北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第一章整式的乘除5平方差公式

5  平方差公式

第1课时  平方差公式

自主学习  知识梳理快乐学习

1．平方差公式

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，用字母表示为__________．

【答案】

【解析】

2．平方差公式的推导

   ____________________．

【答案】  

【解析】

当堂达标  活学巧练巩固基础

考点一：平方差公式的特征

1．平方差公式中的，（   ）．

A．是数或单个字母       B．是单项式

C．是多项式         D．是单项式或多项式

【答案】D

【解析】

2．（黄岛区期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ）．

A．      B．

C．      D．

【答案】D

【解析】

3．（一题多辨）平方差公式的常见变形：（）位置变化：__________．

（）符号变化：__________．

（）系数变化：__________．

（）指数变化：__________．

（）项数变化：__________．

【答案】（）  （）  （）  （）  

（）

【解析】

考点二：平方差公式

4．计算的结果是（   ）．

A．    B．   C．   D．

【答案】A

【解析】

5．下列计算错误的是（   ）．

A．     B．

C．     D．

【答案】C

【解析】

6．下列计算正确的是（   ）．

A．      B．

C．     D．

【答案】C

【解析】

7．若，则（   ）．

A．，   B．， C．，  D．，

【答案】B

【解析】

8．的计算结果是（   ）．（方法链接：公式连用）

A．    B．   C．    D．

【答案】C

【解析】

9．等式（   ）中，括号内应填入（   ）．

A．     B．    C．     D．

【答案】A

【解析】

10．已知，，则__________．（数学思想链接：整体思想）

【答案】

【解析】

11．若，，则的值为__________．

【答案】

【解析】

12．利用平方差公式计算或化简．

（）．

（）．

（）．

【答案】见解析

【解析】解：（）原式

．

（）原式

．

（）原式

．

13．化简求值：，其中．

【答案】见解析

【解析】解：原式，

当时，

原式．

强化训练  综合演练强化能能力

1．（分）对于，为了用平方差公式，下列变形正确的是（   ）．

A．      B． 

C．      D．以上都不对

【答案】C

【解析】

2．（分）在下列各式中，运算结果是的是（   ）．

A．  B． 

C．  D．

【答案】D

【解析】

3．（分）对于任意的整数，能整除的整数是（   ）．

A．     B．    C．     D．

【答案】C

【解析】

4．（分）若，，则的值为（   ）．

A．     B．    C．     D．

【答案】B

【解析】

5．（分）（即墨28中期末）计算：__________．

【答案】

【解析】

6．（分）（__________）．

【答案】

【解析】

7．（分）__________．

【答案】

【解析】

8．（分）运用平方差公式计算或化简．

（）．

（）．

【答案】见解析

【解析】解：（）原式．

（）原式

．

9．（分）（北京）已知，求代数式的值．

【答案】

【解析】解：因为，

所以，

所以原式．

10．（分）若与是同类项，且，求的值．（方法链接：逆向思维）

【答案】

【解析】解：因为与是同类项，

所以．

又因为，

所以．

又因为，

所以．

11．（分）（漳州）先化简，再根据化简结果，你发现该代数式的值与的取值有什么关系？（不必说理）

【答案】没有关系

【解析】解：原式．

该代数式的值与的取值没有关系．

12．（分）（拓展提升题）已知，，

，

．

（）观察以上各式并猜想：__________．（为正整数）

（）根据你的猜想计算．

①__________．

    ②__________．（为正整数）．

    ③__________．

（）通过以上规律，请你化简下列各式．

①；

②；

③．（数学思想链接：从特殊到一般）

【答案】见解析

【解析】解：（）．

（）①  ②  ③

（）①原式．  ②原式．  ③原式．

第2课时  平方差公式的应用

自主学习  知识梳理快乐学习

1．利用平方差公式计算，关键是确定，，把握“同号的为__________，异号的为__________”这一原则，准确进行计算．

【答案】  

【解析】

2．（）__________．

（）__________．

（）__________．

【答案】（）  （）  （）

【解析】

当堂达标  活学巧练巩固基础

考点一：平方差公式的验证

1．如图所示，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（   ）．

A．    B．   C．   D．

【答案】C

【解析】

2．如图①所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图②所示的梯形．

（）设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示和．

（）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

【答案】见解析

【解析】解：（），．

（）．

考点二：利用平方差公式进行简便运算

3．用平方差公式计算：__________．

【答案】

【解析】

4．计算．

（）（胶州市期末）．

（）．

（）．

【答案】见解析

【解析】解：（）原式

．

（）原式

．

（）原式

．

考点三：平方差公式的实际应用

5．两个正方形的边长的和为，它们的面积的差为，则这两个正方形的边长的差为__________．

【答案】

【解析】

6．有一位狡猾的地主，把一块边长为的正方形的土地，租给李老汉种植，他对李老汉说：“我把你这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了．同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？请说明理由．

【答案】李老汉吃亏了

【解析】解：李老汉吃亏了．

理由：原来的种植面积为，变化后的种植面积为，

因为，

所以李老汉吃亏了．

强化训练  综合演练强化能力

1．（分）的计算结果是（   ）．

A．     B．    C．     D．

【答案】A

【解析】

2．（分）计算等于（   ）．

A．     B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

3．（分）已知可以被～之间的某两个整数整除，则这两个数是（   ）．

A．，    B．，   C．，    D．，

【答案】B

【解析】

4．（分）计算的结果是（   ）．

A．     B．    C．     D．

【答案】A

【解析】

5．（分）某学校改造一个边长为米的正方形花坛，经规划，南北向要缩短米，东西向要加长米，则改造后花坛的面积是__________平方米，改造后花坛的面积减少了__________平方米．

【答案】  

【解析】

6．（分）计算：__________．

【答案】

【解析】

7．（分）（深圳校级期中）已知，则__________．（数学思想链接：分类讨论思想）

【答案】

【解析】

8．（分）如图所示，小刚家有一块“”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是，则菜地的面积是__________．当，时，面积是__________．

【答案】  

【解析】

9．（分）计算：．

【答案】

【解析】解：原式

．

10．（分）阅读下面的计算过程．

  根据上式的计算方法，计算下面的题．（方法链接：添项法）

（）．

（）．

【答案】（）  （）

【解析】解：（）原式

．

（）原式

．

11．（分）（拓展提升题）（濉溪县三模）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，如：，，，因此，，都是“智慧数”．

（）__________‘‘智慧数”，__________‘‘智慧数”．（填“是”或“不是”）

（）除外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．

【答案】见解析

【解析】解：（）不是  是

（）除外的正奇数一定是“智慧数”．

理由：设这个奇数为（为正整数）．

因为，

所以除外的正奇数一定是“智慧数”．