重庆八中2021届高三上学期高考适应性月考（二）数学试题 Word版含答案

重庆八中2021届高考适应性月考卷（二）

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．，在试题卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在复平面内，若复数对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

3．已知正项等比数列的前项和为，且，，则等比数列的公比为

A． B． C．2 D．3

4．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）。已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为

A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．8小时

5．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则

A．且 B．且

C．且 D．且

6．若数列的通项公式是，则

A．45 B．65 C．69 D．-105

7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且．，则

A． B．3 C． D．2

8．从某个角度观察篮球（如图1甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为

A．

B．

C．2

D．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9．已知向量，，则下列命题正确的是

A．若，则

B．若在上的投影为，则向量与的夹角为

C．存在，使得

D．的最大值为

10．如图，长方体的底面是正方形，，是的中点，则

A．为直角三角形

B．

C．三棱锥的体积是长方体体积的

D．三棱锥的外接球的表面积是正方形ABCD面积的倍

11．已知定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，则下列结论正确的是

A．  B．在上单调递增

C．  D．可以是

12．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，直线与交于A，B两点，轴，垂足为，直线BE与的另一个交点为，则下列结论正确的是

A．四边形为平行四边形

B．

C．直线$BE$的斜率为

D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知x，y满足约束条件则的最大值为____________。

14．设函数的导函数是，若，则____________．

15．已知圆与直线，上任意一点向圆引切线，切点为A，B，若线段AB长度的最小值为，则实数的值为____________．

16．已知等差数列的前项和为，，．数列的前项和为，若对一切，恒有，且，则的最大值为____________．

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱中，，为AB的中点。

（1）求证：；

（2）求与平面所成的角．

18．（本小题满分12分）

已知直线与直线将圆分成面积相等的四部分，且圆与轴相切．

（1）求圆的标准方程；

（2）直线过点，且与圆交于A，B两点，是否存在直线，使得，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知函数的图象如图4所示，其中，．

（1）求的最小正周期；

（2）若，且，求．

20．（本小题满分12分）

已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．

（1）求及；

（2）设，求数列的前项和．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，为粗圆上一点，且

（1）求椭圆的方程

（2）过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另一点A，B，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标．

22．（本小题满分12分）

已知函数，，设．

（1）若，求的最大值；

（2）若有两个不同的零点，，求证：。

重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（二）

数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．在复平面内对应的点在第二象限，可得解得，故选A．

2．是的充分不必要条件，故选A．

3．因为，，则，，又，所以，故选B．

4．由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，，所以，得．又由知，，所以当时，，故选C．

5．由题，，，，故选C．

6．因为，则 ，故选B．

7．在中，由，得．又由，得 ，所以，从而，故选C．

8．以O为原点，AD所在直线为x轴建系，不妨设，则该双曲线过点且，将点代入方程，故离心率为，故选B．

9．若，则，则，故A错误；若b在a上的投影为，且，则，，故B正确；若，，若，则，即，故，，故C正确； ，因为，，则当时，的最大值为，故D正确，故选BCD．

10．令，在中，，， ，满足勾股定理，则为直角三角形，故A正确；因为CE与不平行，故B错误；棱锥的体积为，所以，则三棱锥的体积是长方体体积的，故C正确；因为三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以三棱锥的外接球半径 ，三棱锥的外接球的表面积为，，三棱锥的外接球的表面积是正方形ABCD面积的倍，故D正确，故选ACD．

11．因为是偶函数，令“任意都有，”中的，可得，故，故A正确；因为，故 对任意的x恒成立，故的周期为，在上是单调减函数，故在上也是减函数，故B错误；又，故C正确；D不满足题目所叙述的单调性，故D错误，故选AC．

12．如图1，直线与C交于A，B两点，由椭圆的对称性可得O为AB的中点，又O为的中点可得四边形为平行四边形，故A正确；由椭圆方程可得，，以为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P在圆外，可得，故B正确；取AE的中点D，则，易知，故直线BE的斜率也为 ，故C正确；又，，可得，故得，即，故D错误，故选ABC．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．由图，当直线经过时，．

14．∵，∴，∴．

15．圆C：，则圆心，，设，则 ，有最小值，即 (舍负)．

16．设等差数列的公差为d，则依题得解得所以，，则．令，所以 ，故，所以，则的最小值为对，，则m的最大值为9．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

（1）证明：在直三棱柱中，，

所以．

又平面，

所以，，

所以，，

因此． …………………………………………………………（3分）

因为，所以为正方形，即有，

与是平面内两相交直线，

故，从而． ………………………………………（5分）

（2）解：如图2以C为原点，分别以，，为

正方向建立x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，

则，，，，

，，D为AB的中点，

故，．

设平面的法向量为，

由即

取，则． ………………………………………………………（8分）

设与平面所成的角为，

则，所以． ………………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）由题意圆C的圆心为直线与直线的交点，

联立两方程解得， ………………………………………………（3分）

又圆C与y轴相切，故半径为4，

所以圆C的标准方程为． …………………………（6分）

（2）假设满足条件的直线l存在，显然l的斜率存在，设方程为．

取AB的中点Q，连接CQ，

则，有，

于是有，

于是，解得或，

故存在直线l满足题意，且l的方程为或．

 ………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）由，得，

因为，所以，． ………………………（2分）

又由，得，

由图知，，，

因为，所以，．

若，则，与图形条件矛盾．

所以，，从而． ………………………………………………（6分）

（2）由（1）知，．

由，得．

因为，

所以，从而．

 ……………………………………………………（8分）

所以

．

 ………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）因为等差数列为递增数列，且，是方程的两根，

所以，，

解得 …………………………………………………（2分）

又，则．

 …………………………………………………（4分）

故，．

 …………………………………………………（6分）

（2），

 …………………………………………………（8分）

可得前n项和

．

 ………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（1）解：由已知得

故所求椭圆的方程为． …………………………………………（4分）

（2）证明：①当直线AB的斜率存在时，设方程为，

与椭圆C联立消去y得，

．

设，，

则． ……………………………………（6分）

因为，所以，

 ………………………………………………（7分）

，

，

代入韦达定理，整理得，

解得或． ………………………………………（9分）

若，则直线AB的方程为，过点M，不符题意；

若，则直线AB的方程为，恒过点；

 ……………………………………………………（11分）

②当直线AB的斜率不存在时，设，，

由

解得或(舍)，

此时直线AB也过点．

综上知，直线AB恒过定点． ………………………………（12分）

22．（本小题满分12分）

（1）解：． ………………………………………………（1分）

注意，且当时，，单调递增；

当时，，单调递增减．

所以的最大值为．

 …………………………………………………………（4分）

（2）证明：由题知，，

即，，

可得． ……………………………………（6分）

．

 ………………………………………………………（8分）

不妨，则上式进一步等价于．

令，则只需证． ………………………………………（10分）

设，，

所以在上单调递增，

从而，即，

故原不等式得证． …………………………………………………（12分）