【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题11 三角形常见模型（热考模型）（原卷版+解析版）

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 专题11 三角形常见模型（热考模型）
模型归纳


模型一：飞镖模型
模型二：8字模型
模型三：角平分线模型
模型四：裁剪模型
模型五：翻折模型
【典例分析】
【模型一：飞镖模型】

【典例1】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　 　°．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．

【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．


【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．15° C．30° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，
∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
故选：A．
【变式1-2】（2017•东昌府区一模）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（　　）

A．33° B．23° C．27° D．37°
【答案】B
【解答】解：如图，延长CD交AB于E，
∵∠C＝38°，∠A＝37°，
∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，
∵∠BDC＝98°，
∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．
故选：B．

【变式1-3】（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（　　）

A．110° B．120° C．130° D．150°
【答案】C
【解答】解：延长BC交AD于E，
∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A＝80°，∠B＝10°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，
∵∠BCD是△CDE的一个外角
∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，
故选：C．
【变式1-4】（2021•碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝　 　．

【答案】80°
【解答】解：连接BC，

∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．
故答案为：80°．
【模型二：8字模型】


【典例2】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；

（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；

（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．


【变式2-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D
∴30°+20°＝40°+α，
∴α＝10°
故选：A．


【变式2-2】如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，
∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．
又∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．
∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．
同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．
∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．
∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，
∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．
∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．
∴∠A+∠C＝2∠P．
又∵∠A＝45°，∠P＝40°，
∴∠C＝35°．
故选：B
【变式2-3】已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．

【答案】2∠P＝∠B+∠D．
【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：
如图，

在△AOB和△COD中，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，
在△AEP和△CED中，
∵∠AEP＝∠CED，
∴∠1+∠P＝∠2+∠D，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，
∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
【变式2-4】在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：

（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；
（2）∠A+∠D＝∠C+∠B，证明见解析；
（3）2∠P＝∠D+∠B，证明见解析．
【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；
（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，
又∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（3）解：2∠P＝∠D+∠B．
根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B．
【典例3】如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　）

A．180° B．90° C．270° D．240°
【答案】A
【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，
由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，
即五角星的五个内角之和为180°．
故选：A．
【变式3-1】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度．

【答案】360．
【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．

故答案为：360．
【变式3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
【模型三：角平分线模型】

【典例4】在△ABC中，∠A＝40°：

（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴2∠BOC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴2∠BOC＝180°+∠A，
∴∠BOC＝90°+∠A．
当∠A＝40°，∠BOC＝110°；
（2）∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），
∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC＝90°﹣∠A．∠BOC＝90°﹣∠A．
当∠A＝40°，∠BOC＝70°．
（3）∵∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，
∴2∠BOC＝∠A，
即∠BOC＝∠A．
当∠A＝40°，∠BOC＝20°；
（4）∠BOC＝90°+n；∠BOC＝90°﹣n；∠BOC＝n．

【变式4-1】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．


【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠P＝A．
【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+A；

（2）猜想：
证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∵∠PCE＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴，
∴∠P＝ACE﹣ABC
＝（∠ACE﹣∠ABC）
＝A．
【变式4-2】在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　 　；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）2α﹣180°；（2）∠BPC+∠Q＝180°，证明见解析．
【解答】（1）解：如图①
∵BP，CP分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝ACB，
∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）
∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A），
∴∠BPC＝90°∠A，
∵∠BPC＝α，
∴∠A＝2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
（2）∠BPC+∠Q＝180°．
证明：如图②
∵BQ，CQ分别平分∠MBC，∠NCB，
∴∠QBC＝∠CBM，∠BCQ＝∠BCN，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠CBM+∠BCN）
∴∠QBC+∠QCB＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A）
∴∠QBC+∠QCB＝90°∠A，
∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，
∵∠BPC＝90°∠A，
∴∠BPC+∠Q＝180°．
【模型四：裁剪模型】

【典例5】如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝240°，则∠A等于（　　）

A．45° B．60° C．75° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠1+∠2＝240°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝120°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，
故选：B．
【变式5-1】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝（　　）°．

