第七章 复数——2022-2023学年高一数学期末复习重难点专项学案+期末模拟卷（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数（重难点专题复习）

【题型1  复数的分类】

【方法点拨】

分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断.

【例1】（2023春·安徽合肥·高一校考期中）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ）

A．2 B．2或 C． D．

【变式1-1】（2023春·浙江杭州·高一校考期中）若复数，则z的实部与虚部的和为（    ）

A．-1 B．1 C．5 D．-5

【变式1-2】（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）如果复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．2或3 B．0或3 C．0 D．2

【变式1-3】（2023·江苏·高一专题练习）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ）

A．5 B． C．3 D．

【题型2  复数的几何意义】

【方法点拨】

复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都对应唯一的一个有序实

数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.

【例2】（2023春·广东江门·高一校考期中）设复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式2-1】（2023春·河南·高一阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）若，则复数在复平面内，所对应的点在（    ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（    ）

A． B． C． D．

【题型3  复数的模的计算】

【方法点拨】

根据复数的模的计算公式，进行计算即可.

【例3】（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知复数为纯虚数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．2

【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知复数（，i为虚数单位），则的最大值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【变式3-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）若，则=（    ）

A． B． C．10 D．

【题型4  复数的模的几何意义】

【方法点拨】

复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有|z|0，并且绝对值具有的某些性质可以推广到复

数的模.根据复数的模的几何意义，进行转化求解即可.

【例4】（2023·湖北襄阳·校考模拟预测）设，则在复平面内所表示的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．

【变式4-1】（2023·江西赣州·统考二模）已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式4-2】（2023·高一课时练习）若z是复数，且，则的最大值是（    ）

A．12 B．8 C．6 D．3

【变式4-3】（2023春·吉林长春·高一阶段练习）已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【题型5  复数的四则运算】

【方法点拨】

(1)两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复

数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，

所有虚部相加(减).

(2)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.

(3)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即

将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.

【例5】（2023·甘肃·模拟预测）设，则（    ）

A． B． C．4 D．0

【变式5-1】（2023春·浙江·高一校联考期中）设i为虚数单位，复数z满足，则为（    ）

A． B．1 C．3 D．

【变式5-2】（2023·河北衡水·模拟预测）若，则（    ）

A． B．

C． D．

【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【题型6  复数加、减法的几何意义的应用】

【方法点拨】

(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.

(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复

数.

【例6】（2022春·福建龙岩·高一校联考期中）已知复数及复数．

(1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义；

(2)求．

【变式6-1】（2022·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：

（1）向量对应的复数；

（2）向量对应的复数；

（3）向量对应的复数．

【变式6-2】（2023·高一单元测试）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：

(1)点D对应的复数；

(2)平行四边形ABCD的面积．

【变式6-3】（2022·高一课前预习）已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.

（1）求对应的复数；

（2）求对应的复数；

（3）求△APB的面积.

【题型7  虚数单位i的幂运算的周期性】

【方法点拨】

根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.

【例7】（2023春·天津和平·高一校考期中）已知，则（    ）

A．3 B．1 C． D．i

【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则复数的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【变式7-2】（2023·天津·一模）复数（    ）

A． B．

C． D．

【变式7-3】（2023·新疆·校联考二模）复数，则（    ）

A． B．

C． D．

【题型8  解复数方程】

【方法点拨】

实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则

其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.

【例8】（2023春·山东枣庄·高一统考期中）已知复数．

(1)求；

(2)若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值．

【变式8-1】（2023春·浙江·高一校联考期中）（1）已知(是虚数单位)是方程()的一个复根,求实数,的值;

（2）在复数范围内解方程:.

【变式8-2】（2023春·浙江台州·高一校考期中）在复平面内，复数，对应的点分别为，，，且为纯虚数．

(1)求a的值；

(2)若的共轭复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．

【变式8-3】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知关于的方程，.

(1)当时，在复数范围内求方程的解；

(2)已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围.

【题型9  复数的代数形式与三角形式的互化】

【方法点拨】

复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.

将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.

【例9】（2022·高一课时练习）复数的代数形式与三角形式互化：

（1）；

（2）.

【变式9-1】（2023春·全国·高一专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．

（1）4；

（2）2.

【变式9-2】（2023春·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【变式9-3】（2023春·全国·高一专题练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．

(1)6；

(2)；

(3)；

(4)．

【题型10  三角形式下的复数的乘、除运算】

【方法点拨】

复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；

复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；

复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.

【例10】（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ）

A． B． C． D．

【变式10-1】（2023·全国·高一专题练习）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式10-2】（2022·高一课时练习）任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（    ）

（1）

（2）当时，

（3）当时，

（4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式10-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ）

A．若i，则i

B．若i，则i

C．若i，i，则i

D．若i，i，则i