2023年河南省驻马店市高考数学三模试卷（理科）-普通用卷

2023年河南省驻马店市高考数学三模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，：，：，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量单位：计算公式为和保护对象的水雾喷头数量计算公式为计算确定，其中为水雾喷头的工作压力单位：，为水雾喷头的流量系数其值由喷头制造商提供，为保护对象的保护面积，为保护对象的设计喷雾强度单位：，水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量当水雾喷头的工作压力为，水雾喷头的流量系数为，保护对象的保护面积为，保护对象的设计喷雾强度为时，保护对象的水雾喷头的数量约为参考数据：(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.  在的展开式中，项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在数列中，，，，则的前项和的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知抛物线：，圆：，为上一点，为上一点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则(    )

A. 为的一个周期
B. 的值域为
C. 的图象关于直线对称
D. 曲线在点处的切线斜率为

12.  已知，分别为双曲线的左、右顶点，为该曲线上不同于，的任意一点，设，，的面积为，则(    )

A. 为定值 B. 为定值
C. 为定值 D. 为定值

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知平面向量满足，且，则 ______ ．

14.  已知圆：与圆，写出圆和圆的一条公切线的方程______ ．

15.  如图，在正四棱锥框架内放一个球，球与侧棱，，，均相切若，且，则球的表面积为______ ．


 

16.  若在内存在唯一的零点，在内存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若．
求；
已知为边上一点，，若，，求的周长．

18.  本小题分
无论是国际形势还是国内消费状况，年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了个大型零售卖场，得到其宣传费用单位：万元和销售额单位：万元的数据如表：

求关于的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时结果取整数，销售额能突破万元；
经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的从这家卖场中随机抽取家．
若抽取的家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的家中恰有一家是宣传策划高效的概率；
若抽取的家卖场中宣传策划高效的有家，求的分布列和数学期望．
附：参考数据，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，．

19.  本小题分
在直三棱柱中，为棱上一点，，，为棱上一点．
若，且为靠近的三等分点，求证：平面平面；
若为等边三角形，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值的大小．

20.  本小题分
已知椭圆的离心率为，直线：与交于，两点，当为双曲线的一条渐近线时，到轴的距离为．
求的方程；
若过作轴的垂线，垂足为，的中点为为坐标原点，连接并延长交于点，直线的斜率为，求的最小值．

21.  本小题分
已知函数．
若有两个不同的零点，求的取值范围；
若函数有两个不同的极值点，，证明：．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求的直角坐标方程以及与轴交点的极坐标；
若直线与交于点，，与轴交于点，求的值．

23.  本小题分
已知关于的不等式对任意实数恒成立．
求满足条件的实数，的所有值；
若对恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故，
．
故选：．
先利用题意算出，然后利用复数模的公式即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
所以．
故选：．
先求出集合，，再根据交集的定义即可得解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，：，
即，即，则，
而：，
所以是的充分不必要条件，
故选：．
根据解出，再利用充分性和必要性即可判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，所以，
所以．
故选：．
由题意可得，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简，代入即可求出结果．
本题主要考查了两直线垂直的斜率关系，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由水雾喷头的工作压力为，水雾喷头的流量系数为，
得，
再由保护对象的保护面积为，保护对象的设计喷雾强度为，
得，
即保护对象的水雾喷头的数量约为个．
故选：．
根据已知公式和数据代入计算即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：相当于在个因式中有个因式选，有种选法，
余下的个因式中有个因式选，有种选法，
最后余下个因式中选，把所选式子相乘即可得项，
而，所以项的系数为．
故答案为：．
相当于在个因式中有个因式选，余下的个因式中有个因式选，最后余下个因式中选，把所选式子相乘即可得项，求解即可．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，
令，所以，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，即，
由，
将以上个等式两边相加得，
所以，
经检验满足上式，故，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
因为，，
所以的前项和的最大值为．
故选：．
令，则由可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，可得到，然后用累加法得到，通过的单调性即可求出的最大值．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得圆心，圆的半径为，
设，则，
当时，，
又因为圆的半径为，则．
故选：．
设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径，即可得出答案．
本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设，，，棱长均为
则，，，
，，



，
，
，
，，
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．
本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
，，，
，
，，即．
，，即，
综上，．
故选：．
构造函数，由导数确定其单调性，由函数单调性比较，，的大小，从而可得结论．
本题主要考查里用导数研究函数的单调性，考查对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，，故不为的一个周期，故A错误；
对于，令，且，
所以原函数变为，当时，，当时，，
又，所以，或，所以或，
所以的值域为，故B正确；
对于，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
则，
又，故C错误；
对于，，所以，故D错误．
故选：．
由可判断；令，则，求出值域可判断；由三角函数的平移变化求出，由可判断；由导数的几何意义可判断．
本题主要考查函数的图象变换，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由于双曲线的对称性，可设，
由双曲线可得，，
则，
，
，
因此，其中，
对于不是定值，故不正确；
对于，由于，即，
若为定值，则为定值，从而和是确定的值，
于是，均为定值，这是不可能的，故B错误；
对于选项，
因此是定值，不是定值．
故选：．
利用三角换元得到，利用斜率公式可求，与的关系，化简后可得，的关系，故可判断的正误，根据面积公式可求用表示，故可判断的正误．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，可得，
所以．
故答案为：．
利用数量积的运算律可得到，然后用即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：设圆的公切线为，，解得或，
代入求解得：或，
所以切线为：，或或．
故答案为：或或．
设切线方程为，根据圆心到直线的距离均为求解方程．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，由题意得，