A．90 B．135 C．180 D．270
【答案】D
【解答】解：∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣90°）＝270°，
故选：D．
【变式5-2】如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A．90° B．135° C．150° D．270°
【答案】D
【解答】解：∠CDE＝180°﹣∠1，
∠CED＝180°﹣∠2，
在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C＝180°，
所以，180°﹣∠1+180°﹣∠2+90°＝180°，
所以，∠1+∠2＝270°．
故选：D．
【变式5-3】如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 　 　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝50°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．

【模型五：翻折模型】

【典例6】我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．

（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝　 　，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是 　 　；
（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；
（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．

【答案】（1）29°，∠ADC'＝2∠C；
（2）31°；
（3）∠C＝x﹣y．
【解答】解：（1）∵∠ADC′＝58°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′＝×180°＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，
∴∠ADC'与∠C的数量关系：∠ADC'＝2∠C．
故答案为：29°，∠ADC'＝2∠C；
（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，
∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝69°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，
∴∠C的度数为31°；
（3）如图：
∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y，
∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠1＝90°+y，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝90°﹣x，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC
＝180°﹣（90°+y）﹣（90°﹣x）
＝x﹣y，
∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C＝x﹣y．

【变式6-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（　　）

A．40° B．50° C．65° D．75°
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，
∴∠A＝90°﹣65°＝25°，
根据折叠可得∠CED＝∠B＝65°，
∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
【变式6-2】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落在点A'处，若∠B＝44°，则∠A'DB的度数是（　　）

A．108° B．104° C．96° D．92°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠ADE＝∠B＝44°，
∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，
∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°，
故选：D．
【变式6-3】如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（　　）

A．40° B．100° C．140° D．160°
【答案】C
【解答】解：连接AA′．

∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
【夯实基础】
1．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为（　　）

A．60° B．80° C．70° D．45°
【答案】C
【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．
∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．
∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．
故选：C．
2．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE平分∠CDB，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠A的度数等于（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】A
【解答】解：∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵∠BDE＝60°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠C＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠A＝40°，则∠BDC的度数是（　　）

A．110° B．120°
C．130° D．140°第6题图
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，
在△DBC中，
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠EDC等于（　　）

A．69° B．67° C．66° D．42°
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝66°．
由折叠的性质可得：∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠BDC＝∠EDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝69°．
故选：A．
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠EDA等于（　　）

A．46° B．56° C．36° D．77°
【答案】A
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，
∴∠EDA＝∠CED﹣∠A＝46°，
故选：A．
6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED
＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）
＝360°﹣2×150°
＝60°．
故选：D．
7．在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝　 　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故答案是：270°．
8．如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于　 　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣140°＝220°，
故答案为：220°．
9．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝165°，则∠2的度数为　 　°．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝90°，
又∵∠BDE+∠2＝180°，∠BED+∠1＝180°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED）＝270°．
∵∠1＝165°，
∴∠2＝105°．
故答案为：105．
10．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝28°，则∠A的度数为 　 　．

【答案】26°．
【解答】解：如图，

由折叠的性质可知∠A'＝∠A，
∵∠1＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠2+∠A'，
∴2∠A+∠2＝∠1，
∵∠1＝80°，∠2＝28°，
∴∠A＝26°，
故答案为：26°．
11．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 　．

【答案】100°．
【解答】解：如图，连接AA'，

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝115°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故答案为：100°．
12．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图可知：
∵∠2是三角形的外角，
∴∠2＝∠A+∠1，
同理∠1也是三角形的外角，
∴∠1＝∠E+∠C，
在△BDF中，∠B+∠D+∠2＝180°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

13．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：
①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数；
③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；
④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）①6；
②45°；
③∠B+∠D＝2∠P；
④2∠B+∠D＝3∠P．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）①以M为交点的有1个，为△AMD和△CMP，
以O为交点的有4个，为△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，
以N为交点的有1个，为△ANP和△BNC，
故答案为6个；
②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，
∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，
由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，
整理得：∠B+∠D＝2∠P，
∴∠P＝＝45°；
③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：
∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，
∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，
由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，
整理得：∠B+∠D＝2∠P；
④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：
由（1）中结论得：
∠2+∠P＝∠4+∠B，
3∠2+∠D＝3∠4+∠B，
整理得：2∠B+∠D＝3∠P．
14．“8字”的性质及应用：
（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）图②中共有多少个“8字”？
（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝（∠A+∠C）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）图②中有：ABCD、BECD、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”；
（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，
∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，
∴∠E＝（∠A+∠C）．

