2023年山东省济宁市金乡县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市金乡县中考数学一模试卷

1.  实验测得，某种新型冠状病毒的直径是米，米用科学记数法可表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2.  实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

4.  如右图，已知AB为的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，等边的边长为6，P沿运动，Q沿运动，且速度都为每秒2个单位，面积为y，则y与运动时间x秒的函数的图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC与反比例函数的图象交于D，E两点，矩形顶点A，C在坐标轴上，OD：：21，，若点D的坐标为，则下列结论正确的是______.
A.
B.
C.
D.点E的坐标为

9.  如图，已知点，，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长CM交于点Q，则的面积最小值为(    )

A. 4
B.
C.
D.

10.  分解因式：______.

11.  已知点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是__________.

12.  已知、是方程的两个根，且满足，则______ .

13.  如图，以CD为直径的半圆与AB，AC相切于E，C两点，C，D，B三点共线，若弧DE的长为，，则阴影部分的面积为______.

14.  如图，抛物线与x轴交于点、点B与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为其中正确的有______ .

15.  计算：；
先化简，再求值：，其中x从，0，1，2，3中选取一个合适的数.

16.  如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
将向右平移5个单位长度，画出平移后的；
画出关于x轴对称的；
将绕原点O旋转，画出旋转后的，写出点坐标．

17.  我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．

18.  为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动．已知旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心．
测量方法如下：在地面上找一点D，用测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为，沿DE方向走米到达C地，再次测得看旗杆顶B的仰角为
求旗杆的高度．
已知夏至日时该地的最大太阳高度约为，试问夏至日旗杆的影子能不能落在台阶上？
太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角．结果精确到，参考数据：，，，，

19.  云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
，B两类头盔每个的进价各是多少元？
在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔每个x元，y表示该商家每月销售A类头盔的利润单位：元，求y关于x的函数解析式并求最大利润．

20.  如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，
求证：DC为的切线；
若的半径为5，，求AD的长.

21.  如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为

求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
在线段BC上的一个动点与B、C不重合，过点P作直线轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为
①若点P的横坐标为m，请用m表示线段PE的长度并写出m的取值范围；
②有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，线段PE的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由；
③过点P作直线轴图，交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得与相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，
故选：
根据科学记数法的表示形式解答即可，科学记数法写成的形式．
本题考查了科学记数法，熟练掌握其表示形式并确定指数是解题的关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：A选项，，，故该选项正确，符合题意；
B选项，观察数轴，，故该选项错误，不符合题意；
C选项，，，，故该选项错误，不符合题意；
D选项，，，，，故该选项错误，不符合题意．
故选：
根据实数的比较大小，绝对值的定义，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，分别判断即可．
本题考查了实数的比较大小，绝对值的定义，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，熟练掌握有理数的计算法则是解题的关键．
 

3.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
【解答】

解：，
，
A.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
B.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
C.添加，可用两边及其夹角法判定∽，故本选项错误；
D.添加，不能判定∽，故本选项正确；
故选：

4.【答案】C 

【解析】解：为的中点，
，
，
，
，
，
，

故选：
先利用垂径定理，由C为的中点得到，则，然后根据圆周角定理得到，加上，于是可判断C选项一定正确．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 

5.【答案】C 

【解析】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：
设6210元购买椽的数量为x株，根据单价=总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组恰好有3个整数解，
不等式组的整数解为3、4、5，
，解得，
故选：
先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：当时，如图1，
由题意得：，，则，
过Q作于D，
是等边三角形，
，
，
，
；
所以选项A和D不正确；
当时，如图2，
由题意得：，
过Q作于E，
，
同理可得：，
，
；
所以选项B不正确，选项C正确；
故选：
分两个阶段进行计算：
①当P在BC上运动时，即当时，如图1，
②当P在AB上运动时，即当时，如图2，
分别根据三角形面积公式代入求面积即可，得到解析式后确定函数图象形状，作判断．
本题考查了两个动点运动的问题，明确动点运动的距离和位置是关键，利用数形结合的思想，把不同阶段时面积的解析式求出即可作出判断．
 

8.【答案】BCD 

【解析】解：四边形OABC为矩形，，
，，，
又：：21，
，
，
，
又，
，
，
∽，
，即，
，，
，，
，
故A错误；
不符合题意；
，
故B正确，
符合题意；
，
故C正确，
符合题意；
，，则点E的坐标为，
故D正确，
符合题意，
故正确答案为：
先根据题意求得，，再根据条件OD：：21，求出DE，然后再证明∽可得，进而求得BD、BE，然后求出OC、EC，最后逐项排查即可．
本题主要考查了反比例函数与几何的结合、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
 

9.【答案】D 

【解析】解：点，，
，，
在中，，
是的直径，
，
，
，
，
，
的面积

，
当OC最小时，的面积最小，
当时，OC最小，
的面积，
，
，
的面积的最小值
，
故选：
根据已知可得，，从而在在中，利用勾股定理求出AB的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，OC最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：，
，

