第二章机械振动——高二物理期末复习章节知识点精讲精练（人教版2019选择性必修第一册）

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第二章 机械振动

第一部分 知识总结

内容1：简谐运动
一、弹簧振子
1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动．
注意：机械振动是机械运动的一种．
2．弹簧振子

如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子．
3．平衡位置：弹簧未形变时，小球所受合力为0的位置．
二、弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．如图．

2．绘制图像：若用横轴表示振子运动的时间t，纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，则振子振动的x­t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线．

三、简谐运动
1．定义
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫作简谐运动．
2．特点
简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动．弹簧振子的运动就是简谐运动．
3．简谐运动的图像(如图所示)

（1）简谐运动的图像是振动物体的位移随时间的变化规律．
（2）简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势．
知识演练
1．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是(　　)
A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
【解析】B　平衡位置是物体可以静止的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关．如乒乓球竖直落在台上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的中心位置应在台面上，所以A不正确．振动位移是以平衡位置为初始点，到质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变化，振子偏离平衡位置最远时，振动物体振动位移最大．所以只有选项B正确．
2．如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，当振子从平衡位置O向a运动过程中(　　)
A．加速度和速度均不断减小
B．加速度和速度均不断增大
C．加速度不断增大，速度不断减小
D．加速度不断减小，速度不断增大
【解析】C　当振子从平衡位置O向a运动的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，根据牛顿第二定律知，加速度逐渐增大，加速度的方向与速度的方向相反，振子做减速运动，则振子速度减小，选项C正确，A、B、D错误．
3．如图所示是一弹簧振子，设向右为正方向，O为平衡位置，则(　　)
A．A→O时，位移为负，速度为正
B．O→B时，位移为正，加速度为负
C．B→O时，位移为负，速度为正
D．O→A时，位移为负，加速度为正
【解析】C　位移方向是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，加速度方向总是指向平衡位置，而速度方向要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定，规定向右为正方向，A→O或O→B速度为负，O→A或B→O速度为正，所以本题正确选项为C.
4．关于简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A．位移的方向总是指向平衡位置
B．加速度方向总和位移方向相反
C．位移方向总和速度方向相反
D．位移方向总和速度方向相同
【解析】B　由简谐运动的特点可知，位移是指由平衡位置指向振子所在位置的有向线段，由a＝－可知加速度方向与位移相反，速度与位移可能同向，也可能反向，故选B.
5．如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上．某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动，已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图像是(　　)

【解析】B　物块A、B紧挨在一起平衡时弹簧压缩量Δx1＝gsin θ，移走B后，A平衡时弹簧压缩量Δx2＝，因此，A的最大位移＝Δx1－Δx2＝，A、C错误；又t＝0时，A在负位移最大值处，故B正确，D错误．

内容2：简谐运动的描述
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)．
(2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小．
2．周期(T)和频率(f)
内　容
周　期
频　率
定　义
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间
物体完成全振动的次数与所用时间之比
单　位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
都是表示振动快慢的物理量
联　系
f＝
注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的．
3．相位：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述．
二、简谐运动的表达式
1．表达式：简谐运动的表达式可以写成
x＝Asin或x＝Asin
2．表达式中各量的意义
（1）“A”表示简谐运动的“振幅”．
（2）ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率．
（3）“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝.
（4）“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位．
（5）“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相．
说明：
1．相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量．
2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．
知识演练
1．下列说法正确的是(　　)
A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅
B．物体在个周期内，通过的路程是1个振幅
C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅
D．物体在个周期内，通过的路程是3个振幅
【解析】C　在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误．
2．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　　)

A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0
C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置
【解析】B　将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝＝ Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误．
3．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是(　　)
A．该简谐运动的周期是0.2 s
B．前1 s内质点运动的路程是100 cm
C．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小
D．t＝0.6 s时质点的动能为0
【解析】C　由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt(cm)，可知圆频率ω＝5π，则周期T＝＝ s＝0.4 s，A错误；1个周期内运动的路程为4A＝20 cm，所以前1 s内质点运动的路程是s＝·4A＝2.5×20 cm＝50 cm，B错误；0.4 s到0.5 s质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，C正确；t＝0.6 s时，质点经过平衡位置，动能最大，D错误．
4．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在0～10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大
D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等
【解析】BCD　由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，则在0～10 s内质点经过的路程是s＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确．
5．情景：在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示．

问题：(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？
(2)试着作出P的振动图像．
(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原
来相同．由图丙中数据求纸带的加速度．
【解析】(1)由图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝，可得t＝＝ s＝0.2 s，所以周期T＝0.2 s.
(2)由图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图像如图所示．

