湖北省黄冈中学2015年秋季高一年级期末考试数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　）

A．[0，1]　　　　　　　　　　　　B．（0，1]

C．[0，1）　　　　　　　　　　　 D．（－∞，1]

2、下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（　）

A．y=cosx　　　　　　　　　　　　B．y=sinx

C．y=lnx　　　　　　　　　　　　 D．

3、下列各组向量中可以作为基底的是（　）

A．a=（0，0），b=（1，－2）

B．a=（1，2），b=（3，4）

C．a=（3，5），b=（6，10）

D．a=（2，－3），b=（－2，3）

4、要得到函数的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（　）

A．向左平移个单位　　　　　　B．向右平移个单位

C．向左平移个单位　　　　　　D．向右平移个单位

5、在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，（　）

A．－4　　　　　　　　　　　　 B．4

C．－8　　　　　　　　　　　　 D．8

6、如果一个点既在对数函数的图像上又在指数函数的图像上，那么称这个点为“幸运点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），中，“幸运点”有多少个？（　）

A．0　　　　　　　　　　　　 　B．1

C．2　　　　　　　　　　　 　　D．3

7、已知函数f（x）=x（ex＋ae－x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m＋2n的值为（　）

A．0　　　　　　　　　　　　　 B．1

C．2　　　　　　　　　　　　　 D．－1

8、若，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．或0

C．0　　　　　　　　　　　　　 D．以上答案都不对

9、已知函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（A，ω均为正的常数，φ为锐角）的最小正周期为π，当时，函数f（x）取得最小值，记a=f（0），，则有（　）

A．a=b＜c　　　　　　　　　　　B．a＜b＜c

C．b＜a＜c　　　　　　　　　　 D．c＜a＜b

10、如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　）

A．{x|－1＜x≤0}　　　　　　　B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|－1＜x≤1}　　　　　　　D．{x|－1＜x≤2}

11、设定义在区间（－b，b）上的函数是奇函数（a，b∈R且a≠－2），则ab的取值范围是（　）

12、对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？（　）

①h（x）=2016x　②h（x）=|x|　③

A．0个　　　　　　　　　　　　B．1个

C．2个　　　　　　　　　　　　D．3个

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、已知角α的终边过点，则tanα=__________．

14、若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是__________．

15、已知函数f（x）=ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b=__________．

16、已知a=log827，则2a＋2（－a）=__________．

三、解答题（本大题共有6题，满分70分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17、（10分）已知方程x2＋px＋q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=，求p，q的值．

18、（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量．

　　（1）若m⊥n，求tanx的值；

　　（2）若m与n的夹角为，求sinx＋cosx的值．

19、（12分）某村电费收取有以下两种方案供农户选择：

　　方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．

　　方案二：不收管理费，每度0.58元．

　　（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；

　　（2）老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？

　　（3）老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

20、（12分）如图，半径为4 m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转4圈，水轮圆心O距离水面2 m，如果当水轮上的点P从离开水面的时刻（P0）起开始计算时间．

　　（1）求点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数的关系；

　　（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．

21、（12分）若在定义域内存在实数x0，使得f（x0＋1）=f（x0）＋f（1）成立，则称函数f（x）是“可拆函数”．

　　（1）函数是否是“可拆函数”？请说明理由；

　　（2）若函数f（x）=2x＋b＋2x是“可拆函数”，求实数b的取值范围；

　　（3）证明：f（x）=cosx是“可拆函数”．

22、（12分）已知集合M={h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（－x）=－h（x）}，设函数．

　　（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由．

　　（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．

1、A

　　解析：集合M={0，1}，N=（0，1]，∴M∪N=[0，1]．故选A．

2、B

　　解析：A是偶函数且有零点，B是奇函数且有零点，C有零点但是非奇非偶函数，D是奇函数但无零点．故选B．

3、B

　　解析：能作为基底的两个平面向量要求是不共线，A中是零向量与任意向量均共线，C中，共线，D中，共线，B中1×4－2×3≠0，不共线．故选B．

4、B

　　解析：，故需将y=sin4x向右平移即可．

5、D

　　解析：，故选D．

6、C

　　解析：对于指数函数y=ax，当且仅当x=0时y=1，故M，P均不是“幸运点”；对于对数函数y=logax，当且仅当y=0时x=1，故N不是“幸运点”，因为，所以Q是“幸运点”，因为，故G也是“幸运点”．

