新教材高二数学第二学期期末试卷十三（原卷版+教师版）

这是一份新教材高二数学第二学期期末试卷十三（原卷版+教师版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

新教材高二数学第二学期期末试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲、乙、丙三个口袋内分别装有2个红球，3个白球，3个黑球，从口袋中取出2个不同颜色的小球，取法种数为（ ）
A. 8 B. 18 C. 21 D. 28
2. 关于线性回归的描述，下列命题错误的是（ ）
A. 回归直线一定经过样本点的中心 B. 残差平方和越小，拟合效果越好
C. 决定系数越接近1，拟合效果越好 D. 残差平方和越小，决定系数越小
3. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据.由下表可知其线性回归方程为，则表中的值为（ ）
月份代码
1
2
3
4
5
碳酸锂价格（万元/）
0.5

1
1.4
1.5
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
4. 展开式中的系数为（ ）
A. 200 B. 210 C. 220 D. 230
5. 已知两个随机变量，，其中，（），若，且，则（ ）
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
6. 导函数的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）

①导函数在处有极小值
②函数在处有极大值
③函数在上是减函数
④函数在是增函数
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（ ）
A. 戏剧放在中间的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 设离散型随机变量的分布列为：

0
1
2
3
4


0.4
0.1
02
0.2
若离散型随机变量满足：，则下列结论正确有（ ）
A. B. C. D.
10. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A. 二项式系数和为64 B. 各项系数和为64
C. 常数项为 D. 常数项为135
11. 已知函数，.（ ）
A. 当时，没有零点
B. 当时，是增函数
C. 当时，直线与曲线相切
D. 当时，只有一个极值点，且
12. 为认真落实新冠防疫“动态清零”总方针，某学校定于每周的周一、周四各做一次抽检核酸检验.高二（5）班某小组有6名同学，每次独立、随机的从中抽取3名同学参加核酸检验.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的同学被抽中，下列结论正确的有（ ）
A. 该小组中的甲同学一周内被选中两次的概率为
B. 该小组中的甲同学一周内至少被选中一次的概率为
C
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数f（x）=x3-12x在区间[-3，3]上的最大值是_________
14. 在某“猜羊”游戏中，一只羊随机躲在两扇门后，选手选择其中一扇门并打开，如果这只羊就在该门后，则为猜对；否则，为猜错.已知一位选手有4次“猜羊”机会，若至少猜对2次才能获奖，则该选手获奖的概率为______.
15. 若关于的方程无解，则实数的范围为______.
16. 类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则：
（1）______；
（2）若，（，），则______.



四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数（）在处取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在点处的切线方程.



18. 为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
（1）补全列联表；

选书法
选剪纸
共计
男生
40

50
女生



共计

30

（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
参考附表：

0.100
0.050
0025

2.706
3.841
5.024
参考公式：，其中.





19. 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
（1）求取到次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）







20. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）已知对于恒成立，求整数的最大值.















21. 第24届冬季奥林匹克运动会即北京冬奥会，于2022年2月4日在北京开幕.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.
（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.






22. 已知函数（），（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由.







新教材高二数学第二学期期末试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲、乙、丙三个口袋内分别装有2个红球，3个白球，3个黑球，从口袋中取出2个不同颜色的小球，取法种数为（ ）
A 8 B. 18 C. 21 D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分红白，红黑和黑白三种情况求解即可
【详解】由题意，从口袋中取出2个不同颜色的小球，取法种数为种
故选：C
2. 关于线性回归的描述，下列命题错误的是（ ）
A. 回归直线一定经过样本点的中心 B. 残差平方和越小，拟合效果越好
C. 决定系数越接近1，拟合效果越好 D. 残差平方和越小，决定系数越小
【答案】D
【解析】
【分析】根据线性回归的性质判断即可
【详解】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确；
对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确；
对C，决定系数越接近1，拟合效果越好正确；
对D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数越接近1，故D错误；
故选：D
3. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据.由下表可知其线性回归方程为，则表中的值为（ ）
月份代码
1
2
3
4
5
碳酸锂价格（万元/）
0.5

1
1.4
1.5

A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
【答案】B
【解析】
【分析】由于线性回归直线一定过样本中心点，所以将样本中心点坐标代入可求得结果.
【详解】由表中数据可得，，
将代入解得.
故选：B.
4. 展开式中的系数为（ ）
A. 200 B. 210 C. 220 D. 230
【答案】A
【解析】
【分析】根据，再根据二项展开式的通项公式求解中和的项即可
【详解】，又中含的项为，中含的项为，故展开式中含的项为，故展开式中的系数为200
故选：A
5. 已知两个随机变量，，其中，（），若，且，则（ ）
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布的均值与正态分布的均值公式可得，再根据正态分布曲线的对称性求解即可
【详解】由可得，即.又，由正态分布曲线对称性可得
故选：D
6. 导函数的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）

