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    长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

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    这是一份长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案),共17页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________


    一、选择题

    1时,复数在复平面内对应的点位于(   )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    2已知,则(   )

    AABC三点共线 BACD三点共线

    CABD三点共线 DBCD三点共线

    3已知某地区中小学学生的人数和近视情况分布如图(1)和图(2)所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(   )

    A.20020 B.10020 C.20010 D.10010

    4如图,已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,圆柱的表面积为,则球的体积为(   )

    A B C D

    5生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(   )

    A B C D

    6在四棱柱中,平面ABCD,底面是边长为4的菱形,且E的中点,则点E到平面的距离为(   )

    A2 B1 C D3

    7四名同学各掷骰子五次,分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是(   )

    A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2

    C.平均数为2,方差为2.4 D.中位数为3,方差为2.8

    8已知mn为异面直线,平面平面。若直线l满足.则下列说法正确的是(   )

    A.  B.
    C.相交,且交线平行于l D.相交,且交线垂直于l

    二、多项选择题

    92022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运动市场需求得到释放,将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次(万/人次)与同比增长率(与上一年相比)的统计情况,则下面结论中错误的是(   )

    A2016年至2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降

    B2016年至2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加

    C2016年与2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也近似相等

    D2016年至2021年,中国雪场滑雪人次增长率为12.6%

    10已知向量(   )

    A  B.若,则

    C.,则 D

    11如图,在长方体中,MN,分别为棱的中点,(   )

    AAMNB四点共面

    B.平面平面

    C.直线BN所成的角为60°

    DBN平面ADM

    12的内角ABC所对的边分别为abc,且满足,则下列结论正确的是(   )

    A.角C可以为锐角 B

    C的最小值为 D

    三、填空题

    13甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定先连胜两局者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛相互独立,则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.

    14某次海上联合作战演习中,红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦查艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,则角的余弦值为______.

    15骑自行车是一种环保又健康的运动,如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑行该自行车的过程中,的最大值为______.

    16如图,在直三棱柱中,点D为棱上的点.平面,则________.已知,以D为球心,以为半径的球面与侧面的交线长度为________.

    四、解答题

    17某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球1个白球B的甲箱与装有2个红球2个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.

    1用球的标号列出所有可能的摸出结果;

    2有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.

    18z是虚数,ωz是实数,且-1<ω<2.

    1)求的值及z的实部的取值范围;

    2)设,求证:为纯虚数.

    19如图,在四棱锥中,平面PAD平面ABCDEF分别是APAD的中点

    求证:(1)直线EF平面PCD

    2)平面BEF平面PAD

    20某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据(单位:)和使用了节水龙头天的日用水量数据,得到频数分布表如下:

    未使用节水龙头天的日用水量频数分布表

    日用水量

    频数

    使用了节水龙头天的日用水量频数分布表

    日用水量

    频数

    1)作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图:

    2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于的概率;

    3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

    21的内角ABC的对边分别为abc已知,点D在边AB上,且

    1)证明:

    2)若,求.

    22如图所示的几何体中,PD垂直于梯形ABCD所在的平面FPA的中点,,四边形PDCE为矩形,线段PCDE于点N.

    1)求证:平面DEF

    2)在线段EF上是否存在一点Q,使得BQ与平面BCP所成角的大小为?若存在,求出FQ的长;若不存在,请说明理由.


    参考答案

    1答案:D

    解析:化简得,又所对应的点在第四象限.故选D.

    2答案:C

    解析:对于A:不存在实数,使得,故ABC三点不共线;对于B:不存在实数,使得,故ACD三点不共线;对于C:,故,所以ABD三点共线;对于D:不存在实数,使得,故BCD三点不共线;故选:C

    3答案:A

    解析:由题图(1)知:总体总量为

    样本容量为.

    分层抽样抽取的比为高中生抽取的人数为40.

    抽取的高中生近视人数为.故选A.

    4答案:B

    解析:设球的半径为R,则圆柱的表面积为,所以,得,所以球的体积为.故选:B

    5答案:B

    解析:设其中做过测试的3只兔子为abc剩余的2只为AB,则从这5只中任取3只的所有取法有10种.其中恰有2只做过测试的取法有6种,所以恰有2只做过测试的概率为,选B

    6答案:C

    解析:易得平面,所以

    所以分别以xyz轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示:

    因为底面ABCD是边长为4的菱形,,所以,则,所以.设平面的法向量为,则,所以,取,则,则是平面的一个法向量.设点E到平面的距离为d.因为E的中点,所以,则,所以点E到平面的距离为.故选:C.