7、B

　　解析：当f（x）是偶函数时y=ex＋a·e－x是奇函数，记g（x）=ex＋a·e－x，∴g（－x）=－g（x），∴e－x＋a·ex=－（ex＋a·e－x），∴a=－1；同理，当f（x）是奇函数时y=ex＋a·e－x是偶函数，a=1，即m=－1，n=1，∴m＋2n=1．

8、A

　　解析：由同角三角函数的基本关系得sin2θ＋cos2θ=1，即，∴k=1或－7，又因为角θ的终边不落在坐标轴上，，

9、A

　　解析：由周期为π知ω=2，又时函数取得最小值，故，，又φ为锐角，，且A＞0，∴a=b＜c，故选A．

10、C

　　解析：线段BC的方程为y=2－x（0≤x≤2），令log2（x＋1）=2－x，得x=1，结合y=log2x的图像得到解集为{x|－1＜x≤1}，故选C．本题的易错点是没有注意到x≠－1而错选B．

11、A

　　解析：由f（x）为奇函数得f（－x）=－f（x），，∴a=2，，定义域为，故选A．本题的易错点是没有注意到b可以等于，而错选了C．

12、D

　　解析：对于①，；对于②，，对于③，．故选D．本题的易错点是没有考虑到③其实是周期函数．

13、

14、[0，1）

15、

16、

17、解：由A∩C=A，A∩B=φ得A={1，3}，（4分）

　　即方程x2＋px＋q=0的两个根是1，3，（6分）

　　由韦达定理得1＋3=－p，p=－4；（8分）

　　1×3=q，q=3．（10分）

18、（1）因为m⊥n，所以　（2分）

　　所以tanx=1．（5分）

　　（2）因为m，n的夹角为，

　　　①　（7分）

　　设sinx＋cosx=a　②

　　由①2＋②2得　（10分）

　　因x是锐角，所以a为正值，所以．（12分）

19、解：（1）当时，L（x）=2＋0.5x

　　当x＞30时，

　　（注：x也可不取0）

　　（2）当时，由L（x）=2＋0.5x=35得x=66，舍去．

　　当x＞30时，由L（x）=0.6x－1=35得x=60．

　　∴老王家该月用电60度．（8分）

　　（3）设按第二方案收费为F（x）元，则F（x）=0.58x．

　　当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），得2＋0.5x＜0.58x．∴x＞25．

　　∴25＜x≤30．

　　当x＞30时，由L（x）＜F（x），得0.6x－1＜0.58x，∴x＜50．

　　∴30＜x＜50

　　综上，25＜x＜50．

　　故老王家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．（12分）

20、解：（1）以O为原点建立如图所示的直角坐标系．

　　由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系

　　∵水轮每分钟旋转4圈，

　　.

　　∵水轮半径为4 m，∴A=4．

　　．

　　当t=0时，y=0，．

　　．（6分）

　　（2）由于最高点距离水面的距离为6，

　　∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．（12分）

21、（1）由f（x＋1）=f（x）＋f（1）化简整理得k（x2＋x＋1）=0　（2分）

　　当k=0时，有无数个x使上式成立，所以f（x）是“可拆函数”．（3分）

　　当k≠0，方程x2＋x＋1=0 无实根，所以f（x）不是“可拆函数”．（4分）

　　（2）因为函数f（x）=2x＋b＋2x是“可拆函数”

　　所以方程2（x＋1）＋b＋2（x＋1）=2x＋b＋2x＋4＋b

　　即2x=2＋b有实数根．（6分）

　　所以b＋2＞0，b＞－2．（8分）

　　（3）因cos（x＋1）=cosx＋cos1

　　设g（x）=cos（x＋1）－cosx－cos1

　　g（0）=cos1－1－cos1=－1＜0，

　　所以g（x）在上至少有一个零点，即有x0使f（x0＋1）=f（x0）＋f（1）成立，所以f（x）=cosx是“可拆函数”（12分）

22、解：（1）举反例即可．

　　，所以f（－1）≠－f（1），∴f（x）M．（4分）

　　（2）∵f（x）M，∴f（－x）=－f（x），即对定义域内任意实数x成立．化简整理得（2a－b）·22x＋（2ab－4）·2x＋（2a－b）=0，这是关于x的恒等式，所以．

　　所以．又因为函数f（x）的定义域为R，所以不合题意．

　　综上a=1，b=2．（8分）

　　，

　　因为2x＞0，所以2x＋1＞1，，从而；

　　∵f（x）＜sinθ，

　　，解得　（12分）