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【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题04 勾股定理之图形折叠模型
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这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题04 勾股定理之图形折叠模型，共25页。学案主要包含了新方法解读，典例分析，变式1-1，变式1-2，变式1-3，夯实基础，能力提升等内容，欢迎下载使用。
专题04 勾股定理之图形折叠模型
初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的 长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.
【新方法解读】
图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然 后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等， 考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析 式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索 能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把 握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和 不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、 全面解决问题.
折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角） 性质记忆：折叠必有角相等、边相等。
处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理
【典例分析】
【典例1】（秋•高青县期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，求EF的长度．
【变式1-1】（2022秋•槐荫区校级期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【变式1-2】（荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式1-3】（衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【夯实基础】
1．（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
2．（2021春•中山市期中）把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝3，BC＝3．则△DEF的面积是（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
3．（2020春•红旗区校级月考）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB＝4cm，BC＝8cm，则△BEF的面积为（ ）
A．12cm2 B．10cm2 C．8.6cm2 D．8cm2
4．（2022春•通城县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
5．（2022春•夏津县期末）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为 cm．
6．（2021秋•金牛区校级月考）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 ．
7．（包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是 ．
9．（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕AD的长．
10．（2021•福田区校级开学）如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？
11．（春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
12．（秋•秀峰区校级期末）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
13．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB＝5，BC＝12，求图中阴影部分的面积．
14．（2020秋•临漳县期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．
15．（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．
【能力提升】
16．（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为 ．
17．（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于 ．
18．（2022春•潼南区期中）如图，在矩形ABCD中，点M为矩形AD的中点，连接CM，沿着CM折叠，点D的对应点D'，N为BC上一点，且BN＜CN，沿MN折叠，恰好AM与D'M重合，此时点A的对应点为点D'，若AB＝6，BN＝3.5，则A′到CM的距离为 ．
专题04 勾股定理之图形折叠模型
初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的 长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.
【新方法解读】
图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然 后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等， 考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析 式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索 能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把 握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和 不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、 全面解决问题.
折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角） 性质记忆：折叠必有角相等、边相等。
处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理
【典例分析】
【典例1】（秋•高青县期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，求EF的长度．
【解答】解：△AEF是△ADE通过折叠得到，∴△ADE≌△AFE，DE＝EF
∵AB＝3，AD＝5，在Rt△ABF中，
利用勾股定理可得BF＝4，
∴CF＝1，设DE＝EF＝x，
则在Rt△CEF中，x2＝（3﹣x）2+12
解得：x＝．
答：EF的长为．
【变式1-1】（2022秋•槐荫区校级期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【答案】C
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
【变式1-2】（荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，所以x＝3．
故选：A．
【变式1-3】（衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：由已知可得，△ADG≌△A′DG，BD＝5
∴A′G＝AG，A′D＝AD＝3，A′B＝5﹣3＝2，BG＝4﹣A′G
在Rt△A′BG中，BG2＝A′G2+A′B2可得，A′G＝．
则AG＝．
故选：C
【夯实基础】
1．（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，
∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，
∵∠FPH＝90°，
∴FH＝＝＝5，
∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，
故选：C．
2．（2021春•中山市期中）把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝3，BC＝3．则△DEF的面积是（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：设DE＝x，
∵AB＝3，BC＝3，
∴A′E＝AE＝3﹣x，A′D＝AB＝3，
∴A′D2+A′E2＝DE2，即：
32+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，
∴DE＝2，
S△DEF＝×DE×CD＝×2×3＝3，
故选：C．
3．（2020春•红旗区校级月考）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB＝4cm，BC＝8cm，则△BEF的面积为（ ）
