湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题及答案

2023年湖北云学新高考联盟学校高一年级5月联考

数学试卷

考试时间：2023年5月30日14：30~16：30    时长：150分钟    满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号镇写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，，若，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数（其中i是虚数单位）是实数，则实数a的值是（    ）

A. B.2 C.3 D.4

3.中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，那么是（    ）

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

4.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（    ）

A. B. C. D.

5.的斜二测画法的直观图为，，，，则的面积为（    ）

A.3 B. C. D.

6.中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若的面积为，则（    ）

A. B. C.1 D.

7.在中，，，D为BC的中点，将绕AD旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A. B. C. D.

8.在中，AD为BC上的中线，G为的重心，M，N分别为线段AB，AC上的动点，且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（    ）

A. B.3 C.2 D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如下图，点A，B，C，P，Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（    ）

A. B. C. D.

10.下列各式中，值是的是（    ）

A. B.

C.  D.

11.已知，将绕坐标原点O分别旋转，60°，120°到，，的位置，则（    ）

A.点的坐标为 B.

C. D.

12.欧拉公式（其中，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知（i为虚数单位），则______.

14.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______.

15.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线______.

16.已知，如果存在实数，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知复数，且为纯虚数.

（1）求实数m；

（2）若，，求复数.

18.（本小题满分12分）

已知向量，满足，

（1）若，求的值；

（2）若，求在上的投影向量的坐标.

19.（本小题满分12分）

如图所示，BD为平面四边形的对角线，设，，为等边三角形，记.

（1）当时，求的面积；

（2）设S为四边形的面积，用含有的关系式表示S，并求S的最大值.

20.（本小题满分12分）

已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定；

条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：图象的一条对称轴为.

（1）求的解析式；

（2）存在使得不等式成立，求实数m的取值范围.

21.（本小题满分12分）

如图，在正四棱锥中，，，N、E、F分别为PD、BC、CD中点.

（1）求证：平面PMN；

（2）三棱锥的体积.

22.（本小题满分12分）

已知中，，，，Q是边AB（含端点）上的动点.

（1）若，O点为AP与CQ的交点，请用，表示；

（2）若点Q使得，求的取值范围及的最大值.

2023年湖北云学新高考联盟学校高一年级5月联考

数学试卷评分细则

1-8ADAD    BCCB      9.AD    10.ACD    11.BCD    12.ABD

13.   14.   15.    16.

17.解：（1）∵为纯虚数

，∴    （5分）

（2）由（1）有，∴    （6分）

令，∴

∴   ∴   （8分）

∴   （10分）

18.解：（1）   （1分）

，∴   （3分）

∴   （6分）

（2）   ∴   （8分）

∴   （10分）

∴，∴投影向量坐标为   （12分）

19.解：（1）在中，        （2分）

∴    （3分）

又∵    ∴

∴.    （5分）

（2）在中，

∵    （7分）

∴

    （10分）

∵，∴

∴当即时，（12分）

20.解：（1）选①③    （1分）

∵   ∴    （2分）

∴

又∵为对称轴，∴

而  ∴   ∴    （6分）

（2）令

    （8分）

令    ∴在上单增

∴当时，   （11分）

∴    （12分）

21.解：（1）证明：连接BD

∵四边形为正方形，E，F为BC，CD的中点

∴    （1分）

又B，D，N，P，M五点共面，平面，平面    （3分）

∴平面    （4分）

（2）    （6分）

    （12分）

22解：∵   ∴    （1分）

又∵A、O、P三点共线，令，

∵   ∴，

而C、O、Q三点共线，∴   ∴

∴    （4分）

（2）可得，又因为，

设，则，

由，可得.即，    （6分）

所以，

即.

整理得    （8分）

因为，在上单调递增，

故    （10分）

又因为，

可知是关于t的函数在上单调递增，所以当时，最大值为.    （12分）