(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由丙图可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得加速度a＝ m/s2＝1.0 m/s2.
【答案】　(1)0.2 s　(2)见解析图　(3)1.0 m/s2

内容3：简谐运动的回复力和能量
一、简谐运动的回复力
1．回复力
（1）定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力．
（2）方向：指向平衡位置．
（3）表达式：F＝－kx.
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
说明：(3)式中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．
二、简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
（1）在最大位移处，势能最大，动能为零．
（2）在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
知识演练
1．(多选)关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是(　　)
A．是回复力为零的位置
B．是回复力产生的加速度改变方向的位置
C．是速度为零的位置
D．是回复力产生的加速度为零的位置
【解析】ABD　平衡位置处，x＝0，则回复力F＝0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大，势能最小，A、D正确，C错误；在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确．
2．(多选)关于简谐运动，以下说法正确的是(　　)
A．回复力可能是物体受到的合外力
B．回复力是根据力的作用效果命名的
C．振动中位移的方向是不变的
D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
【解析】AB　回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是变化的，做简谐运动的物体振幅是不变的，C错误；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D错误．
3．(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是 (　　)
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
【解析】BC　质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，加速度减小，速度增大，势能转化为动能，所以选项D错误．
4.如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A到B的时间为0.1 s．若使振子在AB＝10 cm间振动，则振子由A到B的时间为________．

【解析】　由于周期不变，仍为0.2 s，A到B仍用时0.1 s.
【答案】　0.1 s
5．如图所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿x轴的水平光滑杆上，且能够在杆上自由滑动．把小球沿x轴拉开一段距离，小球将做振幅为R的振动，O为振动的平衡位置．另一小球B在竖直平面内以O′为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动．O与O′在同一竖直线上．用竖直向下的平行光照射小球B，适当调整B的转速，可以观察到，小球B在x轴方向上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合．已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，弹簧的弹性势能表达式为Ep＝kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量．
问题：(1)请结合以上实验证明：小球A振动的周期T＝2π.

(2)简谐运动的一种定义：如果质点的位移x与时间t的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫作简谐运动．请根据这个定义并结合以上实验证明：小球A在弹簧作用下的振动是简谐运动，并写出用已知量表示的位移x与时间t关系的表达式．
【解析】　(1)以小球A为研究对象，设它经过平衡位置O时的速度为v，当它从O运动到最大位移处，根据机械能守恒定律，有mv2＝kR2，由此得v＝R
由题中实验可知，小球B在x轴方向上的“影子”的速度时刻与小球A的速度相等，小球A经过O点的速度v与小球B经过最低点的速度相等，即小球B做匀速圆周运动的线速度也为v.小球A振动的周期与小球B做匀速圆周运动的周期相等．
根据匀速圆周运动的周期公式，小球B的运动周期为T＝
则小球B的运动周期为T＝2π
所以小球A的振动周期也为T＝2π.
(2)设小球B做匀速圆周运动的角速度为ω，小球A从O向右运动、小球B从最高点向右运动开始计时，经过时间t，小球B与O′的连线与竖直方向夹角为φ，如图，此时小球B在x轴方向上的位移为x＝Rsin φ＝Rsin ωt
又ω＝
将T值代入可得x＝Rsin(·t)
由题中实验可知小球B在x轴方向上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合，即小球A的位移规律也为x＝Rsin(·t)，其中R、k、m为常量
所以小球A的运动是简谐运动．
【答案】　(1)见解析　(2)见解析　x＝Rsin(·t)

内容4：单　摆
一、单摆及单摆的回复力
1．单摆模型
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆．单摆是实际摆的理想化模型．
在单摆模型里，悬线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点，单摆是一个理想化的模型．
2．单摆的回复力
（1）回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力，即F＝mgsin_θ.
（2）回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置．
（3）运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律．

二、单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
（1）单摆的周期与摆球质量、振幅无关．
（2）单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大．
2．周期公式
（1）公式：T＝2π.
（2）单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质．


知识演练
1．(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　　)
A．摆球受到的回复力是它所受的合力
B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
C．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比
D．摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
【解析】BD　摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，A选项错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，B选项正确；摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比，但合力没有此关系，C选项错误，D选项正确．
2．(多选)发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(　　)
A．增大摆球质量 B．增加摆长
C．减小单摆振幅 D．将单摆由山下移到山顶
【解析】BD　由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或L增大时周期会变大．
3．(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
【解析】ABD　由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大．故正确答案为A、B、D.
4．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的，则单摆摆动的频率________，振幅变________．
【解析】　单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定，与摆球的质量和速度无关；另外由机械能守恒定律可知，摆球经过平衡位置的速度减小了，则摆动的最大高度减小，振幅减小．
【答案】　不变　小
5．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放．