A．12cm2 B．10cm2 C．8.6cm2 D．8cm2
【答案】B
【解答】解：连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，
∵将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，
∴BE＝DE，△BEF≌△DEF，
∵BE2＝AB2+AE2，
∴DE2＝16+（8﹣DE）2，
∴DE＝5，
∴S△BEF＝××4＝10cm2＝S△BEF，
故选：B
4．（2022春•通城县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
【答案】10
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故答案为：10．
5．（2022春•夏津县期末）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为 cm．
【答案】3
【解答】解：∵D，F关于AE对称，所以△AED和△AEF全等，
∴AF＝AD＝BC＝10，DE＝EF，
设EC＝x，则DE＝8﹣x．
∴EF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝4．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+FC2＝EF2，
即：x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．
∴EC的长为3cm．
6．（2021秋•金牛区校级月考）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵AB＝8，S△ABF＝24
∴BF＝6
在Rt△ABF中，AF＝＝10
∴AD＝AF＝BC＝10
∴CF＝10﹣6＝4
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x
在Rt△ECF中，（8﹣x）2＝x2+42
解之得，x＝3；故应填3．
7．（包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
【答案】2
【解答】解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是 ．
【答案】
【解答】解：如图所示，连接BE，
∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，BD＝5，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，
∴AB＝5+5＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝6，
设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
∴CE＝，
故答案为：．
9．（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕AD的长．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）
∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）
∴∠C＝90°；
∴△ABC是直角三角形．（1分）
（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．
设CD＝x，则DE＝x，AE＝5，BE＝8，BD＝12﹣x；
∵∠AED＝∠C＝90°，
∴在Rt△EBD中，x2+82＝（12﹣x）2，
解得：x＝，（3分）
∴AD＝＝．（3分）
10．（2021•福田区校级开学）如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝，
∴∠EDB＝∠DBC，
由折叠的性质，可得BF＝BC＝AD＝，∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴AE＝EF，
设AE＝x，则EF＝x，DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝﹣x
∵ED2＝DF2+EF2，即（﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
∴S△DEF＝•EF•DF＝．
11．（春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．
∴x＝（cm）．
12．（秋•秀峰区校级期末）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．
所以CF＝4，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝x+4．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
13．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB＝5，BC＝12，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：因为BC折叠后落在对角线BD上，设C的对应点是F，则EF⊥BD，
△DEF是直角三角形，∠DFE＝90°
因为BD是长方形ABCD的对角线，
所以BD＝，
DF＝13﹣12＝1，
设CE＝x，则EF＝CE＝x，DE＝5﹣x，
在△DEF中，x2+12＝（5﹣x）2，
解得，
所以图中阴影部分的面积．
14．（2020秋•临漳县期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，
∴AB′＝AB＝3，DB′＝BD，∠AB′D＝∠CB′D＝90°，
∴CB′＝2，
设B′D＝BD＝x，则CD＝4﹣x，
∵DB′2+CB′2＝CD2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴DB′＝．
15．（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．
【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．
∵AD＝BC＝10cm，
∴AF＝AD＝10cm．
又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2
∴82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
即16+x2＝64﹣16x+x2，
化简，得16x＝48，
∴x＝3，
故EC的长为3cm．
【能力提升】
16．（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为 ．
【答案】或7
【解答】解：如图，当∠AEC'＝90°时，则∠CEC'＝90°，
∴∠CED＝∠C'ED＝45°，
∴∠CDE＝45°，
∴CE＝CD＝5，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣5＝7；
如图，当∠AC'E＝90°时，
∵∠AC'E+∠DC'E＝90°+90°＝180°，
∴点A，C'，D共线，
∴AD＝＝13，
∵C'E＝CE＝12﹣AE，AC'＝AD﹣C'D＝8，
∴AE2＝（12﹣AE）2+82，
∴AE＝；
当∠C'AE＝90°时，不存在，
综上所述，若△AEC为直角三角形，则AE的长为或7，
故答案为：或7．
17．（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于 ．
【答案】0.6或1.5
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
由折叠的性质得，BD＝B'D，
∵△B′DE是直角三角形，
∴∠BDB'＝∠B'DE＝90°，
∴△BDB'是等腰直角三角形，
如图所示，过D作DF⊥AB于F，连接BB'，
∴∠ADC＝45°，
∴DC＝AC＝3，
∴BD＝BC﹣DC＝4﹣3＝1，
∴DF＝，
点E与点C重合时，△B′DE是直角三角形，
∴∠B'ED＝90°，
∴此时点D到AB的距离等于1.5，
故答案为：0.6或1.5．
18．（2022春•潼南区期中）如图，在矩形ABCD中，点M为矩形AD的中点，连接CM，沿着CM折叠，点D的对应点D'，N为BC上一点，且BN＜CN，沿MN折叠，恰好AM与D'M重合，此时点A的对应点为点D'，若AB＝6，BN＝3.5，则A′到CM的距离为 ．
【答案】9.6
【解答】解：如图，过点A′作A′E⊥CM，连接A′M，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BN＝3.5，
∴CD＝6，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵△CDM沿CM折叠得到△CD′M，四边形ABNM沿MN折叠得到四边形D′A′NM，
∴A′N＝BN＝3.5，A′D′＝AB＝6，CD′＝CD＝6，∠NA′D′＝∠B＝90°，∠A′D′M＝∠A＝90°，∠CD′M＝∠D＝90°，
∴A′C＝A′D′+CD′＝12，
∴CN＝＝12.5，
∴AD＝BC＝BN+CN＝16，
∵点M为矩形AD的中点，
∴DM＝8，
∴D′M＝8，CM＝＝10，
∵S△A′CM＝×A′C×D′M＝×CM×A′E，
∴A′E＝＝＝9.6，
∴点A′到CM的距离为9.6，
故答案为：9.6．
专题04 勾股定理之图形折叠模型
初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的 长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.
