2024届高考数学-第3讲 圆锥曲线第三定义（原卷版）

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第3讲 圆锥曲线第三定义 一．选择题（共7小题）1．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　A． B． C． D．2．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，3．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为　　A． B．3 C． D．4．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为　　A． B． C． D．5．已知，，为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线，的斜率记为，，则的最小值为　　A．8 B．4 C．2 D．16．已知，，是双曲线上不同的三点，且，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为　　A． B． C． D．7．已知，，是双曲线上的不同的三点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，是关于的方程的两个实数根，若，为坐标原点，则双曲线的离心率是　　A．2 B． C． D．二．填空题（共4小题）8．已知、、为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线、的斜率记为，，则的最小值为　　9．已知，是椭圆和双曲线的公共顶点，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点，都异于，，且，其中，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，则　　．10．已知，椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则　　．11．已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线，的斜率乘积，则该双曲线的离心率　　．三．解答题（共4小题）12．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为（1）若直线平分线段，求的值；（2）当时，求点到直线的距离；（3）对任意，求证：．13．已知椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知两点，及椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，设线段的中点为，连接，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点？（Ⅲ）过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于，求证：．14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．（1）若直线平分线段，求的值；（2）求，面积的最大值，并指出对应的点的坐标；（3）对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．15．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率．