①导函数在处有极小值
②函数在处有极大值
③函数在上是减函数
④函数在是增函数
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数图象与原函数的单调性的关系逐项分析可得.
【详解】由的图象可知，故①正确；
在两边，所以在无极值，②错误；
由图象可知，在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，③错误；
在上，所以函数在上单调递增，④正确.
故选：B
7. 将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（ ）
A. 戏剧放在中间的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理计数后进行判断即可.
【详解】选项A：戏曲书只有一本， 所以其余6本书可以全排列， 共有6! 种不同排列方法；
选项 ： 诗集共2本， 把诗集当成一本， 不同方法有6! 种， 这两本又可交换位置，
所以不同放法总数为 ；
选项C：四大名著互不相邻， 那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书， 共有3! 种放法，
这四本书又可以全排列， 所以不同放法总数为 ；
选项D：四大名著可以在第 2 至第6这5个位置上任选4个位置放置， 共有 种放法，
这四本书放好后， 其余3本书可以在剩下的 3 个位置上全排列，
所以共有不同放法总数为
故选：C.
8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.
【详解】解：设，，令，解得.
，，单调递减，
，，单调递增.
所以，即，当且仅当时取等号.
所以.
又，，故，所以；
设，，令，解得.
，，单调递增，
，，单调递减.
所以，即，当且仅当时取等号.
所以，故，
又，所以，
故.
故选：B.
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 设离散型随机变量的分布列为：

0
1
2
3
4


0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量满足：，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的分布列求出q，再利用期望、方差的定义计算作答.
【详解】由分布列知：，，A正确；
，B不正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D不正确.
故选：AC
10. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A. 二项式系数和为64 B. 各项系数和为64
C. 常数项为 D. 常数项为135
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证：
求出n=6，得到二项展开式的通项公式，
对于A: 二项式系数和为,可得；
对于B:赋值法，令，可得；
对于C、D:利用二项展开式的通项公式，可得.
【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；
展开式的通项为，
令，得，因此，展开式中的常数项为．
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
11. 已知函数，.（ ）
A. 当时，没有零点
B. 当时，是增函数
C. 当时，直线与曲线相切
D. 当时，只有一个极值点，且
【答案】ACD
【解析】
【分析】当时，，求导，借助零点存在性定理求出单调性，并求出，据此判断A B；当时，，求导，将代入得斜率，又因为，代点斜式求出切线方程，继而判断C；结合导函数的单调性及零点存在性定理判断D.
【详解】当时，，则，在上为增函数，且，所以在上存在唯一的零点m，则，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而没有零点，故A正确，B错误.
当时，，则，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，所以C正确.
因为在上为增函数，且所以只有一个极值点，且，所以D正确.
故选：ACD
12. 为认真落实新冠防疫“动态清零”总方针，某学校定于每周的周一、周四各做一次抽检核酸检验.高二（5）班某小组有6名同学，每次独立、随机的从中抽取3名同学参加核酸检验.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的同学被抽中，下列结论正确的有（ ）
A. 该小组中的甲同学一周内被选中两次的概率为
B. 该小组中的甲同学一周内至少被选中一次的概率为
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意每次抽取甲同学被抽到的概率，
所以甲同学一周内被选中两次的概率为，故A正确；
所以甲同学一周内至少被选中一次的概率为，故B正确；
依题意的可能取值为、、、，
则，，
所以，故C错误；
，，
所以，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数f（x）=x3-12x在区间[-3，3]上的最大值是_________
【答案】16
【解析】
详解】，由得：
随x 的变化而变化情况列表如下：


-3

(-3,-2)

-2

（-2,2）

2

（2,3）

3





+

0

-

0

+







增函数

极大值

减函数

极小值

增函数



f(-2)=16,f(3)=-9;由上表及计算可知：最大值是16
14. 在某“猜羊”游戏中，一只羊随机躲在两扇门后，选手选择其中一扇门并打开，如果这只羊就在该门后，则为猜对；否则，为猜错.已知一位选手有4次“猜羊”机会，若至少猜对2次才能获奖，则该选手获奖的概率为______.
【答案】
【解析】
【详解】由题意可得猜对的次数，至少猜对2次格能获奖，由此利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式求解即可
【点睛】由题意可知一位选手获得了4次“猜羊”机会，则猜对的次数，
因为至少猜对2次才能获奖，
所以该选手获奖的概率为


