2022年江苏省苏州市中考数学试卷（解析版）

这是一份2022年江苏省苏州市中考数学试卷（解析版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）下列实数中，比3大的数是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣2
2．（3分）2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为（　　）
A．0.14126×106 B．1.4126×106
C．1.4126×105 D．14.126×104
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．＝﹣7 B．6÷＝9 C．2a+2b＝2ab D．2a•3b＝5ab
4．（3分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（　　）

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人
5．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
6．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（　　）
A．x＝100﹣x B．x＝100+x
C．x＝100+x D．x＝100﹣x
8．（3分）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
9．（3分）计算：a•a3＝　 　．
10．（3分）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　 　．
11．（3分）化简﹣的结果是 　 　．
12．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　 　．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝　 　°．

14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 　 　．

15．（3分）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 　 　．

三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（5分）计算：|﹣3|+22﹣（﹣1）0．
18．（5分）解方程：+＝1．
19．（6分）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
20．（6分）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　 　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
21．（6分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
（1）求证：△DAF≌△ECF；
（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．

22．（8分）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：
培训前
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
正正

正
正

人数（人）
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记

一

正
正正正
人数（人）
4
1
3
9
15
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m　 　n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？





23．（8分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．


25．（10分）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
26．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

27．（10分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1•S3＝S22，求cos∠CBD的值．



2022年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）下列实数中，比3大的数是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣2
【分析】把各个数先排列好，根据比较结果得结论．
【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜3＜5，
∴比3大的数是5．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的比较，掌握有理数大小的比较方法是解决本题的关键．
2．（3分）2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为（　　）
A．0.14126×106 B．1.4126×106
C．1.4126×105 D．14.126×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：141260＝1.4126×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．＝﹣7 B．6÷＝9 C．2a+2b＝2ab D．2a•3b＝5ab
【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．
【解答】解：A.＝7，故此选项不合题意；
B.6÷＝9，故此选项，符合题意；
C.2a+2b，无法合并，故此选项不合题意；
D.2a•3b＝6ab，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（　　）

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人
【分析】先求出总人数，再用总人数乘以参加“大合唱”人数占的百分比即可得答案．
【解答】解：参加“书法”的人数为80人，由扇形统计图知参加“书法”的人数占总人数的20%，
∴总人数为80÷20%＝400（人），
∴参加“大合唱”的人数为400×（1﹣20%﹣15%﹣25%）＝160（人），
故选：C．
【点评】本题考查扇形统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
5．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解答】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°．
∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠AOC，
∴∠2＝∠AOC﹣∠1
＝75°﹣25°
＝50°．
故选：D．

【点评】本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．
6．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为＝，
∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，
故选：A．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
7．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（　　）
A．x＝100﹣x B．x＝100+x
C．x＝100+x D．x＝100﹣x
【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，
依题意，得：×60+100＝x．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC＝＝BC＝AB，可得BD＝＝，OB＝＝，从而+＝m，即可解得m＝．
【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图：

∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，
∴AC＝＝＝BC＝AB，
在Rt△BCD中，BD＝＝，
在Rt△AOB中，OB＝＝，
∵OB+BD＝OD＝m，
∴+＝m，
化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，
解得m＝或m＝﹣（舍去），
∴m＝，
故选：C．
【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
9．（3分）计算：a•a3＝　a4　．
【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．
【解答】解：a3•a，
＝a3+1，
＝a4．
故答案为：a4．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．
10．（3分）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　24　．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．
11．（3分）化简﹣的结果是 　x　．
【分析】依据同分母分式的加减法法则，计算得结论．
【解答】解：原式＝
＝
＝x．
故答案为：x．
【点评】本题考查了分式的减法，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
12．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　6　．
【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6；
若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，
∵1.5+1.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰AB的长是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝　62　°．

【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
【解答】解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 　10　．

【分析】根据勾股定理得到BC＝＝5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC＝EA，AF＝CF，推出AE＝CE＝BC＝2.5，根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，同理证得AF＝CF＝2.5，于是得到结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，AF＝CF，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝CE＝BC＝2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，
同理证得AF＝CF＝2.5，
∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，作图﹣复杂作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
15．（3分）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　　．

【分析】设出水管每分钟排水x升．由题意进水管每分钟进水10升，则有80﹣5x＝20，求出x，再求出8分钟后的放水时间，可得结论．
【解答】解：设出水管每分钟排水x升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有80﹣5x＝20，
∴x＝12，
∵8分钟后的放水时间＝＝，8+＝，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 　　．

【分析】如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出AM（用k表示），可得结论．
【解答】解：如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．