问题：（1）两球第1次到达C点的时间之比．
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
【解析】　(1)甲球做自由落体运动
R＝gt，所以t1＝.
乙球沿圆弧做简谐运动(由于≪R，可认为摆角θ＜5°)．
此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝.
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间t甲＝.
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)
由于甲、乙在C处相遇，故t甲＝t乙
解得h＝(n＝0,1,2，…)．
【答案】　(1)　(2)(n＝0,1,2，…)

内容5：受迫振动　共振
一、振动中的能量损失
1．固有振动
如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率．
2．阻尼振动
（1）阻力作用下的振动
当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来．
（2）阻尼振动
振幅随时间逐渐减小的振动．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动．

二、受迫振动、共振
1．受迫振动
（1）驱动力：作用于振动系统的周期性的外力．
（2）受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动．
（3）受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系．
2.共振
（1）定义：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象．
（2）条件：驱动力频率等于系统的固有频率．
（3）特征：共振时受迫振动的振幅最大．
（4）共振曲线：如图所示．表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率．

知识演练
1．(多选)单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为(　　)
A．单摆做的是阻尼振动
B．能量正在逐渐消灭
C．动能正在转化为势能
D．总能量守恒，减少的机械能转化为内能
【解析】AD　能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故B错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故C错误，A、D正确．
2．(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法正确的是(　　)
A．只有A、C摆振动周期相等
B．A摆的振幅比B摆的小
C．B摆的振幅比C摆的小
D．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关
【解析】CD 当单摆A振动起来后，单摆B与C做受迫振动，做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误；当物体的固有频率等于驱动力的频率时，发生共振现象，选项B错误，选项C、D正确．
3．(多选)一台洗衣机的脱水桶正常工作时非常平衡，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，下列说法中正确的是(　　)
A．正常工作时洗衣机做的是受迫振动
B．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大
C．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率小
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
【解析】ABD　切断电源后，脱水桶的转速越来越小，即脱水桶的运转频率越来越小，由题意可知，当洗衣机脱水桶正常工作时，非常稳定，即正常工作时的频率大于洗衣机的固有频率，A、B选项正确，C选项错误；当振动最剧烈时，洗衣机发生了共振，即脱水桶运转频率等于洗衣机的固有频率，D选项正确．
4．(多选)如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是(　　)
A．甲的振幅较大
B．甲的振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大
D．乙的振动频率为9 Hz
【解析】ABD　根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以选项A、B、D正确．
5．如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中．当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约为3 Hz.现使圆盘以4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定．

问题：小球稳定后它振动的频率是多少？
【解析】　当圆盘转动时，通过小圆柱带动T形支架上下振动，T形支架又通过弹簧给小球一周期性的作用力使其做受迫振动，所以小球振动的频率应等于驱动力的频率，即T形支架的振动频率，而T形支架的频率又等于圆盘转动的频率，故小球振动的频率f＝＝ Hz＝0.25 Hz.
【答案】　0.25 Hz


第二部分 专题讲解
专题1：简谐运动的周期性和对称性
1.做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以做简谐运动的物体具有周期性．
2．做简谐运动的物体其运动具有对称性．对称性表现在：
（1）速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
（2）加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
（3）时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过该段的时间相等．
【例1】　一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点后经过3 s时间第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过________s第三次经过M点．若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则质点振动的振幅为________cm.

【解析】　作出该质点振动的图像如图所示，则M点的位置可能有两个，即如图所示的M1、M2.(1)第一种情况：若是位置M1，由图可知＝3 s＋1 s＝4 s，T1＝16 s，根据简谐运动的周期性，质点第三次经过M1时需再经过的时间为Δt1＝16 s－2 s＝14 s．质点在20 s内的路程为20 cm，故由5A1＝20 cm，得振幅A1＝4 cm.(2)第二种情况：若是位置M2，由图可知＝3 s＋1 s＝4 s，
T2＝ s．根据对称性，质点第三次经过M2时需再经过的时间为Δt2＝ s－2 s＝ s，质点在20 s内的路程为20 cm，故由15A2＝20 cm，得振幅A2＝cm.
【答案】　14或　4或
【技巧与方法】
由于简谐运动的周期性和初始条件的不确定性，往往引起此类问题的多解，解决此类问题时要将题目分析透彻，弄清各种可能性，切勿漏解.
【针对训练】
1．光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为________ J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz,1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．
【解析】　根据其周期性及对称性，则有周期T＝0.8 s，振子的最大速度为4 m/s，则最大动能Ekm＝mv2＝0.4 J．根据振子振动的周期性判定在t＝1.2 s末，振子在最大位移处，据机械能守恒有Ep＝Ekm＝0.4 J，物体的振动周期为0.8 s，则其动能的变化周期为＝0.4 s，所以动能的变化频率为2.5 Hz.在物体振动的1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)弹力两次做正功，根据其周期性可求得1 min内弹力做正功的次数为n＝×2次＝150次．
【答案】　0.4　2.5　150

