2023年河南省新未来名校联盟高考数学联考试卷（文科）（5月份）-普通用卷

2023年河南省新未来名校联盟高考数学联考试卷（文科）（5月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，角，，所对的边分别为，，，，且的面积为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是(    )
 

A. 年月份，商品零售总额同比增长
B. 年月份，餐饮收入总额同比增速都降低
C. 年月份，商品零售总额同比增速都增加
D. 年月，餐饮收入总额环比增速为

5.  已知向量，满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一个球体被平面截下的一部分叫做球缺截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中为球的半径，为球缺的高如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积包括底面之比(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点在准线上，满足轴若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  执行如图所示的程序框图，则输出的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知正项数列的前项和为，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，交双曲线的右支于，两点，且，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知实数，满足约束条件，则的最大值为______ ．

14.  如图，矩形长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为，则 ______ ．

15.  定义在上的函数满足，则 ______ ．

16.  已知正方体的棱长为，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统某社区进行流动人口统计，随机抽取了人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：

根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；
能否有的把握认为回老家祭祖与年龄有关？
参考公式：，其中．
参考数据：

18.  本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在三棱锥中，侧面底面，且为边长为的等边三角形，，，为的中点．
求证：；
求点到平面的距离．

20.  本小题分
已知函数．
当时，求的最小值；
若在上恰有一个零点，求实数的取值范围．

21.  本小题分
已知椭圆过点，且离心率为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆交轴右侧于不同的两点，，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．
 

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
设直线与曲线，分别交于，两点异于极点，求线段的长度．

23.  本小题分
已知，，函数的最小值为，证明：
；
．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，则，
所以．
故选：．
先求得中函数的定义域，再利用交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意，，
．
故选：．
先对已知的化简，然后利用的周期性即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，故，解得，
又，则．
故选：．
根据三角形面积可得，利用余弦定理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于选项A，年月份，商品零售总额同比增长，选项A错误；
对于选项B，年月份，餐饮收入总额同比增速增加，选项B错误；
对于选项C，年月份，商品零售总额同比增速都增加，选项C正确；
对于选项D，年月，餐饮收入总额环比增速并未告知，选项D错误．
故选：．
根据折线图提供的数据，逐一判断能求出结果．
本题考查了折线图数据的读取和数据处理，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所以．
故选：．
根据数量积的运算律，即可求解．
本题考查向量数量积的性质．属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，，
表面积包括底面之比．
故选：．
由球的性质可求出截面圆的半径，从而求出表面积，可解此题．
本题考查球的性质以及表面积公式，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意有，则为等边三角形，
又轴，所以．
故选：．
先根据题意和抛物线的性质可得到为等边三角形，进而即可求得的值．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：第一次循环：，；第二次循环：，；
第三次循环：，，，
第次循环：，，
所以


．
故选：．
根据给定的程序框图，依次各次循环的值，确定退出循环时值表达式，再利用二倍角的正弦公式计算作答．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由对数函数的运算性质，可得，
，，
所以．
故选：．
根据对数的运算性质，化简得到，，，即可求解．
本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
由得，
．
，．
当时，，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
．
故选：．
由题意得，结合，，可得数列是首项为，公差为的等差数列，进而利用通项公式求解，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，
又，则，
因为函数的图象在内有且仅有一条对称轴，
所以，解得，则，
所以，故则的最小值为．
故选：．
由，则，再根据题意得到，从而求得的范围，进而得到的范围，再利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，，直线的方程为，其中，
联立得．

，，
由，得，即，
，即，
，整理得，
离心率．
故选：．
设出直线的方程为，联立双曲线，得到两根之和，两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积，列出方程，求出离心率．
本题主要考查考查双曲线的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，由约束条件可得可行域为阴影部分，

