长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
展开长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1、当时,复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、已知,,,则( )
A.A,B,C三点共线 B.A,C,D三点共线
C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线
3、已知某地区中小学学生的人数和近视情况分布如图(1)和图(2)所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10
4、如图,已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,圆柱的表面积为,则球的体积为( )
A. B. C. D.
5、生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
6、在四棱柱中,平面ABCD,,底面是边长为4的菱形,且,,,E是的中点,则点E到平面的距离为( )
A.2 B.1 C. D.3
7、四名同学各掷骰子五次,分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是( ).
A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2
C.平均数为2,方差为2.4 D.中位数为3,方差为2.8
8、已知m,n为异面直线,平面,平面。若直线l满足,,,.则下列说法正确的是( )
A., B.,
C.与相交,且交线平行于l D.与相交,且交线垂直于l
二、多项选择题
9、2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运动市场需求得到释放,将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次(万/人次)与同比增长率(与上一年相比)的统计情况,则下面结论中错误的是( )
A.2016年至2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降
B.2016年至2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加
C.2016年与2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也近似相等
D.2016年至2021年,中国雪场滑雪人次增长率为12.6%
10、已知向量,则( )
A. B.若,则
C.若,则 D.
11、如图,在长方体中,,,M,N,分别为棱,的中点,则( )
A.A,M,N,B四点共面
B.平面平面
C.直线BN与所成的角为60°
D.BN平面ADM
12、若的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,则下列结论正确的是( )
A.角C可以为锐角 B.
C.的最小值为 D.
三、填空题
13、甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定先连胜两局者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛相互独立,则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.
14、某次海上联合作战演习中,红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦查艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,则角的余弦值为______.
15、骑自行车是一种环保又健康的运动,如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,,,均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑行该自行车的过程中,的最大值为______.
16、如图,在直三棱柱中,点D为棱上的点.且平面,则________.已知,,以D为球心,以为半径的球面与侧面的交线长度为________.
四、解答题
17、某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球,和1个白球B的甲箱与装有2个红球,和2个白球,的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.
18、设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求的值及z的实部的取值范围;
(2)设,求证:为纯虚数.
19、如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,,,E、F分别是AP、AD的中点
求证:(1)直线EF平面PCD;
(2)平面BEF平面PAD.
20、某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据(单位:)和使用了节水龙头天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量 | |||||||
频数 |
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量 | ||||||
频数 |
(1)作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
21、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,点D在边AB上,且
(1)证明:;
(2)若,求.
22、如图所示的几何体中,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,F为PA的中点,,,四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点N.
(1)求证:平面DEF;
(2)在线段EF上是否存在一点Q,使得BQ与平面BCP所成角的大小为?若存在,求出FQ的长;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、答案:D
解析:化简得,又,,,所对应的点在第四象限.故选D.
2、答案:C
解析:对于A:不存在实数,使得,故A,B,C三点不共线;对于B:,不存在实数,使得,故A,C,D三点不共线;对于C:,故,所以A,B,D三点共线;对于D:不存在实数,使得,故B,C,D三点不共线;故选:C
3、答案:A
解析:由题图(1)知:总体总量为,
样本容量为.
分层抽样抽取的比为,高中生抽取的人数为40.
抽取的高中生近视人数为.故选A.
4、答案:B
解析:设球的半径为R,则圆柱的表面积为,所以,得,所以球的体积为.故选:B
5、答案:B
解析:设其中做过测试的3只兔子为a,b,c剩余的2只为A,B,则从这5只中任取3只的所有取法有,,,,,,,,,,共10种.其中恰有2只做过测试的取法有,,,,,,共6种,所以恰有2只做过测试的概率为,选B.
6、答案:C
解析:易得平面,所以,.
又,所以分别以,,,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示:
因为底面ABCD是边长为4的菱形,,所以,,则,,,,所以,.设平面的法向量为,则,所以,取,则,,则是平面的一个法向量.设点E到平面的距离为d.因为E是的中点,所以,,则,所以点E到平面的距离为.故选:C.
7、答案:C
解析:对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误;对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错误;对于C,若平均数为2,且出现6点,则方差,所以平均数为2,方差为2.4时,一定没有出现点数6,故C正确;对于D,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,平均数为:=(1+2+3+3+6)=3,方差为,可以出现点数6,故D错误.故选:C.
8、答案:C
解析:平面,,则平面,同理平面.
若,则,这与m,n异面矛盾,与相交,l一定与,的交线平行,选C.
