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2023年山东省滨州市阳信县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省滨州市阳信县中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省滨州市阳信县中考数学二模试卷
一、选择题：共10个小题，每小题涂对得3分，满分30分.
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B． C．﹣7 D．﹣
2．如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
3．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．a3•a4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
5．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ ）
A．﹣＝12 B．﹣＝0.2
C．﹣＝12 D．﹣＝0.2
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．4月23日是世界读书日，某学校开展“好书伴我成长”演讲比赛，对所有选手的得分情况进行统计，统计数据如下表：
成绩/分数
7
8
9
100
选手人数/人
4
6
5
3
依据统计数据可知，思考下列结论：
①比赛成绩的众数为8分；②比赛成绩的平均数是9分；
③比赛成绩的中位数是8分；④共有18名学生参加了比赛．
其中正确的判断共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DEC B．AE＝AB+CD C． D．AB⊥AE
10．已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点 C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
…
y＝ax2+bx+2
…
﹣10
﹣3
2
5
5
…
下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是（2，2）；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，只要求填写最后结果.
11．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为 ℃．
12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
14．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点D，连结BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点E，连结DE，则下列结论①BE＝DE；②DE垂直平分线段AC；③BD2＝BC•BE；④．其中不正确的结论是 ．（只填序号）
16．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ．
17．反比例函数y＝与一次函数y＝x+的图形有一个交点B（，m），则k的值为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程.
19．（1）先化简，再求值：÷，其中；
（2）解方程组：．
20．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设四类球类运动项目，分别为A．“足球”；B．“篮球”；C．“乒乓球”；D．“排球”．为了解学生的报名情况，先随机抽取七年级部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个项目中任选一项参加活动，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同项目的概率．
21．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
23．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，在每个小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分30分.
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B． C．﹣7 D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
3．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．a3•a4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、a3•a4＝a7，故B不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ ）
A．﹣＝12 B．﹣＝0.2
C．﹣＝12 D．﹣＝0.2
【分析】设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：12分钟＝h＝0.2h，
设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，
根据题意，得：﹣＝0.2，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式2x+1≥x，得：x≥﹣1，
解不等式﹣，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．4月23日是世界读书日，某学校开展“好书伴我成长”演讲比赛，对所有选手的得分情况进行统计，统计数据如下表：
成绩/分数
7
8
9
100
选手人数/人
4
6
5
3
依据统计数据可知，思考下列结论：
①比赛成绩的众数为8分；②比赛成绩的平均数是9分；
③比赛成绩的中位数是8分；④共有18名学生参加了比赛．
其中正确的判断共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据众数、平均数、中位数的概念分别进行求解，即可得出答案．
解：①比赛成绩的众数为8分，故本选项正确，符合题意；
②比赛成绩的平均数是＝分，故本选项错误，不符合题意；
③比赛成绩的中位数是＝8分，故本选项正确，符合题意；
④共有4+6+5+3＝18名学生参加了比赛，故本选项正确，符合题意；
其中正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠C＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DEC B．AE＝AB+CD C． D．AB⊥AE
【分析】根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．
解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC，
故A选项不符合题意；
则∠EDC＝∠BAC＝135°，且A、D、E三点在同一直线上，
∴∠ADC＝45°，
由旋转的性质知CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
则∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝135°﹣45°＝90°，
∴AB⊥AE，
故D选项不符合题意；
∴△ADC中，∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴，
故C选项不符合题意；
∵△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，
∴，
故B选项符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题的关键．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点 C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
…
y＝ax2+bx+2
…
﹣10
﹣3
2
5
5
…
下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是（2，2）；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．
解：将（﹣1，﹣3），（1，5）代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，6），
∴①错误，②正确．
∵点A坐标为（0，2），
∴点B坐标为（4，2），③错误．
∵0＜x1＜1，4＜x2＜5，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
∴y1＞y2．④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，只要求填写最后结果.
