2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第三次质量监测试卷（理科） - 解析版

2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第三次质量监测试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝4}，B＝{（x，y）|y＝x﹣1}，则集合A∩B的真子集的个数为（　　）

A．3 B．4 C．7 D．8

【分析】根据题意，分析集合A、B的几何意义，由直线与圆的位置关系可得集合A∩B有2个元素，据此分析其真子集数目即可得答案。

【解答】解：根据题意，集合A＝{（x，y）|x2+y2＝4}，其元素（x，y）在圆x2+y2＝4上，

B＝{（x，y）|y＝x﹣1}，其元素（x，y）在直线y＝x﹣1上，

圆x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，圆心到直线y＝x﹣1的距离d＝＝，

则直线y＝x﹣1与圆相交，有2个公共点，

故集合A∩B有2个元素，则集合A∩B的真子集的个数为3，

故选：A．

【点评】本题考查集合的运算，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题。

2．（5分）下列函数中，周期为的是（　　）

A． B．y＝cos2x C． D．y＝tan2x

【分析】直接利用三角函数的周期计算公式对四个选项逐一分析判断即可．

【解答】解：对于A，函数的周期为，故选项A错误；

对于B，函数y＝cos2x的周期为，故选项B错误；

对于C，函数的周期为，故选项C错误；

对于D，函数y＝tan2x的周期为，故选项D正确．

故选：D．

【点评】本题考查了三角函数周期性的判断，解题的关键是掌握三角函数的周期计算公式，属于基础题．

3．（5分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．2

【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．

【解答】解：∵复数z的模为2，

∴z的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，如图，

|z﹣i|的几何意义为圆上的点到定点（0，1）的距离，

由图可知，|z﹣i|的最小值为1．

故选：A．

【点评】本题考查复数的模，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合思想，是基础题．

4．（5分）下列说法错误的是（　　）

A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3” 

B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0” 

C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件 

D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件

【分析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可．

【解答】解：对于A，“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，正确；

对于B，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”，正确；

对于C，“x2﹣2x﹣3＞0”等价于“x＜﹣1或x＞3”，

∴“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，错误；

对于D，“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，正确．

故选：C．

【点评】本题考查命题的真假的判断，充要条件的应用，命题的否定的判断四种命题的逆否关系的应用，是基础题．

5．（5分）比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的有几个（　　）

①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值；

②甲的数学建模能力指标值优于乙的数学建模能力指标值；

③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平；

④甲的数学运算能力指标值优于乙的数学运算能力指标值．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】利用题中雷达图中的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可．

【解答】解：对于①，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，故①正确；

对于②，甲的数学建模能力指标值为3，乙的数学建模能力指标值为4，故②错误；

对于③，乙的六维能力指标值的平均值为，甲的六维能力指标值的平均值为，

所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，故③正确；

对于④，甲的数学运算能力指标值为4，乙的数学运算能力指标值为3，故④正确．

故选：C．

【点评】本题考查了雷达图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．

6．（5分）计算定积分＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】可知,然后即可得出答案．

【解答】解：＝．

故选：B．

【点评】本题考查了定积分的计算方法，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．

7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，

当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，

当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，

当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，

故输出的n值为4，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

8．（5分）已知，则＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和倍角公式的应用求出结果．

【解答】解：，整理得，即，

故．

故选：D．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

9．（5分）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B点，且，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】设直线OA，OB的方程，由题意可得AF的方程及直线OB，OA的交点A，B的坐标，由且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．

【解答】解：设渐近线OA的方程为y＝﹣x，渐近线OB的方程为y＝x，

由题意可得直线AF的方程为y＝（x﹣c），

联立直线AF与OA的方程，

可得A的坐标（，﹣），

由，可得B（3c﹣，），

又B在直线y＝上，

∴＝，整理可得4a2＝3c2，

∴e＝．

故选：A．

【点评】本题考查双曲线的性质及向量间的关系得坐标的关系，考查了运算能力，属于中档题．

10．（5分）等差数列{an}中，a3＝16，a7＝8，Sn是数列{an}的前n项和，则数列{}的前n项和最大时，n＝（　　）

A．20 B．21 C．20或21 D．21或22

【分析】设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到Sn，＝21﹣n，判断数列{}中的项的符号，可得所求最大值时对应的n的值．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，

由a3＝16，a7＝8，可得a1+2d＝16，a1+6d＝8，

解得a1＝20，d＝﹣2，

所以Sn＝20n﹣n（n﹣1）×2＝21n﹣n2，

则＝21﹣n，

当n≥22时，＜0；当1≤n≤21时，≥0，

可得n＝20或21时，数列{}的前n项和取得最大．

故选：C．

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的前n项和的最值求法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