15．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　 　．
（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．


【答案】（1）EF＝EB+FC；
（2）EF＝BE﹣CF．
【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴EB＝EO，FC＝FO，
∵EF＝EO+FO，
∴EF＝EB+FC，
故答案为：EF＝EB+FC；
（2）EF＝BE﹣CF，
理由是：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EB＝EO，
同理可得：FO＝CF，
∵EF＝EO﹣FO，
∴EF＝BE﹣CF
【能力提升】
16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝　 　．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝　 　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD＝∠A+∠A1BC，
∴∠A1＝＝，
由此可得∠A2010＝．
故答案为：，．
17．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．
利用以上结论解决下列问题：
（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　．
（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．
①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．
②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

【答案】（1）证明见解析过程；（2）260°；（3）①110°，②4∠P＝∠B+3∠C，理由见解析过程．
【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2所示，

∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，
∴∠A+∠E+∠D＝∠3，
∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，
∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，
∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，
∵∠B+∠C＝∠1＝130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．
故答案为：260°．
（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴4∠P＝∠B+3∠C．
18．如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．

（1）若∠A＝40°，则∠BOC＝　 　．若∠A＝60°，则∠BOC＝　 　．
若∠BOC＝3∠A，则∠BOC＝　 　．
（2）如图②，在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′，∠A＝40°，则∠B′O′C′＝　 　
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
（4）如图③，△A″B″C″的内角∠ACB的外角平分线与∠ABC的内角平分线相交于点O″，∠BOC与∠B″O″C″有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B″O″C″是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
【答案】（1）110°，60°，108°；
（2）70°；
（3）∠BOC+∠B′O′C′＝180°；
（4）∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝×140°＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝110°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝×120°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°；
∵设∠A＝x°，
则∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣x°）＝90°﹣x°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣x°）＝90°+x°，
∵∠BOC＝3∠A，
∴3x＝90+x，
x＝36，
即∠BCO＝3x°＝108°；
故答案为：110°，60°，108°；

（2）如图2，∵∠A′＝40°，
∴∠A′B′C′+∠A′C′B′＝180°﹣40°＝140°，
∴∠MB′C′+NC′B′＝360°﹣140°＝220°，
∵B′O′、C′O′分别平分∠MB′C′，∠NC′B′，
∴∠1＝∠MB′C′，∠2＝∠NC′B′，
∴∠1+∠2＝110°，
∴∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；

（3）图1和图2的∠BOC+∠B′O′′＝180°（当∠A＝∠A′时）；
图1中∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
图2中∠B′O′′＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（∠MB′C′+∠NC′B′）
＝180°﹣[360°﹣（∠A′B′C′+∠A′C′B′）]
＝（180°﹣∠A′）
＝90°﹣∠A′，
∵∠A＝∠A′＝n°，
∴∠BOC+∠B′O′C′＝180°

（4）
∵∠A″C″M＝2∠2＝∠A″+∠A″B″C″，
∠2＝∠O″+∠1，
∵C″D″平分∠A″C″M，B″O″平分∠A″B″C″
∴∠A″C″M＝2∠2，∠A″B″C″＝2∠1，
∴∠A″＝2∠O″＝n°，
∴∠B″O″C″＝∠A″，
∵∠BOC＝90°+∠A，∠A＝∠A′＝n°
∴∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°．
19．已知△ABC中，∠A＝x°
（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC＝　 　°
（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝　 　°
（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝　 　°

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，
∴2∠OBC＝∠ABC，2∠OCB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∵∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A，
∵∠A＝x°，
∴∠BOC＝（90+x）°；

（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠O1BC+∠O1CB＝180°，
∴∠O1BC+∠O1CB＝（180°﹣∠A），
∵∠BOC＝180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）＝60°+∠A，
∵∠A＝x°，
∴∠BOC＝（60+x）°；

（3）由（1）（2）可得规律为：
若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，
则用x表示∠BO1C＝（ +x）°．
故答案为：（1）90+x，（2）60+x，（3）+x．