【新方法解读】
图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然 后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等， 考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析 式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索 能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把 握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和 不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、 全面解决问题.
折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角） 性质记忆：折叠必有角相等、边相等。
处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理
【典例分析】
【典例1】（秋•高青县期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，求EF的长度．
【变式1-1】（2022秋•槐荫区校级期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【变式1-2】（荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式1-3】（衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【夯实基础】
1．（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
2．（2021春•中山市期中）把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝3，BC＝3．则△DEF的面积是（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
3．（2020春•红旗区校级月考）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB＝4cm，BC＝8cm，则△BEF的面积为（ ）
A．12cm2 B．10cm2 C．8.6cm2 D．8cm2
4．（2022春•通城县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
5．（2022春•夏津县期末）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为 cm．
6．（2021秋•金牛区校级月考）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 ．
7．（包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是 ．
9．（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕AD的长．
10．（2021•福田区校级开学）如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？
11．（春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
12．（秋•秀峰区校级期末）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
13．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB＝5，BC＝12，求图中阴影部分的面积．
14．（2020秋•临漳县期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．
15．（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．
【能力提升】
16．（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为 ．
17．（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于 ．
18．（2022春•潼南区期中）如图，在矩形ABCD中，点M为矩形AD的中点，连接CM，沿着CM折叠，点D的对应点D'，N为BC上一点，且BN＜CN，沿MN折叠，恰好AM与D'M重合，此时点A的对应点为点D'，若AB＝6，BN＝3.5，则A′到CM的距离为 ．
专题04 勾股定理之图形折叠模型
初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的 长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.
【新方法解读】
图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然 后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等， 考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析 式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索 能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把 握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和 不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、 全面解决问题.
折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角） 性质记忆：折叠必有角相等、边相等。
处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理
【典例分析】
【典例1】（秋•高青县期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，求EF的长度．
【解答】解：△AEF是△ADE通过折叠得到，∴△ADE≌△AFE，DE＝EF
∵AB＝3，AD＝5，在Rt△ABF中，
利用勾股定理可得BF＝4，
∴CF＝1，设DE＝EF＝x，
则在Rt△CEF中，x2＝（3﹣x）2+12
解得：x＝．
答：EF的长为．
【变式1-1】（2022秋•槐荫区校级期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【答案】C
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
【变式1-2】（荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，所以x＝3．
故选：A．
【变式1-3】（衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：由已知可得，△ADG≌△A′DG，BD＝5
∴A′G＝AG，A′D＝AD＝3，A′B＝5﹣3＝2，BG＝4﹣A′G
在Rt△A′BG中，BG2＝A′G2+A′B2可得，A′G＝．
则AG＝．
故选：C
【夯实基础】
1．（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，
∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，
∵∠FPH＝90°，
∴FH＝＝＝5，
∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，
故选：C．
2．（2021春•中山市期中）把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝3，BC＝3．则△DEF的面积是（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：设DE＝x，
∵AB＝3，BC＝3，
∴A′E＝AE＝3﹣x，A′D＝AB＝3，
∴A′D2+A′E2＝DE2，即：
32+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，
∴DE＝2，
S△DEF＝×DE×CD＝×2×3＝3，
故选：C．
3．（2020春•红旗区校级月考）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB＝4cm，BC＝8cm，则△BEF的面积为（ ）
A．12cm2 B．10cm2 C．8.6cm2 D．8cm2
【答案】B
【解答】解：连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，
∵将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，
∴BE＝DE，△BEF≌△DEF，
∵BE2＝AB2+AE2，
∴DE2＝16+（8﹣DE）2，