11．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点且倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与y轴交于M、N两点，且，则p＝（　　）

A． B．1 C． D．2

【分析】求出直线AB的方程，与抛物线的方程联立，根据条件求出圆的方程，再令x＝0，可得弦长|MN|，再求出p的值．

【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，

可得直线AB的方程为y＝x﹣，

与抛物线的方程联立，可得y2﹣2py﹣p2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2＝2p，x1+x2＝y1+y2+p＝3p，

所以AB的中点为（p，p），所以|AB|＝x1+x2+p＝4p，

所以以AB为直径的圆的方程为（x﹣p）2+（y﹣p）2＝4p2，

令x＝0，可得y＝p±p，

所以|MN|＝P＝，解得p＝1．

故选：B．

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

（多选）12．（5分）意大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4﹣1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：f（x）＝acosh，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其表达式为coshx＝，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为sinhx＝．若直线x＝m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别交于A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于P，则下列结论中正确的是（　　）

A．cosh2x﹣sinh2x＝1 

B．cosh（x+y）＝coshx coshy﹣sinhx sinhy 

C．|BP|随m的增大而减少 

D．△PAB的面积随m的增大而减小

【分析】利用有理指数幂的运算性质判断A；把等式右侧化简变形判断B；设出A，B的坐标，分别求出两曲线在A，B处的切线方程，联立求得P的坐标，然后求出|BP|2与△PAB的面积，分析单调性判断C与D．

【解答】解：对于A、cosh2x﹣sinh2x＝

＝，故A正确；

对于B、coshxcoshy﹣sinhxsinhy＝•﹣•

＝﹣

＝＝cosh（x﹣y），故B错误；

对于C与D、设A（m，），B（m，），

则曲线C1在点A处的切线方程为y﹣＝（x﹣m），

曲线C2在点B处的切线方程为y﹣＝（x﹣m），

联立求得P的坐标为（m+1，em），则＝1+．

|AB|＝e﹣m，∴|BP|随m的增大先减小后增大，△PAB的面积随m的增大而减小，

故C错误，D正确．

故选：AD．

【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取　16　人．

【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．

【解答】解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的

∴男运动员应抽取56×＝16；

故答案为16．

【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．

14．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，M是BC中点，则•＝　2　．

【分析】利用已知条件，结合向量的数量积求解即可．

【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，M是BC中点，

•＝＝||2＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．

15．（5分）等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，S6＝5S3，则＝　4　．

【分析】根据S6﹣S3＝a4+a5+a6＝q3S3，可得S6＝S3+q2S3；结合又S6＝5S3可得5S3＝S3+q3S3，解出q3．再根据＝＝q3即可求出结果．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，

则S6﹣S3＝a4+a5+a6＝q3（a1+a2+a3）＝q3S3，

所以S6＝S3+q2S3；又S6＝5S3，

所以5S3＝S3+q2S3，即q3+1＝5，解得q3＝4．

所以＝＝q3＝4．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查运算求解能力；涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于基础题．

16．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜）则下列结论：

①MN长度的最小值为；

②当a＝时，ME与CN相交；

③MN始终与平面BCE平行；

④当a＝时，A﹣MN﹣B为直二面角．

正确的序号是　①③　．

【分析】以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，从而可判断①③④，再假设ME与CN相交，从而判断②．

【解答】解：由题意，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A（1，0，0），M（a，0，1﹣a），N（a，a，0），E（0，1，0），C（0，0，1）

＝（0，a，a﹣1），

||＝＝，

故a＝时，MN长度取最小值，

故①正确，

易知平面BCE的一个法向量为＝（1，0，0），

∴•＝0，

又∵MN不在平面BCE内，

∴MN始终与平面BCE平行，故③正确，

当a＝时，M（，0，），N（，，0），设面BMN的法向量＝（x，y，z）

则，解得，＝（1，﹣1，﹣1），

同理可得，面AMN的法向量＝（1，1，1），

•＝1﹣1﹣1＝﹣1≠0，

故A﹣MN﹣B不是直二面角，故④不正确，

若ME与CN相交，

则M、E、C、N四点共面，

故M、E、C、N四点都在平面ACE内，

故点N为AE与BF的交点，此时a＝，

故②不正确，

故答案为：①③．

【点评】本题考查了空间向量的综合应用及立体几何的应用，建立恰当的坐标系及正确标注点的坐标是本题的关键，属于难题．

三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，是1和的等差中项．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若∠BAC的平分线交BC于点D，且AD＝，BC＝2，求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cosA的值，进而可求A的值．

（Ⅱ）由已知利用正弦定理，三角形的面积公式可得bc＝b+c，由余弦定理可得bc，进而根据三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）由已知可得＝1+，