由得，作出直线：，
由得交点坐标为，
平移直线：知，当直线：过点时，取得最大值，
．
故答案为：．
作出可行域，通过平移直线：即可求解．
本题主要考查了线性规划的应用，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为矩形的面积为，
则，解得．
故答案为：．
欲估计出的值，可利用概率模拟，只要利用落在椭圆内的概率和平面图形的面积比即可求出．
本题考查几何概型相关知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，
则，
所以，即，
所以是以为周期的周期函数．
令，得，所以，
令，则，所以，
所以．
故答案为：．
先根据题意可得到，从而可得到函数的周期性，再通过赋值和得到和，进而即可求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数的求值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在正方体中，如图，

平面，平面，则，而，
，，平面，于是平面，又平面，
则，
同理，而，，平面，因此平面，
令交平面于点，由，得，
即，解得，而，于是，
因为点在内，满足，则，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧，
而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，
于是正的内切圆半径，
则，即，，
所以圆在内的圆弧为圆周长的，即点的轨迹长度为．
故答案为：．
确定正方体对角线与的交点，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答．
本题考查正方体内的轨迹问题，化归转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：补全表格如下：

该社区中周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；
，
有的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关． 

【解析】根据已知数据补全列联表后，由古典概型概率公式计算概率；
计算出后可得结论．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，得，
又，是以为首项，为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为．
由知，，
则，
得，
得
，
故． 

【解析】利用递推式得出是以为首项，为公比的等比数列，求出，进而求解即可．
利用错位相减法求解数列前项和即可．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和，错位相减求和法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：如图所示，取中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
又由侧面底面，底面，侧面底面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，分别为，中点，
可得，
因为，
所以，
又因为，且，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
由可知，，且，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
过点作，垂足为，可得，，
则，，
所以，
因为由侧面底面，且侧面底面，
所以底面，
所以点到平面的距离为，
又因为，
所以，
设点到平面的距离为，
由，可得，
解得，
因为为的中点，
所以点到平面的距离为． 

【解析】取中点，连接，，由侧面底面，证得平面，得到，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
由求得，过点作，求得，进而得到，结合，求得点到平面的距离，即可求得点到平面的距离．
本题考查空间中线线，线面的垂直关系，考查点到平面的距离求解，考查等体积法的运用，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，同时也是最小值，
函数的最小值为；
令，得，令，
则函数在上的零点即为函数在上的零点，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取极小值，
当时，，故在上无零点；
当时，，故在上有一个零点；
当时，，，，
在上有两个零点；
当时，，，
时，，
在上有一个零点，
综上，若在上恰有一个零点，则的取值范围是 

【解析】求导，得到函数单调性，进而求出极值和最小值；
变形得到的零点问题，求导得到其单调性，求出极小值，结合，，，分，，和分类讨论，得到零点情况，求出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，已知函数零点个数求参数范围问题，考查运算求解能力，属于难题．
 

21.【答案】依题意有，解得，
所以椭圆的标准方程为．
设，，
联立，消整理得，
则，，所以，
所以，
所以，
又，
所以恒成立，则的平分线总垂直于轴，
所以的内心在定直线上． 

【解析】根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆的标准方程；
设，，联立直线和椭圆的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论．
本题考查椭圆的几何性质，椭圆的位置关系，属难题．
 

22.【答案】解：曲线为参数，消去参数得，
将代入，得曲线的极坐标方程为，
由得，
，
曲线的直角坐标方程为；
易知直线的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程得，，
． 

【解析】将曲线的参数方程化为普通方程，进而化为极坐标方程即可；
直线过原点，所以化为极坐标方程后与曲线，的极坐标方程联立，利用的几何意义求解即可．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 

23.【答案】证明：由于，，则，
当且仅当取等号，故的最小值为，
所以，
当且仅当，时取等号．
由知，所以，
所以，当且仅当，即时取等号． 

【解析】根据绝对值的三角不等式，得到的最小值为，进而化简得到，结合二次函数的性质，即可求解；
由得到，化简，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查了不等式的证明，考查了基本不等式的应用，属于中档题．