∵＝，
∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，
∴（3k﹣x）2+k2＝x2，
∴x＝k，
∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，
由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，
∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，
∴∠DB′Q＝∠CNB′，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DB′Q∽△CNB′，
∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，
∵DB′＝k，
∴DQ＝k，
∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，
∴△DQB′∽△A′QM，
∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，
设AM＝MA′＝y，
则MQ＝y，
∵DQ+QM+AM＝3k，
∴k+y+y＝3k，
∴y＝k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（5分）计算：|﹣3|+22﹣（﹣1）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝3+4﹣1
＝6．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解方程：+＝1．
【分析】先两边同乘以x（x+1）化为整式方程：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得x＝﹣，再检验即可得答案．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）得：
x2+3（x+1）＝x（x+1），
解整式方程得：x＝﹣，
经检验，x＝﹣是原方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，特别注意解分式方程必须检验．
19．（6分）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
20．（6分）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：＝．
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：

共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为＝．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
21．（6分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
（1）求证：△DAF≌△ECF；
（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．

【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质，三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°，
在△DAF和△ECF中，
，
∴△DAF≌△ECF（AAS）；

（2）∵△DAF≌△ECF，
∴∠DAF＝∠ECF＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAF＝90°﹣40°＝50°，
∵∠EAC＝∠CAB，
∴∠CAB＝25°．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：
培训前
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
正正

正
正

人数（人）
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记

一

正
正正正
人数（人）
4
1
3
9
15
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m　＜　n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？





【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【解答】解：∵培训前测试成绩的中位数m＝＝5.5，培训后测试成绩的中位数n＝＝9，
∴m＜n；
故答案为：＜；
（2）培训前：×100%，培训后：×100%，
×100%﹣×100%＝25%，
答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%；
（3）培训前：640×＝80，培训后：640×＝300，
300﹣80＝220，
答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．
【点评】本题考查了用样本估计总体，中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．

【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，
∴y＝x+2，
把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，得m＝6，
∴k＝，m＝6；

（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP＝•PC•OB＝×|a+4×2＝|a+4|，S△CAP＝PC•yA＝×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4|＝+|a+4|，
∴a＝3或﹣11．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．


【分析】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可；
（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，可得r＝3，证明GH∥DO，推出＝，可得BH＝BO＝，GH＝OD＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠OED＝∠FEC，
∴∠OED＝∠FCE，
∵AB是直径，D是的中点，
∴∠DOE＝90°，
∴∠OED+∠ODC＝90°，
∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，
∵OD是半径，
∴CF是⊙O的切线．

（2）解：过点G作GH⊥AB于点H．
设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，
在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，
∴r＝3，
∵GH⊥AB，
∴∠GHB＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠GHB＝∠DOE，
∴GH∥DO，
∴＝，
∵G为BD的中点，
∴BG＝BD，
∴BH＝BO＝，GH＝OD＝，
∴AH＝AB﹣BH＝6﹣＝，
∴AG＝＝＝．

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
【分析】（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．构建方程组求解；
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，解得x≥80．设获得的利润为w元，由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，利用一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．
由题意，得，
解得，
答：甲两种水果的进价为每千克12元，乙两种水果的进价为每千克20元．

（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．
由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，
解得x≥80．
设获得的利润为w元，
由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，
∵﹣5＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，
由题意，得﹣35m+1600≥800，
解得m≤，
∴m的最大整数值为22．
【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B两点坐标，令x＝0，可得点C的坐标，证明OC＝OB，可得∠OBC＝45°；
（2）由题意D（m，（m+1）2），F（m，0），根据tan∠ACE＝＝＝＝m+1，构建方程，求出m即可；
（3）证明∠CAO＜60°，推出2m+1＜，可得结论．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；

（2）如图1中，连接AE．

∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝m+1，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；

（3）如图，设PC交x轴于点Q．

当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
∴0＜m＜．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．（10分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1•S3＝S22，求cos∠CBD的值．


【分析】（1）①证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，由等腰三角形的判定得出CD＝BD＝，求出CE＝DE＝1，证明△CED∽△CDB，由相似三角形的性质可求出BC的长；
②由平行线分线段成比例定理得出，同①可得，CE＝DE，证出，则可得出答案；
（2）证出，由题意可得出，设BC＝9x，则CE＝6x，证明△CDB∽△CED，由相似三角形的性质得出，求出CD＝12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH＝BC＝x，根据锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD＝，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，
∴CE＝DE＝1，
∴△CED∽△CDB，
∴，
∴，
∴BC＝；
②∵DE∥AC，
∴，
同①可得，CE＝DE，
∴，
∴＝1，
∴﹣是定值，定值为1；
（2）∵DE∥AC，
∴，
∵，
∴，
又∵S1•S3＝S22，
∴，
设BC＝9x，则CE＝6x，
∵CD平分∠BCF，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠BCF，
∵∠BCF＝2∠CBG，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，
∴CE＝DE，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDB∽△CED，
∴，
∴CD2＝CB•CE＝114x2，
∴CD＝12x，
过点D作DH⊥BC于点H，

∵BD＝CD＝12x，
∴BH＝BC＝x，
∴cos．
【点评】本题是四边形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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