144.安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考 数学（理）

皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考

数学（理科）

    本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至第2页，第II卷第2至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

    1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2. 答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可用铅笔在答题卡规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={x∈R|x2-3x≥0}，B={-2，2}，则（RA）∩B=

A.

B. {-2}

C. {2}

D. {-2，2}

2. 已知复数z满足（z+4i）·（1-i）=3+2i（i为虚数单位），则z的共轭复数所对应的点在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 设向量a=（m，0），b=（1，1），且|b|2=|a|2-|a-b|2，则m=

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

4. 安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为

A.

B.

C.

D.

5. 已知公比为q的等比数列{an}中，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4成等差数列，则公比q=

A. 1

B.

C. 1或-1

D. 2或[:]

6. 2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%，下图为该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图，根据统计图，给出下列结论：

①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；

②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少；

③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得。”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解。如图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为

A. 47

B. 48

C. 39

D. 40

8. 已知（ax+b）7的展开式中x5项的系数与x6的系数分别为189与-21，则（ax+b）5展开式所有项系数之和为

A. 64

B. -64

C. 32

D. -32

9. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为

A. 8π

B.

C.

D. 12π

10. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=

A. 2

B. 4

C. 4

D. 8

11. 设函数f（x）=sin（ωx+），ω＞0的图象关于直线x=-1和x=2均对称，则f（0）的所有可能取值个数为

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

12. 正三棱锥P-ABC中，已知点E在PA上，PA，PB，PC两两垂直，PA=4，PE=3EA，正三棱锥P-ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，则α截球O所得截面面积的最小值为

A. π

B. 2π

C. 3π

D. 4π

第II卷

注意事项：第II卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。

13. 若实数x，y满足条件，则z=3x-y的最大值为________。

14. 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，an+1+Sn·Sn+1=0，则数列{Sn·Sn+1}的前10项和为________。

15. 过抛物线C：x2=4y的焦点F的直线ι交C于A，B，点A处的切线与x，y轴分别交于点M，N，若△MON的面积为，则|AF|=________。

16. 若x∈（0，1]，|mx3-3lnx|≥2成立，则实数m的最小值为________。

三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写在答题卡上的指定区域内。

17. （本题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=90º，∠D=60º，CD=1，AD=3。

（I）求sin∠CAD；

（II）若AC=BC，求BD。

18. （本小题满分12分）

在四棱锥P-ABCD中，ABCD为梯形，AB//CD，BC⊥AB，AB=2，BC=，CD=PC=。

（I）点E在线段PB上，满足CE//平面PAD，求的值。

（II）已知AC与BD的交点为M，若PM=1，且平面PAC⊥平面ABCD，求二面角P-BC-M平面角的余弦值。

19. （本小题满分12分）

已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：上两个不同的点，A，M（4，），B到直线ι：x=的距离顺次成等差数列。

（I）求x1+x2的值；

（II）线段AB的中垂线m交x轴于N点，求直线MN的方程。

20. （本小题满分12分）

某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查。现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）。调查结果如下表：

（I）求出表中x，y的值；

（II）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；

（III）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望。

附：K2=

21. （本小题满分12分）

已知函数f（x）=x（ex-a）-alnx，a∈R。

（I）当a=e时，求f（x）的单调区间；

（II）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围。

请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）。P是曲线C1上的动点，将线段OP绕O点顺时针旋转90º得到线段OQ，设点Q的轨迹为曲线C2。以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（I）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（II）在（I）的条件下，若射线θ=（p≥0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点（除极点外），且有定点M（4，0），求△MAB的面积。

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=ln（|x-a|+|x+|）。

（I）当a=1时，求不等式f（x）＞ln10的解集；

（II）求证：≥4。

理数参考答案

1. 【解析】略

2.【解析】∵，∴．

3.【解析】由题意知：，，即，

∵，，∴

4.【解析】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，∴概率.故选B.

5.【解析】由题知：，故，

∴，即，∴或.

6.【解析】年月该市邮政快递业务量完成件数约为万件.①正确；年月邮政快递同城业务量完成件数约万件，年月邮政快递同城业务量完成件数约万件.②错误；年月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长约为.③正确.