，
故答案为：
15. 若关于的方程无解，则实数的范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为无解，构造，，利用导函数求解的单调性和极值，最值情况，再同一坐标系下画出，的图象，从而得到当斜率位于两切线之间时，两函数无交点，即方程无解，设出切点，求出两切线斜率，从而求出实数的范围.
【详解】无解，
当时，此时只需即可，所以时，方程有解，舍去；
即，则方程可化为无解，
令，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
在处取得极大值，也是最大值，
，
令，为过点的直线，
画出与的图象如下：

求出与相切的两切线，当斜率位于两切线之间时，
两函数无交点，即方程无解，
设切点为，
则，解得：或，
当时，，此时；
当时，，解得：，
故实数的范围为
故答案为：
【点睛】解决函数方程根的个数问题，通常构造函数，转化为两函数的交点个数问题，构造的原则要能容易求导和画出函数图象.
16. 类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则：
（1）______；
（2）若，（，），则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定定义，求出中所有二项式因式的常数项的积可得；由并结合多项式乘法法则求解作答.
【详解】（1）依题意，是展开式的常数项，
所以；
（2）依题意，，
则展开式中项是展开式中的项与x相乘加上与相乘积的和，
即，而，，
所以.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：由给定的新定义，探求n取相邻两个数时的两个定义式间的关系是求解问题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数（）在处取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线在点处的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，代入极值点，求参数，再进行检验；
（2）根据导数的几何意义求切线方程.
【小问1详解】
由，，
又在处取得极值，所以，得.
得，在时，在时，
所以函数在处取得极值，满足题意，故；
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
18. 为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
（1）补全列联表；

选书法
选剪纸
共计
男生
40

50
女生



共计

30


（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
参考附表：

0.100
0.050
0.025

2.706
3.841
5.024
参考公式：，其中.
【答案】（1）列联表见解析
（2）能
【解析】
【分析】（1）根据所给的数据补全列联表即可；
（2）计算卡方，再对比表中数据进行独立性检验即可
【小问1详解】
根据题意补全列联表，如下：

选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100
【小问2详解】零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关.
根据列联表中数据，得，
根据小概率的独立性检验，推断不成立，即有95%的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.
19. 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．
（1）求取到次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）
【答案】（1）0.0345；
（2）0.36.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【小问1详解】
设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.
易知，，两两互斥，根据全概率公式，
可得．
故取到次品的概率为0.0345．
【小问2详解】
．
故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36．
20. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）已知对于恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）4
【解析】
【分析】（1）求导分析单调性与极值即可；
（2）化简可得，再取，可得.构造函数，求导分析的单调性可得需，再构造函数，进而求导分析函数的单调性，结合，求解即可
【小问1详解】
，由，得，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，极小值为，无极大值；
小问2详解】
（2）由，所以，取，则，
因此，令，则，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以，因此只需，即，令，，所以在上单调递减，又，，
所以，整数的最大值为4.
21. 第24届冬季奥林匹克运动会即北京冬奥会，于2022年2月4日在北京开幕.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.
（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.
【答案】（1）甲 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式分别求出甲、乙、丙进入决赛的概率，再进行比较可得结论，进入决赛的人数的可能取值为：0、1、2、3，求出相应的概率，从而可求出其分布列和期望
（2）由题意可得，求出，
【小问1详解】
甲在初赛的两轮中均获胜的概率为；
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：.
因为，所以，
所以，
所以，，即甲进入决赛的可能性最大.
【小问2详解】
设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则，
整理得，解得或，由，所以，
所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为或，两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数的可能取值为：0、1、2、3，
所以；
；
；
；
所以，的分布列为

0
1
2
3





所以，.
22. 已知函数（），（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论参数的取值范围，利用导数求解函数的单调性即可；
（2）利用导数求解函数、的单调性，进而求解函数、的最值，结合已知条件①、②画出函数，的简图，可得，进而得到，，即可证明.
【小问1详解】
解：由题可知，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，对于，，函数单调递减；，，函数单调递增；
【小问2详解】
解：由，，当时，；当时，，
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，；
由，知当时，；当，，
又，可知在上单调递减，在上单调递增，，
令，即当时，；当时，，
结合条件①中方程有唯一实数解，知：
当时，，当时，，
综上，画出函数，的简图：

其中，，，，，
则，，
即，得，，
因为，由，，得，
因为，由，，因此，
所以，，
所以存在满足条件的一个排列，如，，，，使.