专题2：简谐运动的图像及应用
简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律．从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：
项目
内容
说明
横、纵轴表示的物理量
横轴表示时间，纵轴表示质点的位移
①振动的图像不是振动质点的运动轨迹
②计时起点一旦确定，已经形成的图像形状不变，以后的图像随时间向后延伸
③简谐运动图像的具体形状跟正方向的规定有关
意义
表示振动质点的位移随时间变化的规律
形状

应用
①直接从图像上读出周期和振幅
②确定任一时刻质点相对平衡位置的位移
③判断任意时刻振动质点的速度方向和加速度方向
④判断某段时间内振动质点的位移、速度、加速度、动能及势能大小的变化情况
【例2】　(多选)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　)

甲　　　　　　　　　　乙
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
【解析】ABD　t＝0.8 s时，振子经过O点向负方向运动，即向左运动，选项A正确；t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处，选项B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移等大反向，回复力和加速度也是等大反向，选项C错误；t＝0.4 s时到t＝0.8 s的时间内，振子从B点向左运动到平衡位置，其速度逐渐增加，选项D正确．
【针对训练】
2.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知(　　)
A．质点振动频率是0.25 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝3 s时，质点所受的合外力一定为零
【解析】ABC　质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz；t＝2 s时，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大；质点的振幅为2 cm；t＝3 s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，所受的合外力可能为零，也可能最大，选项A、B、C正确．
专题3：单摆周期公式的应用
1.对单摆周期公式的理解
（1）单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立．
（2）公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋r球．
（3）公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
（4）周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．
2．有关周期T的常见情况
（1）同一单摆，在地球的不同位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同．
（2）同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同．例如单摆放在月球上时，由于g月 （3）当单摆处在绕地球运行的卫星中时，由于卫星处于完全失重状态，等效重力加速度g＝0，则周期T为无穷大，即单摆不会振动．
（4）当单摆放在竖直方向的电场中，若单摆带电，则类似于超(失)重，等效加速度g′＝g＋a(g′＝g－a)，其中a＝，故周期T变化．(g>a)
（5）当带电单摆放到跟振动平面垂直的磁场中时，由于洛伦兹力始终与速度方向垂直，不改变等效加速度g′的大小，故周期T不变．
【例3】　如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°.则：

(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
【解析】　本题应理解等效摆长及单摆周期公式中的摆长．
(1)小球以O′为圆心做简谐运动，所以摆长l＝l0＋，振动的周期为T1＝2π＝2π＝2π.
(2)小球以O为圆心做简谐运动，摆长l′＝l0＋l0sin α＋，振动周期为T2＝2π＝2π＝2π.
【技巧与方法】
（1）不同的摆动方向，等效摆长不同，振动周期也就不同.
（2）同一单摆放到不同环境中，等效重力加速度不同，导致周期不同.
【针对训练】
3．如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a(g>a)向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电荷，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电荷，放在匀强电场E中，周期为T丁，单摆甲、乙、丙及丁的摆长l相同，则下列说法正确的是(　　)

甲　　 乙　　　 丙　　　　丁
A．T甲＞T乙＞T丁＞T丙 B．T乙＞T甲＝T丙＞T丁
C．T丙＞T甲＞T丁＞T乙 D．T丁＞T甲＝T丙＞T乙
【解析】B　对甲摆：T甲＝2π.对乙摆：T乙＝2π.
对丙摆：由于摆动过程中洛伦兹力总是垂直于速度方向，故不可能产生沿圆弧切向的分力效果而参与提供回复力，所以周期不变，即T丙＝2π.
对丁摆：由于摆球受竖直向下的重力的同时，还受竖直向下的电场力，电场力在圆弧切向产生分力，与重力沿切向的分力一起提供回复力，相当于重力增大了．等效重力F＝mg＋qE，故等效重力加速度g′＝g＋，故周期T丁＝2π，所以T乙＞T甲＝T丙＞T丁．