2022-2023学年重庆市字水中学高一下学期开学测试数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市字水中学高一下学期开学测试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由根据诱导公式可得答案.

【详解】

故选：A

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集定义求解.

【详解】因为，

所以，

故选:A.

3．“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的解集为R求得，于是可得其成立的必要不充分条件.

【详解】解：关于的不等式的解集为R，则，

解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.

故选：B.

4．若命题“时，”是假命题，则m的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由否命题为真命题可得，求的最小值即可.

【详解】因为命题“时，”是假命题，

所以命题“时，”是真命题，

即有，

易知当，有最小值0,

所以.

故选：C

5．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C． D．

【答案】B

【分析】运用“1”的代换及基本不等式可得结果.

【详解】∵，

∴，

∵，，

∴，当且仅当，即且时，等号成立.

∴的最小值为9.

故选：B.

6．已知，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，运用函数的单调性，借助指数幂的运算，比较即可.

【详解】∵，∴，∴.

∵，∴，∴.

设，，则在上单调递增，

又∵，，∴

∴当时，，

又∵，

∴，即：，∴，

又∵，∴，∴，

∴，即：，

∴.

故选：D.

7．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则这7个实数根之和为（    ）

A．20或 B．8 C．20 D．或8

【答案】A

【分析】画出函数图象，根据图象的对称性可得结果.

【详解】∵，即：，

∴或

的图象如图所示，

∵恰有7个不相等的实根，当时，解得：，

∴恰有6个不相等的实根，

∴当或时，恰有6个不相等的实根，

设六个根分别为，，

当时，，

∴，

当时，，

∴，

∴这7个实数根之和为20或.

故选：A.

8．已知实数，满足：，，则的值是（    ）

A．4 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】运用对数运算性质后构造函数，研究其单调性解方程，进而代入所求式子可得结果.

【详解】∵，

∴，即：，即：，

设，则，

又∵在R上单调递增，

∴，

∴，

∴.

故选：A.

二、多选题

9．已知集合，，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据交集、并集的定义判断．

【详解】由，得，，则A错误；

由，得，从而，则B正确；

由，得，，则C正确；

由，得，则D正确.

故选：BCD．

10．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数是偶函数

B．方程有三个解

C．函数在区间上单调递增

D．函数有4个单调区间

【答案】ABD

【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.

【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．

由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；

函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．

故选：ABD

11．关于函数，下列结论正确的是（    ）

A．图像关于轴对称 B．

C．在上单调递减 D．的解集为或

【答案】ABD

【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断A，根据函数的单调性结合奇偶性可判断B,C,D.

【详解】定义域为，，

，

所以函数为偶函数，A正确；

由于当时，，，

且单调递减，单调递减，

所以在单调递减，

因为，所以，又因为，

所以，B正确；

因为在单调递减，且为偶函数，

所以在单调递增，C错误；

由于当时，，，所以，

又因为函数为偶函数，所以时，，

所以的解集为或，D正确，

故选:ABD.

12．定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（    ）

A．的图象关于点成中心对称 B．对任意整数，

C．的值域为 D．的实数根个数为7

【答案】BCD

【分析】利用函数的对称性、周期性以及时，，可作出的完整图象，数形结合求解.

【详解】由可得函数以4为周期，

又由函数为偶函数可得，

所以函数的一条对称轴为，

又由时，，所以作出函数图象如下，

所以由图可知，的图象不关于点成中心对称，A错误；

对任意整数，，B正确；

的值域为，C正确；

由可得，令，

作出如图，

注意到

，，

所以的图象和的图象共有7个交点，

即的实数根个数为7，D正确；

故选:BCD.

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据求抽象函数的定义域步骤即可求解.

【详解】因为函数的定义域为，则，

所以，则有，解得：，

所以函数的定义域为，

故答案为：.

14．若函数在上单调递增，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由同增异减判断复合函数的单调性可得，再令在上恒成立，即可求得结果.

【详解】令，，则，

∵在上单增，在上单减，

∴，

∵在上恒成立，

∴.

故答案为：.

15．设是第三象限角，且满足，则______．

【答案】.

【分析】由完全平方公式与关系求得的值，再分类讨论为第四象限角与第二象限角时的值.

【详解】∵x为第三象限角，

∴，，

∴，，

又∵，

∴，解得：，

∴，即：，

∴当k为奇数时，为第四象限角，则，∴，

当k为偶数时，为第二象限角，则，∴，

∴.

故答案为：.

四、双空题

16．对于正整数，设函数，其中表示不超过的最大整数.

①则___________；

②设函数，则在函数的值域中所含元素的个数是___________.

【答案】     1     4

【分析】由定义可得可得答案；先由定义得出，然后得出是以1为周期的周期函数，再在内考查的取值分段得出答案.

【详解】①

②

所以是以1为周期的周期函数.

若，则

若，则

若，则

若，则

由函数的周期为1，故其值域为，故值域中含4个元素

故答案为：1；   4

五、解答题

17．计算下列各式的值.

(1)；

(2).

【答案】(1)1

(2)4

【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可.

（2）根据对数的运算性质求解即可.

【详解】（1）原式.

（2）原式

.

18．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）时，求出集合、，由此能求出；

（2）由，可得，结合包含关系即可求解.

【详解】（1）时，，，

.

（2），，

当时,则，即，故无解;

当时, ,即.

的取值范围为.

19．已知．

(1)化简；

(2)若，求的值．

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）运用诱导公式变形可得结果.

（2）分子、分母同除以后，代入的值计算，分子、分母再构造齐次式可求得结果.

【详解】（1）

（2）∵，

∴

.

20．电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产万件该电子元件，需另投入成本万元，且已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．

(1)求该电子厂这种电子元件的利润（万元）与生产量（万件）的函数关系式；

(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．

【答案】(1)

(2)18万元.

【分析】(1)用分段函数表示即可；

(2)根据分段函数分别讨论最值，再比较两个最值，选最大的为最大利润即可求解.

【详解】（1）当时，，

当时，，

所以.

（2）当时，，对称轴为，

所以函数在单调递增，所以当时函数有最大值为，

当时，，

因为，当且仅当，时取得等号，

所以，

因为，

所以当生产量为8（万件）时利润最大，最大利润为18万元.

21．已知二次函数（，，）只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．

(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求的表达式；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式之间的关系、二次函数的图象性质求解；

（2）根据二次函数的对称性和单调性解不等式.

【详解】（1）若满足②，则二次函数开口向下，

的解集不能满足为，

此时有最大值，所以①②不能同时满足，②③不能同时满足，

所以满足的两个条件为①③，

所以解得，所以.

（2）因为，

所以对称轴为，且函数在单调递减，单调递增，

因为，

即，

因为恒成立，恒成立，

所以，即，

解得或，

所以不等式的解为.

22．已知函数是偶函数．

(1)求实数的值；

(2)设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据是偶函数，由成立求解；

（2）函数与的图像有且只有一个公共点，即方程有且只有一个根，令，转化为方程有且只有一个正根求解.

【详解】（1）函数，

因为是偶函数，

所以，

即，

即对一切恒成立，

所以；

（2）因为函数与的图像有且只有一个公共点，

所以方程有且只有一个根，

即方程有且只有一个根，

令，则方程有且只有一个正根，

当时，解得，不合题意；

当时，开口向上，且过定点，有且只有一个正根符合题意.

当时，，解得.

综上：实数的取值范围是.