11．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为 ﹣3 ℃．
【分析】表示出山顶的气温的代数式后计算．
解：根据题意，山顶比海拔150米高（1150﹣150）米，
山顶的气温为：3﹣×0.6＝﹣3（℃），
答：此时山顶的气温约为﹣3℃．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≤2 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得，x≤2．
故答案是：x≤2．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为 2022 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2023，则m2+2m+n＝2023+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的实数根，
∴m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2023+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点D，连结BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点E，连结DE，则下列结论①BE＝DE；②DE垂直平分线段AC；③BD2＝BC•BE；④．其中不正确的结论是 ④ ．（只填序号）
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质，①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断③的正确．
解：由题意得：AB＝AD，AP为∠BAC的平分线，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AP为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴①的结论正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∠ADB＝60°
∴∠DBE＝30°，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠EDB＝90°，
∴DE⊥AC．
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AB＝AD，
∴AD＝CD，
∴DE垂直平分线段AC；
∴②的结论正确；
∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴．
∵AD＝AB，
∴＝tan∠DAE＝tan30°＝，
∴，
∴④的结论不正确；
∵∠BDE＝∠C，∠DBE＝∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴，
∴BD2＝BC•BE，
∴③的结论正确，
综上，结论不正确的有：④，
故答案为：④．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线的做法，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 2 ．
【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根据勾股定理即可解决问题．
解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：
EP2＝EC2+CP2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2．
则DP的长度为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17．反比例函数y＝与一次函数y＝x+的图形有一个交点B（，m），则k的值为 ．
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
解：∵一次函数y＝x+的图象过点B（，m），
∴m＝×+＝，
∴点B（，），
∵反比例函数y＝过点B，
∴k＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为 6﹣ ．
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AE＝4，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝2，
∴cos∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE＝AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×4﹣×2×2﹣＝6﹣．
故答案为：6﹣．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出BE长和∠EAD的度数是解此题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程.
19．（1）先化简，再求值：÷，其中；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后求出a的值，代入计算即可；
（2）先消元，把二元化为一元求出y的值，再代入可得方程组的解．
解：（1）原式＝÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝，
∵＝2×+2＝+2，
∴原式＝
＝+1；
（2）．
②×2﹣①得：4y+3y＝20﹣6，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：
x+4＝10，
∴x＝6，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查分式化简求值和解二元一次方程组，解题的关键是掌握分式的基本性质和“消元”的方法．
20．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设四类球类运动项目，分别为A．“足球”；B．“篮球”；C．“乒乓球”；D．“排球”．为了解学生的报名情况，先随机抽取七年级部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 108° ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个项目中任选一项参加活动，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同项目的概率．
【分析】（1）用B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出D项目的人数，然后补全折线统计图；
（3）用360°乘以D项目人数所占的百分比得到项目D所对应的扇形圆心角的大小；
（4）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出相同项目的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）此次调查共抽取的学生人数为：20÷40%＝50（名）；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15 （名），
补全折线统计图如下：
（3）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，
故答案为：108°；
（4）画树状图如下：
∴共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同项目的结果有4种，
∴小明和小丽选择相同项目的概率为：＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．
解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于把实际问题转化为直角三角形来求解．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
23．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；
（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
【分析】（1）直线y＝﹣x+2过B、C两点，可求B、C两点坐标，把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，可得解析式．
（2）抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，即y＝0，可得点A的横坐标，由相似三角形的判定得：△AOC∽△ACB．
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点E的坐标为（x，﹣x+2），由坐标得DE＝﹣x2+2x，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，3），即点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得CD＝，根据PD+PM＝PC+PD＝CD，即可求解．
【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝﹣x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝﹣x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，
∴﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），
则点E的坐标为（x，﹣x+2），
∴DE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）
＝﹣x2+x+2+x﹣2
＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，3），
∵C（0，2），M（3，2），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），
∴CD＝＝，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定是解本题的关键．
2023年山东省滨州市阳信县中考数学二模试卷
一、选择题：共10个小题，每小题涂对得3分，满分30分.