∴DE＝5，
∴S△BEF＝××4＝10cm2＝S△BEF，
故选：B
4．（2022春•通城县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
【答案】10
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故答案为：10．
5．（2022春•夏津县期末）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC的长为 cm．
【答案】3
【解答】解：∵D，F关于AE对称，所以△AED和△AEF全等，
∴AF＝AD＝BC＝10，DE＝EF，
设EC＝x，则DE＝8﹣x．
∴EF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝4．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+FC2＝EF2，
即：x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．
∴EC的长为3cm．
6．（2021秋•金牛区校级月考）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，则EC的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵AB＝8，S△ABF＝24
∴BF＝6
在Rt△ABF中，AF＝＝10
∴AD＝AF＝BC＝10
∴CF＝10﹣6＝4
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x
在Rt△ECF中，（8﹣x）2＝x2+42
解之得，x＝3；故应填3．
7．（包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
【答案】2
【解答】解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是 ．
【答案】
【解答】解：如图所示，连接BE，
∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，BD＝5，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，
∴AB＝5+5＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝6，
设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
∴CE＝，
故答案为：．
9．（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕AD的长．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）
∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）
∴∠C＝90°；
∴△ABC是直角三角形．（1分）
（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．
设CD＝x，则DE＝x，AE＝5，BE＝8，BD＝12﹣x；
∵∠AED＝∠C＝90°，
∴在Rt△EBD中，x2+82＝（12﹣x）2，
解得：x＝，（3分）
∴AD＝＝．（3分）
10．（2021•福田区校级开学）如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝，
∴∠EDB＝∠DBC，
由折叠的性质，可得BF＝BC＝AD＝，∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴AE＝EF，
设AE＝x，则EF＝x，DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝﹣x
∵ED2＝DF2+EF2，即（﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
∴S△DEF＝•EF•DF＝．
11．（春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．
∴x＝（cm）．
12．（秋•秀峰区校级期末）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．
所以CF＝4，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝x+4．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
13．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB＝5，BC＝12，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：因为BC折叠后落在对角线BD上，设C的对应点是F，则EF⊥BD，
△DEF是直角三角形，∠DFE＝90°
因为BD是长方形ABCD的对角线，
所以BD＝，
DF＝13﹣12＝1，
设CE＝x，则EF＝CE＝x，DE＝5﹣x，
在△DEF中，x2+12＝（5﹣x）2，
解得，
所以图中阴影部分的面积．
14．（2020秋•临漳县期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，
∴AB′＝AB＝3，DB′＝BD，∠AB′D＝∠CB′D＝90°，
∴CB′＝2，
设B′D＝BD＝x，则CD＝4﹣x，
∵DB′2+CB′2＝CD2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴DB′＝．
15．（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．
【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．
∵AD＝BC＝10cm，
∴AF＝AD＝10cm．
又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2
∴82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
即16+x2＝64﹣16x+x2，
化简，得16x＝48，
∴x＝3，
故EC的长为3cm．
【能力提升】
16．（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为 ．
【答案】或7
【解答】解：如图，当∠AEC'＝90°时，则∠CEC'＝90°，
∴∠CED＝∠C'ED＝45°，
∴∠CDE＝45°，
∴CE＝CD＝5，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣5＝7；
如图，当∠AC'E＝90°时，
∵∠AC'E+∠DC'E＝90°+90°＝180°，
∴点A，C'，D共线，
∴AD＝＝13，
∵C'E＝CE＝12﹣AE，AC'＝AD﹣C'D＝8，
∴AE2＝（12﹣AE）2+82，
∴AE＝；
当∠C'AE＝90°时，不存在，
综上所述，若△AEC为直角三角形，则AE的长为或7，
故答案为：或7．
17．（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于 ．
【答案】0.6或1.5
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
由折叠的性质得，BD＝B'D，
∵△B′DE是直角三角形，
∴∠BDB'＝∠B'DE＝90°，
∴△BDB'是等腰直角三角形，
如图所示，过D作DF⊥AB于F，连接BB'，
∴∠ADC＝45°，
∴DC＝AC＝3，
∴BD＝BC﹣DC＝4﹣3＝1，
∴DF＝，
点E与点C重合时，△B′DE是直角三角形，
∴∠B'ED＝90°，
∴此时点D到AB的距离等于1.5，
故答案为：0.6或1.5．
18．（2022春•潼南区期中）如图，在矩形ABCD中，点M为矩形AD的中点，连接CM，沿着CM折叠，点D的对应点D'，N为BC上一点，且BN＜CN，沿MN折叠，恰好AM与D'M重合，此时点A的对应点为点D'，若AB＝6，BN＝3.5，则A′到CM的距离为 ．
【答案】9.6
【解答】解：如图，过点A′作A′E⊥CM，连接A′M，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BN＝3.5，
∴CD＝6，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵△CDM沿CM折叠得到△CD′M，四边形ABNM沿MN折叠得到四边形D′A′NM，
∴A′N＝BN＝3.5，A′D′＝AB＝6，CD′＝CD＝6，∠NA′D′＝∠B＝90°，∠A′D′M＝∠A＝90°，∠CD′M＝∠D＝90°，
∴A′C＝A′D′+CD′＝12，
∴CN＝＝12.5，
∴AD＝BC＝BN+CN＝16，
∵点M为矩形AD的中点，
∴DM＝8，
∴D′M＝8，CM＝＝10，
∵S△A′CM＝×A′C×D′M＝×CM×A′E，
∴A′E＝＝＝9.6，
∴点A′到CM的距离为9.6，
故答案为：9.6．
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