河北省衡水中学2017届高三上学期五调（12月）理数试题

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A． B． C． D．2.已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）A． B． C． D．3.如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A． B． C． D．与的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）A．45 B．50 C.55 D．605.已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于.以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）A． B． C. D．6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． B．35 C. D．7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）（参考数据：,,）A．12 B．24 C. 36 D．48.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）A． B． C. D．9.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）A． B． C. D．10. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（ ）A． B． C. D．311.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）A． B． C. D．12.已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于________.14.已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.（1）求数列,的通项公式；（2）求数列的前项和.18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：，其中.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.（1）若分别为，的中点，求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数，且曲线与轴切于原点.（1）求实数的值；（2）若恒成立，求的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数，函数的最大值为3.（1）求的值；（2）设函数，若对于均有，求的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（1），，，即，又，数列为以为首项，公比为的等比数列，…………2分，，整理得，得，…………4分.………………6分（2），…………①…………②…………8分—②得…………10分整理得：………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件由，得，频数为…………4分（Ⅱ）根据以上数据得到如表：…………8分的观测值.所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分19.（本题满分12分）解：（1）取的中点，连接，在中，为中位线，平面平面，平面，同理可得平面，…………2分又，所以平面平面，平面，平面.…………4分（2）连接，在中，，所以由余弦定理得是等腰直角三角形，，又因为平面平面，平面平面平面，平面，，…………7分又因为侧面，为正方形，，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，………………8分设平面的一个法向量为，则，即，令，则，故为平面的一个法向量，所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆的右焦点，…………1分在椭圆上，，…………2分由得，所以椭圆的方程为.…………4分（Ⅱ）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，…………5分当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，所以，…………7分则，………………8分又圆心到的距离得，…………9分又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，………………10分所以面积，…………11分令，则，综上，面积的取值范围为.…………12分21.解：（1），…………1分，又.………………4分（2）不等式，整理得，即或，…………6分令.当时，；当时，，在单调递减，在单调递增，，即，所以在上单调递增，而；故.当或时，；同理可得，当时，.当恒成立可得，当或时，，当时，，故和是方程的两根，从而.…………12分22.解:（1）由，得，代入，得直线的普通方程.由，得.…………5分（2）的直角坐标方程为.设，则.当，即或时，上式取最小值.即当或时，的最小值为.…………10分 23.解：（Ⅰ），…………2分所以的最大值为，.………………4分（Ⅱ）当时，，…………6分对于，使得等价于，成立，的对称轴为，在为减函数，的最大值为，…………8分，即，解得或，又因为，所以.………………10分非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计