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B． C．﹣7 D．﹣
2．如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
3．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．a3•a4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
5．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ ）
A．﹣＝12 B．﹣＝0.2
C．﹣＝12 D．﹣＝0.2
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．4月23日是世界读书日，某学校开展“好书伴我成长”演讲比赛，对所有选手的得分情况进行统计，统计数据如下表：
成绩/分数
7
8
9
100
选手人数/人
4
6
5
3
依据统计数据可知，思考下列结论：
①比赛成绩的众数为8分；②比赛成绩的平均数是9分；
③比赛成绩的中位数是8分；④共有18名学生参加了比赛．
其中正确的判断共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DEC B．AE＝AB+CD C． D．AB⊥AE
10．已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点 C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
…
y＝ax2+bx+2
…
﹣10
﹣3
2
5
5
…
下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是（2，2）；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，只要求填写最后结果.
11．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为 ℃．
12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
14．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点D，连结BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点E，连结DE，则下列结论①BE＝DE；②DE垂直平分线段AC；③BD2＝BC•BE；④．其中不正确的结论是 ．（只填序号）
16．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ．
17．反比例函数y＝与一次函数y＝x+的图形有一个交点B（，m），则k的值为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程.
19．（1）先化简，再求值：÷，其中；
（2）解方程组：．
20．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设四类球类运动项目，分别为A．“足球”；B．“篮球”；C．“乒乓球”；D．“排球”．为了解学生的报名情况，先随机抽取七年级部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个项目中任选一项参加活动，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同项目的概率．
21．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
23．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，在每个小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分30分.
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B． C．﹣7 D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
3．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．a3•a4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、a3•a4＝a7，故B不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ ）
A．﹣＝12 B．﹣＝0.2
C．﹣＝12 D．﹣＝0.2
【分析】设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：12分钟＝h＝0.2h，
设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，
根据题意，得：﹣＝0.2，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式2x+1≥x，得：x≥﹣1，
解不等式﹣，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．4月23日是世界读书日，某学校开展“好书伴我成长”演讲比赛，对所有选手的得分情况进行统计，统计数据如下表：
成绩/分数
7
8
9
100
选手人数/人
4
6
5
3
依据统计数据可知，思考下列结论：
①比赛成绩的众数为8分；②比赛成绩的平均数是9分；
③比赛成绩的中位数是8分；④共有18名学生参加了比赛．
其中正确的判断共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据众数、平均数、中位数的概念分别进行求解，即可得出答案．
解：①比赛成绩的众数为8分，故本选项正确，符合题意；
②比赛成绩的平均数是＝分，故本选项错误，不符合题意；
③比赛成绩的中位数是＝8分，故本选项正确，符合题意；
④共有4+6+5+3＝18名学生参加了比赛，故本选项正确，符合题意；
其中正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠C＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DEC B．AE＝AB+CD C． D．AB⊥AE
【分析】根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．
解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC，
故A选项不符合题意；
则∠EDC＝∠BAC＝135°，且A、D、E三点在同一直线上，
∴∠ADC＝45°，
由旋转的性质知CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
则∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝135°﹣45°＝90°，
∴AB⊥AE，
故D选项不符合题意；
∴△ADC中，∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴，
故C选项不符合题意；
∵△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，
∴，
故B选项符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题的关键．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点 C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
…
y＝ax2+bx+2
…
﹣10
﹣3
2
5
5
…
下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是（2，2）；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．
解：将（﹣1，﹣3），（1，5）代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，6），
∴①错误，②正确．
∵点A坐标为（0，2），
∴点B坐标为（4，2），③错误．
∵0＜x1＜1，4＜x2＜5，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
∴y1＞y2．④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，只要求填写最后结果.