7.【解析】 输入初始值n=24,则S=24，第一次循环：n=16,S=40

第二次循环：n=8,S=48，第三次循环：n=0,S=48,即出循环s=47,输出47,选A.

8.【解析】由已知：，即，故，展开式所有项系数之和.

9.【解析】该几何体是一个半圆柱上面放一个半圆锥，体积和为

.

10.【解析】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，

由于，即，

得，

所以．由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则．

11.【解析】根据题意，是半周期的整数倍，于是，

因此，

于是的所有可能取值是

12.【解析】三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴,

过作，,在中，

，当垂直截面时，

截面圆半径最小.，.

13.【答案】【解析】画出表示的可行域，的几何意义是直线的纵截距的相反数，平移直线，根据图形可得结论.

画出实数满足条件表示的平面区域，如图，

的几何意义是直线的纵截距的相反数，

由，可得交点坐标为，平移直线根据图形可知，当直线在经过时，取得最大值，最大值为，故答案为.

14.【答案】 【解析】设是数列的前项和，且，，得到，因此是以为首项，为公差的等差数列，故，∴，，∴.

15.【答案】2【解析】 由题意，焦点，设直线，不妨设为左交点，，则过的切线为，则，所以，解得，则，所以.

16.【答案】【解析】当时，显然不恒成立，故不合题意；

当时，函数的图像有交点，即存在，使得，故不合题意；当时，原不等式等价于，令，则，即，设，，令，解得，，∴，即.

17.【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理得，

由题设知，，∴，…………………………4分

由正弦定理得，

由题设知，，∴；………………………………6分

（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知， ， …………………………8分

∴，  故…………………………10分

在中，由勾股定理得，∴.………12分

18.【解析】（Ⅰ）延长交于点，……………2分

则 是平面与平面的交线，

由平面，则………………………4分

∴ 为 中点，∴．………………………6分

（Ⅱ）在梯形中，， ，

，

可得 ，

且，

又，

可得，∴  ……………………………………………8分

作交于，

可得为的平面角，且， ……………10分

∴.…………………………………………………………12分

19. 【解析】（Ⅰ）设到直线的距离顺次是，

则

∵顺次成等差数列，∴，即

∴.  ……………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）设线段的中点为，由（Ⅰ），

设，则的中垂线的方程为：，……6分

∵在直线上，

故有，即  ①  …………………8分

∵在椭圆上，得，

∴       ②  ……………………………………10分

联立①②可得：，即点坐标为，

∴直线的方程为. ……………………………………………12分

20. 【解析】（Ⅰ）设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则,

…………………………………………………………………………………………………1分

 所以，……………………………………………………………………2分

．……………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）列联表如下：

…………………………………………………………………………………………………5分

的观测值，

所以没有的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．………………………………7分

（Ⅲ）的可能取值为，

则，…………………………………………………………8分

， …………………………………………9分

， …………………………………………………………10分

， ……………………………………………………………………11分

∴． …………………………………………12分

21. 【解析】（Ⅰ）的定义域为，

当时，. …………………………………………………2分

令，则，可得

∴的单调递减区间为 ，单调递增区间为.…………………………4分

（Ⅱ）记，则在上单增，且.

∴.

∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.…………6分

①在时，在上单增，且，故无零点；

②在时，在上单增，又，，

故在上只有一个零点；

③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.  ………………………………………………………………………8分

若，，无零点；

若，，只有一个零点；

若时，，而，…………………………………10分

由于在时为减函数，可知：时，，

即.从而，∴在和上各有一个零点.

综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.…………12分

22. 【解析】（Ⅰ）由题设，得的直角坐标方程为，

即，…………………………………………………………………………2分

故的极坐标方程为，即． ………………………………3分

设点，则由已知得，

代入的极坐标方程得，

即的极坐标方程为．  ………………………………………………5分

（Ⅱ）将代入的极坐标方程得， ………………………7分

又因为，所以，…………………………………8分

，…………………………………………………………9分

所以．……………………………………………………10分

23.【解析】（Ⅰ） 当时，，由，

得 …………………3分

解得            ……………………………………………………………4分

∴的解集为；  …………………………………………5分

（Ⅱ）………………………8分

，当且仅当时等号成立. …………………………………………10分

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