9、答案:ACD
解析:对于A:2016年至2018年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加,2018年至2021年同比增长率逐年下降,故A错误;对于B:由条形图可知,2016年至2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加,故B正确;对于C:由条形图可知,2016年与2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,但是2015年滑雪人次为800万,2020年滑雪人次为1750万,同比增长基数差距大,同比增长人数不相等,故C错误;对于D:由统计图可知,2016车至2021年,中国雪场滑雪人次的增长率约为,故D错误,故选:ACD.
10、答案:ACD
解析:显然,A对,得:或,B错,,,C对,,,D对.故选:ACD
11、答案:BC
解析:如图所示,对于A,直线AM,BN是异面直线,故A,M,N,B四点不共面,故A错误;对于B,在长方体中,可得AD平面CDD1C1,所以平面ADM平面,故B正确;对于C,取CD的中点O,连接BO,ON,可知三角形BON为等边三角形,故C正确;对于D,因为BN平面,显然BN与平面ADM不平行,故D错误.故选:BC.
12、答案:BD
解析:因为,所以,即,所以,又,所以C一定为钝角,故选项A错误;由余弦定理知,,化简得,故选项B正确;因为,所以,故选项D正确;因为,所以,因为C为钝角,所以,,所以,当且仅当,即时,等号成立,此时取得最大值,故选项C错误.故选:BD.
13、答案:
解析:由题得恰好进行了4局甲获胜,则甲第一局赢,第二局输,第三、四局赢,此时.故答案为:.
14、答案:
解析:设红方侦查艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则,,.根据余弦定理得,解得,故,.根据正弦定理得,解得,因为,所以,故答案为:.
15、答案:
解析:方法一:以点D为坐标原点,DA为x轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则,,点P在以D为圆心,为半径的圆上,可设,,,,则当时,取得最大值.
方法二:,则当与同向,即时,取得最大值为.
16、答案:1,
解析:取AC的中点为E,分别连接和BE,
细查题意知,只有当D是的中点时,才满足题意,原因如下:当D是的中点时,,,,平面,平面,∵,∴平面平面,∵平面,平面,平面平面,又平面平面,平面平面,,又,四边形为平行四边形,
,即D为的中点,所以;球面与侧面的交线长,即截面圆的弧长,,,,即,易得,取的中点为,故可得,平面平面,平面,平面平面,圆心距,交线的轨迹为PQ,,截面圆半径,又因为,所以为等边三角形,.故答案为:1,.
17、答案:(1),,,,,,,,,,,
(2)说法不正确;
解析:(1)所有可能的摸出结果是:,,,,,,,,,,,
(2)不正确,理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为,,,,共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为,故这种说法不正确.
18、答案:(1),.
(2)证明见解析
解析:(1)因为z是虚数,所以设z=x+y(x,y∈R,且y≠0),
则,因为是实数,且,所以,即,所以,此时,又,所以,解得,所以复数z的实部的取值范围是;
(2)证明:,又由(1)知,所以,因为,所以为纯虚数
19、答案:(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
解析:(1)因为E、F分别是AP、AD的中点,,又平面PCD,面,直线EF平面PCD
(2),F是AD的中点,又平面PAD平面ABCD,面PAD面,,所以,平面BEF平面PAD.
20、答案:(1)直方图见解析;
(2);
(3).
解析:(1)频率分布直方图如下图所示:
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为;因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为;
(3)该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为.估计使用节水龙头后,一年可节省水.
21、答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)在中,因为,所以,
又因为,所以,即
在中,根据正弦定理,得,故.
(2)在中,,又由(1)知,,所以,在中,根据余弦定理,得,又由已知,,得,所以,则,即,因为,则,所以或,所以或,又点D在边AB上,且,,所以,必有一个大于等于,所以.
22、答案:(1)证明见解析;
(2)存在,,理由见解析.
解析:(1)因为四边形PDCE为矩形,则N为PC的中点,连接FN,如图,
在中,F,N分别为PA,PC的中点,则有,而直线平面DEF,平面DEF,所以平面DEF.
(2)因平面ABCD,DA,平面,则,,而,以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,直角梯形中,,,
则,,,,,,,,设平面PBC的法向量为,则,令,得,假定存在点Q满足条件,设,整理得,则,因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为,
所以,解得,即点Q与E重合,所以在线段EF上存在一点Q,使得BQ与平面BCP所成角的大小为,且.
2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期末数学试卷: 这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期末数学试卷,共20页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)入学数学试卷: 这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)入学数学试卷,共16页。试卷主要包含了单项选择题,选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(含答案): 这是一份长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(含答案),共11页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。