11．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为 ﹣3 ℃．
【分析】表示出山顶的气温的代数式后计算．
解：根据题意，山顶比海拔150米高（1150﹣150）米，
山顶的气温为：3﹣×0.6＝﹣3（℃），
答：此时山顶的气温约为﹣3℃．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≤2 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得，x≤2．
故答案是：x≤2．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为 2022 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2023，则m2+2m+n＝2023+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的实数根，
∴m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2023+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点D，连结BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点E，连结DE，则下列结论①BE＝DE；②DE垂直平分线段AC；③BD2＝BC•BE；④．其中不正确的结论是 ④ ．（只填序号）
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质，①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断③的正确．
解：由题意得：AB＝AD，AP为∠BAC的平分线，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AP为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴①的结论正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∠ADB＝60°
∴∠DBE＝30°，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠EDB＝90°，
∴DE⊥AC．
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AB＝AD，
∴AD＝CD，
∴DE垂直平分线段AC；
∴②的结论正确；
∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴．
∵AD＝AB，
∴＝tan∠DAE＝tan30°＝，
∴，
∴④的结论不正确；
∵∠BDE＝∠C，∠DBE＝∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴，
∴BD2＝BC•BE，
∴③的结论正确，
综上，结论不正确的有：④，
故答案为：④．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线的做法，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 2 ．
【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根据勾股定理即可解决问题．
解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：
EP2＝EC2+CP2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2．
则DP的长度为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17．反比例函数y＝与一次函数y＝x+的图形有一个交点B（，m），则k的值为 ．
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
解：∵一次函数y＝x+的图象过点B（，m），
∴m＝×+＝，
∴点B（，），
∵反比例函数y＝过点B，
∴k＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为 6﹣ ．
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AE＝4，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝2，
∴cos∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE＝AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×4﹣×2×2﹣＝6﹣．
故答案为：6﹣．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出BE长和∠EAD的度数是解此题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程.
19．（1）先化简，再求值：÷，其中；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后求出a的值，代入计算即可；
（2）先消元，把二元化为一元求出y的值，再代入可得方程组的解．
解：（1）原式＝÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝，
∵＝2×+2＝+2，
∴原式＝
＝+1；
（2）．
②×2﹣①得：4y+3y＝20﹣6，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：
x+4＝10，
∴x＝6，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查分式化简求值和解二元一次方程组，解题的关键是掌握分式的基本性质和“消元”的方法．
20．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设四类球类运动项目，分别为A．“足球”；B．“篮球”；C．“乒乓球”；D．“排球”．为了解学生的报名情况，先随机抽取七年级部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 108° ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个项目中任选一项参加活动，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同项目的概率．
【分析】（1）用B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出D项目的人数，然后补全折线统计图；
（3）用360°乘以D项目人数所占的百分比得到项目D所对应的扇形圆心角的大小；
（4）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出相同项目的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）此次调查共抽取的学生人数为：20÷40%＝50（名）；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15 （名），
补全折线统计图如下：
（3）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，
故答案为：108°；
（4）画树状图如下：
∴共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同项目的结果有4种，
∴小明和小丽选择相同项目的概率为：＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．
解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于把实际问题转化为直角三角形来求解．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
23．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；
（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
【分析】（1）直线y＝﹣x+2过B、C两点，可求B、C两点坐标，把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，可得解析式．
（2）抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，即y＝0，可得点A的横坐标，由相似三角形的判定得：△AOC∽△ACB．
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点E的坐标为（x，﹣x+2），由坐标得DE＝﹣x2+2x，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，3），即点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得CD＝，根据PD+PM＝PC+PD＝CD，即可求解．
【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝﹣x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝﹣x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，
∴﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），
则点E的坐标为（x，﹣x+2），
∴DE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）
＝﹣x2+x+2+x﹣2
＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，3），
∵C（0，2），M（3，2），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），
∴CD＝＝，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定是解本题的关键．
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