故答案为：
 

11.【答案】 

【解析】解：时，，
在同一象限内，y随着x增大而增大，
，
，
故答案为：
根据反比例函数的增减性可知，即可求出m的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与系数之间的关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程有实数根，
，

、是方程的两个根，
，，
，
，即，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
的值为
故答案为：
由方程有实数根，可得出根的判别式，解之可得出，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可得出关于k的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，找出关于k的一元二次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接OE，
设的度数为，
由题意得：，
解得：，即，
，
以CD为直径的半圆与AB，AC相切于E，C两点，
，，
，
，，
，
则，
阴影部分的面积，
故答案为：
连接OE，根据弧长公式求出，解直角三角形求出BE、AC，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、解直角三角形的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
 

14.【答案】①②④⑤ 

【解析】解：①将、代入中，
，
解得：，
结论①正确；
②，
点B的坐标为，结论②正确；
③，
抛物线的顶点坐标为，结论③不正确；
④抛物线的对称轴为，

当时，
抛物线的顶点坐标为，
直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是，结论④正确；
⑤连接BC，交抛物线的对称轴于点Q，此时的周长最小，如图所示．
设直线BC的解析式为，
将、代入中，
，
解得，
直线BC的解析式为
当时，，
当的周长最小时，Q点坐标为，结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
①根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出b、c的值，结论①正确；
②利用分解因式法将二次函数解析式变形为交点式，由此即可得出点B的坐标，结论②正确；
③利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的顶点坐标，结论③不正确；
④求出当时h的值，结合抛物线的顶点坐标，即可得出h的取值范围是，结论④正确；
⑤根据两点之间线段最短，找出的周长取最小值时点Q的位置，根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标，结论⑤正确．综上即可得出结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次二次函数解析式、轴对称-最短路线问题以及二次函数的三种形式，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
；




，
根据分式有意义的条件可得，，
当时，原式 

【解析】先算乘方，再化简绝对值，最后算加减；
先根据分式的混合运算法则化简，再选取合适的数代入计算即可．
本题考查了实数的运算、分式的化简求值，熟练掌握乘方的运算法则、绝对值的代数意义和分式的混合运算法则是解题关键．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作，
 

【解析】利用点平移的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
利用关于x轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可．
本题主要考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．
 

17.【答案】，198
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为 

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：200，198；
见答案
见答案
见答案
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：设旗杆的高度为x米，则米，
根据题意可知：，米，
，，
，
解得，
旗杆的高度为米；
旗杆的高度为米，则旗杆顶B点到底座高度米，
设夏至日旗杆的影长为y米，
，
解得，
旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，
，
夏至日旗杆的影子不能落在台阶上． 

【解析】设旗杆的高度为x米，则米，利用锐角三角函数列式计算即可；
设夏至日旗杆的影长为y米，根据锐角三角函数解得y的值，进而可以解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，
根据题意得：，
解得，
答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；
根据题意得：，
，，
当时，y有最大值，最大值为2048，
关于x的函数解析式为，最大利润为2048元． 

【解析】设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，根据购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元列出方程组，解方程组即可；
根据总利润=每个A类头盔的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析和方程组．
 

20.【答案】证明：连接OC，则，
，
，
，
是的直径，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
解：，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
的长是 

【解析】连接OC，则，由AB是的直径，得，所以，即可证明DC为的切线；
由的半径为5得，则，由，得，再由勾股定理求得，再证明∽，得，设，则，由勾股定理得，即可求出m的值即AD的长．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，令，得，解得，
令，得，
，，
设抛物线，
抛物线经过点、、，
，
解得，
抛物线解析式为；

①点P的横坐标为m，过点P作直线轴，
，，
，
在线段BC上的一个动点与B、C不重合，
，
线段PE的长度为：；
②不同意他的观点，理由如下：
，
当时，线段PE的值最大，
的对称轴为直线，
当直线a与抛物线的对称轴重合时，线段PE的值不是最大；
③、，
是等腰直角三角形，
与相似，
是等腰直角三角形，
设直线AC的解析式为，
，，

，解得，
直线AC的解析式为，
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为，
点Q的纵坐标为，
代入直线AC得，，
解得，
，
Ⅰ当PQ是等腰直角三角形的直角边时，

，
解得，
是直角边时，点，
PR是直角边时，点，
是等腰直角三角形的斜边时，过点R作于T，

，
，
解得，
，
，
点，
综上所述，x轴上存在点或或，使得与相似． 

【解析】根据直线解析式令求解得到点B的坐标，令得到点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
①根据直线和抛物线解析式表示出线段PE的长度，再根据点P在线段BC上确定出m的取值范围；
②把①求得的二次函数整理成顶点式形式，然后根据最值问题求出线段PE的最大值，即可得出结论；
③可得出是等腰直角三角形，由与相似可得是等腰直角三角形，然后求出直线AC的解析式，再根据点P的横坐标求出点P的纵坐标，再求出点Q的横坐标，然后求出PQ的长，再根据等腰直角三角形的性质分PQ是斜边和底边两种情况讨论求解即可．
本题是二次函数综合题，主要利用了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据两函数图象解析式表示EP，分类讨论并根据等腰直角三角形的性质求解是解题的关键．