    7答案:C

    解析:对于A,当投掷骰子出现结果为11256时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误;对于B,当投掷骰子出现结果为22346时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错误;对于C,若平均数为2,且出现6点,则方差,所以平均数为2,方差为2.4时,一定没有出现点数6,故C正确;对于D,当投掷骰子出现结果为12336时,满足中位数为3,平均数为:1+2+3+3+6)=3方差为,可以出现点数6,故D错误.故选:C

    8答案:C

    解析:平面,则平面,同理平面.

    ,则,这与mn异面矛盾,相交,l一定与的交线平行,选C.

    9答案:ACD

    解析:对于A2016年至2018年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加,2018年至2021年同比增长率逐年下降,故A错误;对于B:由条形图可知,2016年至2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加,故B正确;对于C:由条形图可知,2016年与2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,但是2015年滑雪人次为800万,2020年滑雪人次为1750万,同比增长基数差距大,同比增长人数不相等,故C错误;对于D:由统计图可知,2016车至2021年,中国雪场滑雪人次的增长率约为,故D错误,故选:ACD.

    10答案:ACD

    解析:显然A对,得:B错,C对,D对.故选:ACD

    11答案:BC

    解析:如图所示,对于A,直线AMBN是异面直线,故AMNB四点不共面,故A错误;对于B,在长方体中,可得AD平面CDD1C1,所以平面ADM平面,故B正确;对于C,取CD的中点O,连接BOON,可知三角形BON为等边三角形,故C正确;对于D,因为BN平面,显然BN与平面ADM不平行,故D错误.故选:BC.

    12答案:BD

    解析:因为,所以,即,所以,又,所以C一定为钝角,故选项A错误;由余弦定理知,,化简得,故选项B正确;因为,所以,故选项D正确;因为,所以,因为C为钝角,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,此时取得最大值,故选项C错误.故选:BD.

    13答案:

    解析:由题得恰好进行了4局甲获胜,则甲第一局赢,第二局输,第三、四局赢,此时.故答案为:.

    14答案:

    解析:设红方侦查艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则.根据余弦定理得,解得,故.根据正弦定理得,解得,因为,所以,故答案为:.

    15答案:

    解析:方法:以点D为坐标原点,DAx轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系,

    P在以D为圆心,为半径的圆上,可设则当时,取得最大值.

    方法二:,则当同向,即时,取得最大值为.

    16答案:1

    解析:AC的中点为E,分别连接BE

    细查题意知,只有当D的中点时,才满足题意,原因如下:当D的中点时,平面平面平面平面平面平面平面平面,又平面平面平面平面,又四边形为平行四边形,

    ,即D的中点,所以;球面与侧面的交线长,即截面圆的弧长,,即,易得,取的中点为,故可得平面平面平面平面平面,圆心距交线的轨迹为PQ,截面圆半径,又因为,所以为等边三角形,.故答案为:1.

    17答案:1

    2)说法不正确;

    解析:1所有可能的摸出结果是:

    2不正确,理由如下:1知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为4种,所以中奖的概率为中奖的概率为,故这种说法不正确.

    18答案:1.

    2)证明见解析

    解析:(1)因为z是虚数,所以设zxy(xyR,且y≠0)

    ,因为是实数,,所以,,所以,此时,,所以,解得,所以复数z的实部的取值范围是;

    2)证明:,又由(1)知,所以因为,所以为纯虚数

    19答案:1)证明见解析;

    2)证明见解析.

    解析:(1)因为EF分别是APAD的中点,平面PCD直线EF平面PCD

    2FAD的中点,又平面PAD平面ABCD,面PAD所以,平面BEF平面PAD.

    20答案:1)直方图见解析;

    2

    3.

    解析:(1)频率分布直方图如下图所示:

    2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为;因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为

    3)该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为.估计使用节水龙头后,一年可节省水

    21答案:1)证明见解析

    2

    解析:1)在中,因为,所以

    又因为,所以,即

    中,根据正弦定理,得,故.

    2)在中,,又由(1)知,,所以,在中,根据余弦定理,得,又由已知,,得,所以,则,即,因为,则,所以,所以,又点D在边AB上,且,所以必有一个大于等于,所以.

    22答案:1)证明见解析;

    2)存在,,理由见解析.

    解析:1)因为四边形PDCE为矩形,则NPC的中点,连接FN,如图,

    中,FN分别为PAPC的中点,则有,而直线平面DEF平面DEF,所以平面DEF.

    2)因平面ABCDDA平面,则,而,以D为原点,分别以DADCDP所在直线为xyz轴,建立空间直角坐标系,直角梯形中,

    ,设平面PBC的法向量为,则,令,得,假定存在点Q满足条件,设,整理得,则,因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为

    所以,解得,即点QE重合,所以在线段EF上存在一点Q,使得BQ与平面BCP所成角的大小为,且.


     

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