在△ABC中，由正弦定理可得＝1+，

化简可得2sinCcosA＝sin(A+B)，

因为A+B＝π﹣C,

所以cosA＝，

所以A＝．

（Ⅱ）由正弦定理可得S△ABC＝bcsinA＝bc，

又S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝•c•sin+••b•sin＝(b+c)＝bc，即bc＝b+c，

由余弦定理可得＝，

所以bc＝4，

所以S△ABC＝．

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，所有棱长都是1，E，F，G分别是棱PB，PD，BC的中点．

（Ⅰ）求过E，F，G三点的平面截棱锥所得截面的面积；

（Ⅱ）设过E，F，G三点的平面为α，求PB与平面α所成角的大小．

【分析】（Ⅰ）设过E，F，G三点的平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点G，则平面α与平面ABCD有且只有一条过点G的交线，取CD中点H，连接HG，BD，得EF∥BD，GH∥BD，从而EF∥GH，GH是平面α与平面ABCD的唯一一条交线，设平面α与PA交于点N，过E，F，G三点的平面截棱锥所得截面为EGHFN，由此能求出过E，F，G三点的平面截棱锥所得截面的面积．

（Ⅱ）设AC，BD交于点O，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面α所成角．

【解答】解：（Ⅰ）设过E，F，G三点的平面为α，

由已知得平面α与平面ABCD有一个公共点G，

则平面α与平面ABCD有且只有一条过点G的交线，取CD中点H，

连接HG，∵E，F，G分别是棱PB，PD，BC的中点，

连接BD，得EF∥BD，GH∥BD，∴EF∥GH，

∴GH是平面α与平面ABCD的唯一一条交线，

设平面α与PA交于点N，

∴过E，F，G三点的平面截棱锥所得截面为EGHFN，

∵四边形ABCD为正方形，所有棱长都是1，∴FH＝，

设GH，AC交于点M，则MN∥PC，且MN＝，

∴过E，F，G三点的平面截棱锥所得截面的面积为：

SEGHFN＝2SEGMN＝2×（）×＝．

（Ⅱ）设AC，BD交于点O，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，），B（0，﹣，0），E（0，﹣，），F（0，，），G（，0），

∴＝（0，﹣，﹣），＝（0，，0），＝（，0，﹣），

设平面α的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，0，1），

设PB与平面α所成角为θ，

则sinθ＝＝＝，

∴PB与平面α所成角为．

【点评】本题考查截面面积、线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．

19．（12分）某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如表：

并计算得：＝36220，＝34400．

（Ⅰ）画出散点图；

（Ⅱ）建立一个回归方程，用摸底考试成绩x来预测期末考试成绩y（精确到0.1）；

（Ⅲ）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．

（附：＝，＝﹣．）

【分析】（Ⅰ）由题中的数据，作出散点图即可；

（Ⅱ）求出样本中心，由公式计算出回归系数，即可得到回归方程；

（Ⅲ）令y＝60，求出x的值，即可得到答案．

【解答】解：（Ⅰ）散点图如图所示：

（Ⅱ）由已知可得，，

所以＝＝，

则＝﹣＝61﹣0.68×56＝22.92，

所以回归方程为；

（Ⅲ）当y＝60时，60＝0.7x+22.9，接的x＝53，

所以当期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于53分学生将不能获得某课程结业．

【点评】本题考查了散点图的作法，线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．

20．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，在椭圆上有一点P，满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点M（t，0）使得•为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为2，得|PF1|2+|PF2|2＝4c2,|PF1||PF2|＝4,|PF1|+|PF2|＝2a,

解得a2,b2,即可得出答案．

(Ⅱ)分两种情况：①当直线AB 与x轴不重合时，②当直线AB与x轴重合时，讨论•是否能为定值，进而可得M点坐标．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝，

因为PF1⊥PF2，

所以|PF1|2+|PF2|2＝4c2,

因为△PF1F2的面积为2．

所以|PF1||PF2|＝4,

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a,

所以c2＝2,a2＝4,

所以椭圆的方程为+＝1．

(Ⅱ)①当直线AB 与x轴不重合时，设直线AB的方程为x＝my+1，A(x1,y1),B(x2,y2),

将x＝my+1代入+＝1,得(m2+2)y2+2my﹣3＝0,

所以y1+y2＝,y1y2＝,

由题意可得•＝(x1﹣t)(x2﹣t)+y1y2＝x1x2﹣t(x1+x2)+t2+y1y2,

将x1＝my1+1,x2＝my2+1,

所以y1+y2＝,y1y2＝,

所以•＝,

要使得•为定值，

则为定值，

所以2(t2﹣4)＝2t2﹣4t﹣1,解得t＝,

当t＝时，•＝﹣．

②当直线AB与x轴重合时，直线AB的方程为y＝0,

A(﹣2,0),B(2,0)，M(，0)，

所以•＝﹣成立，

所以存在定点M(,0),使得•为定值﹣．

【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（ax+1）（a＞0）．

（Ⅰ）讨论f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）证明：当x≥0时，ex+（2﹣e）x≥xln（x+1）+1．