又，所以，
设球与，的切点分别为，，
连接，，因为，所以，
所以．
即球的半径，所以球的表面积．
故答案为：．
连接，，根据三角函数计算出球心到切点的距离即可得到半径，最后利用球的表面积公式即可．
本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了球的表面积公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由可得，则在上单调递减，
因为在上有唯一零点，所以，，所以，
；，
令，即，则，且时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为在上有唯一零点且，
所以，，
所以，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
通过导数可得到在上单调递减，结合题意在内存在唯一的零点可得；通过导数可得在上单调递增，在上单调递减，结合在内存在唯一的零点，且，可得，即可求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的零点问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以．
因为，，
所以或或，
即或舍去或舍去，
又，所以；
由题意得，
即，
因为，，
所以，
所以，即，
由余弦定理得，
所以，
所以或舍去，
所以的周长为． 

【解析】利用正弦定理进行边角转化，可得到，结合，的范围可得到，再利用即可求解；
利用可得到，然后用余弦定理可求出，即可求出周长．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形面积公式的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
所以，
，
所以，
令，解得万元，
故当宣传费用至少为万元时，销售额能突破万元；
记事件为抽取的家中含有宣传策划高效的卖场，事件为抽取的家卖场中恰有家为宣传策划高效，
由已知数据，卖场，的宣传策划是高效的，卖场，，，的宣传策划是非高效的，
因为，
所以，
故抽取的家中恰有一家是宣传策划高效的概率为，
由题意知的取值为，，，
则，
故的分布列为：

所以． 

【解析】计算出相关数据，代入公式即可得到线性回归方程；
利用条件概率公式即可；的取值为，，，分别计算各自概率，再利用期望公式即可．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了条件概率公式，以及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

19.【答案】证明：分别取，的中点，，连接，，，
则，，，
且，由题意可知，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，，
，，又，，平面，
平面，又平面，平面平面；
解：由可得，，，以为坐标原点，
直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
三棱锥的体积为，，
即，解得：，，
则，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则平面的一个法向量，
，
设二面角的大小为，，
即二面角的正弦值为． 

【解析】由面面垂直的判定定理即可证明；
由三棱锥的体积公式可求出，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可．
本题主要考查面面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设的半焦距为，则，所以，所以，
不妨设，与联立得．
由题意得，
联立并解得，，
故E的方程为．
设，，则，
所以直线的斜率，
直线的方程为，代人，得
，
所以，
，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最小值，且最小值为． 

【解析】根据离心率、渐近线方程和点到直线距离公式即可得到相关方程，解出即可；
设，，则，得到直线的方程，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算，再利用基本不等式即可得到答案．
本题考查育德几何性质，设而不求法与伟韦达定理的应用，属中档题．
 

21.【答案】解：的定义域为，且，
当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，舍去．
当时，令，解得：，令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
有两个不同的零点，则，解得，
当时，，，在上存在唯一的一个零点；
当时，取正整数，则，，
而，
当时，令，，
令，，在上单调递增，
，，
在上单调递增，，故，
又，，于是，要使，
只需，即，
这样，当时，只需取正整数，则，又，
在上存在唯一的一个零点；
综上，，即实数的取值范围是
证明：，则．
有两个不同的极值点，，则，，
要证，只要证，
，只要证，
又，，作差得，，
原不等式等价于要证明，即．
令，，则以上不等式等价于要证，．
令，，则，，
在上单调递增，，即，，
． 

【解析】求导，分类讨论判断的单调性，进而根据零点运算求解；
根据极值点的概念整理原不等式可得，构建新函数，求导，利用导数证明．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，已知函数零点个数求参数范围问题，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：，
，即，
又，则，
整理得，即的直角坐标方程为，
令，解得，即与轴交点的直角坐标为和，
故对应的极坐标分别为
由题意得直线的方程为，则点的直角坐标为，
将直线的参数方程为参数代人的直角坐标方程，得，
显然，
设点，对应的参数分别为，，则，
显然，一正一负，
． 

【解析】利用二倍角公式可得，然后利用化简可得的直角坐标方程，求得与轴交点的直角坐标，即可得出答案；
设点，对应的参数分别为，，将直线的参数方程代人的直角坐标方程可得到，即可得出答案．
本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程之间的互相转化，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，不等式化为，
所以，
当时，同理可得，
联立和，解得，，
而，时，原不等式为，
显然恒成立，所以，．
由知，
所以，
因为，所以，所以在上恒成立．
令，则．
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
所以，即实数的取值范围为． 

【解析】代入得和得，，联立即可得到答案；
由化简得，分离参数得在上恒成立，再利用基本不等式即可得到右边最值，即可得到答案．
本题主要考查函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．