(－)(2) ×(－)(3)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝×(1－)＋×(－)＋×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＝(1－＋－＋－＋－＋…＋－)＝(1－)＝×＝. 四、分子分母约分法 这种方法也常见于分数计算中，实际上就是化简分数。例6、已知：==3，==10，==15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=_______．解：观察运算式子会发现分子、分母中因数的个数相同且等于等式左边符号中的上标，分子中最大的因数是左边符号中的下标，且每个因数逐次减1；分母中最小的因数是1，且每个因数逐次加1，所以 = 210 说明：看到没，约分后计算更简单，但很多同学居然不会，而是直接硬算。 五、方程左右两边相同因数相消法例7、某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？ 解：（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，根据题意得：＝， （计算时最好先消去左右两边相同因数）解得：x＝30，经检验，x＝30是方程的解且符合意义，30﹣5＝25，答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，根据题意得：30m+25（40﹣m）≤1150， （计算时最好先消去左右两边相同因数）6m+5（40﹣m）≤230,解得：m≤30，答：最多可购买30件甲种商品． 六、字母代换法 如果式子较为复杂，但包含相同的部分，我们在运算时，可以把相同的部分先用字母代替，化简后，再代入字母的值，进行计算。 例8、解：设a = 1+0.456+6.789 , b = 1+4.123+5.456+6.789那么原式= a×(b-1) - (a-1) =ab-a-ab+b = b-a = 1+4.123+5.456+6.789 - (1+0.456+6.789 ) = 9.123 看看这样算是不是简单许多，如果从左到右依次计算的话，非常麻烦枯燥，且易出错。我们再来看一题： 例9、则，原式 = （1+b）×a-(1+a)×b = a+ab-(b+ab) = a-b (代入a、b的值)