【分析】（Ⅰ）f′（x）＝，分0＜a≤1与a＞1两类讨论，可得f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）易知ln（x+1）≤x，依题意只需证x≥0时，ex+（2﹣e）x≥x2+1，令g（x）＝ex+（2﹣e）x﹣x2﹣1，利用导数，通过多次构造函数，可证得结论成立．

【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）＝1﹣＝，其中ax+1＞0．

①当0＜a≤1时，1﹣a≥0，x∈[0，+∞），f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增；

②当a＞1时，令f′（x）＝0，得x＝，所以x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，

所以f（x）在[0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

综上所述，当0＜a≤1时，f（x）在[0，+∞）上为增函数，当a＞1时，f（x）在[0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知当a＝1时，f（x）＝x﹣ln（x+1）在[0，+∞）上为增函数，

所以x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）＝0，

而ln（x+1）≤x，

所以x≥0时，xln（x+1）≤x2，即只需证x≥0时，ex+（2﹣e）x≥x2+1．

令g（x）＝ex+（2﹣e）x﹣x2﹣1，则g′（x）＝ex+2﹣e﹣2x，令h（x）＝ex+2﹣e﹣2x，h′（x）＝ex﹣2，

所以x∈（0，ln2），h′（x）＜0，x∈（ln2，+∞），h′（x）＞0，

所以h（x）在（0，ln2）上为减函数，在（ln2，+∞）上为增函数，

h（0）＝1+2﹣e＞0，h（ln2）＝eln2+2﹣e﹣2ln2＝4﹣e﹣2ln2＜0，h（1）＝0，

所以存在x1∈（0，ln2），使得h（x1）＝0，

则当x∈（0，x1）∪（1，+∞），h（x）＞0，当x∈（x1，1），h（x）＜0，

即g（x）在（0，x1）h和（1，+∞）上为增函数，在（x1，1）上为减函数，

以x∈[0，x1）时，g（x）≥g（0）＝0，x∈[x1，+∞）时，g（x）≥g（1）＝0，

即x≥0时，g（x）≥0，

所以当x≥0时，ex+（2﹣e）x≥xln（x+1）+1．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查函数与方程思想、分类讨论思想、化归思想的综合运用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．

选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），α为l的倾斜角，且α∈（0，π），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P（0，1）恰为线段AB的三等分点，求sinα．

【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2＝，根据，转换为直角坐标方程为．

（Ⅱ）把直线l的参数方程为（t为参数），代入直角坐标方程为．

得到（1+cos2α）t2+2sinαt﹣1＝0，

所以，，

由于点P（0，1）恰为线段AB的三等分点，

所以不妨设，

所以t1＝﹣2t2，

代入，，

得到；

得到，

由于α∈（0，π），

所以．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣a|．

（1）若a＝﹣2时，求f（x）＜0的解集；

（2）当时，不等式f（x）≤2x+a恒成立，求a的取值范围．

【分析】（1）a＝﹣2时，函数f（x）＝|2x+1|﹣|x+2|，然后利用零点分段法求f（x）＜0即可；

（2）由已知可得x+1≤2a恒成立，令g（x）＝x+1，求出g（x）在上的最大值，再求出a的取值范围．

【解答】解：（1）当a＝﹣2时，函数f（x）＝|2x+1|﹣|x+2|，

①当x≤﹣2时，f（x）＝﹣（2x+1）+（x+2）＝﹣x+1，

不等式f（x）＜0，化为﹣x+1＜0，解得x＞1，所以x∈∅；

②当﹣2＜x＜﹣时，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x+2）＝﹣3x﹣3，

不等式f（x）＜0，化为﹣3x﹣3＜0，解得x＞﹣1，所以﹣1＜x＜﹣；

③当x≥﹣时，f（x）＝（2x+1）﹣（x+2）＝x﹣1，

不等式f（x）＜0，化为x﹣1＜0，解得x＜1，所以﹣≤x＜1．

综上，不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1}．

（2）当时，f（x）＝2x+1﹣（a﹣x）＝3x+1﹣a，

则不等式f（x）≤2x+a恒成立等价于3x+1﹣a≤2x+a恒成立，即x+1≤2a恒成立，

令g（x）＝x+1，则g（x）在上单调递增，

所以g（x）≤g（a）＝a+1，所以a+1≤2a，解得a≥1，

所以a的取值范围是[1，+∞）．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用不等式恒成立参数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．