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新教材高一数学第二学期期末试卷04（原卷版+教师版）
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这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷04（原卷版+教师版），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新教材高一数学第二学期期末试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设复数，则在复平面中对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A. B. C. D.
3. 现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这组数的方差是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C 若，，则
D. 若，异面直线，，，且，则
5. 已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 某指挥中心接到在其北偏东相距海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里/小时，则乙船需要航行（ ）小时
A. B. C. D.
7. 如图所示，在平行四边形中，记，，若，于点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A.
B.
C.
D
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2个小球恰有1个红球 B. 2个小球不全为黑球
C. 2个小球至少有1个黑球 D. 2个小球都为黑球
10. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量 D. 在上的投影向量为
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，直线平面
B. 当为中点时，直线与所成的角为
C. 若是棱上的动点，且，则平面平面
D. 当在上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分．）
13. 设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
14. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______
16. 一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如图①所示，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②所示，球心到托盘底面的距离为，则球的体积为__________．
四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
18. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）在中，若，，，求的面积．
9. 正三棱柱中，，，点分别为的中点．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
20. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
21. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．
22. 为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
（1）当，求四边形的面积；
（2）当何值时，线段最长并求最长值.
新教材高一数学第二学期期末试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设复数，则在复平面中对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】【分析】化简复数，再由复数几何意义即可得出答案.
详解】，在复平面中对应的点为，在第一象限.
故选：A.
2. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】先求出甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率，再由对立事件即可求出至少有一人命中目标的概率.
【详解】甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率为: ，
至少有一人命中目标的概率：.
故选：B.
3. 现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这组数的方差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据方差公式直接化简计算可得.
【详解】设这5个数为，则，，
则这组数的方差是
.
故选：C.
4. 已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，是异面直线，，，且，则
【答案】D
【解析】【分析】根据空间中线面、面面位置关系的判定定理与性质定理判断即可；
【详解】解：对于A，若，，则或或与相交，故A错误；
对于B，若，，则或与相交，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，是异面直线，，，，且，
则由线面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：D．
5. 已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由给定条件列出关于圆锥底面圆半径r，圆锥母线l的关系式，进而求出圆锥的侧面积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线为l，
由圆锥的结构特征知：，即l=2r，所以，圆锥侧面积.
故选：A
6. 某指挥中心接到在其北偏东相距海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里/小时，则乙船需要航行（ ）小时
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】利用余弦定理计算出甲乙两船的距离即可求出.
【详解】如图，设甲在处，乙在处，由题可得，
在中，由余弦定理得，所以，
所以乙船需要航行小时故选：C.
7. 如图所示，在平行四边形中，记，，若，于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到与的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量.
【详解】因为，所以，
在中，，则，则，
所以，
故选：B.
8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【分析】根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式即可求解.
【详解】∵，∴，进而得，
即，即
，即．
故选：D.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2个小球恰有1个红球 B. 2个小球不全为黑球
C. 2个小球至少有1个黑球 D. 2个小球都为黑球
【答案】AD
【解析】【分析】根据互斥与对立的事件的定义即可得出答案.
【详解】一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，这2个球可能为：2个红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况，
与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件：2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.
故选：AD.
10. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量 D. 在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】【分析】根据向量关系依次计算判断即可.
【详解】对A，若，则，则，故A错误；
对B，要使，则，则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；
对C，因为，所以，又，所以向量是与共线的单位向量，故C正确；
对D，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
【答案】BC
【解析】【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可
【详解】由函数图象可得，所以，所以，得，
所以，因为点在函数图象上，
所以，得，所以，
因为，所以，所以，
对于A，因为，所以不是函数的对称中心，所以A错误，
对于B，因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B正确，
对于C，因为，所以的最小值为，所以C正确，
对于D，当时，，因为方程在区间上只有一个根，所以由图可知或，即实数的取值范围为，所以D错误，
故选：BC
12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，直线平面
B. 当为中点时，直线与所成的角为
C. 若是棱上的动点，且，则平面平面
D. 当在上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
【答案】ACD
【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
当为中点时，，
所以,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
因为，所以，
因为平面，所以平面，故A正确；
因为，
所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；
若，则，又,
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
因为，所以平面平面，故C正确；
因为，易得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分．）
13. 设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
【答案】
【解析】【分析】根据纯虚数的概念列方程组求m值，进而写出，即可求模.
【详解】由题设，，解得，所以，故的模为.
故答案为：
14. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．
【答案】9
【解析】【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，即可求出答案.
【详解】，解得：.故答案为：
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______
【答案】
【解析】【分析】由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解.
【详解】，，
，由可得，
又，，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.
16. 一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如图①所示，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②所示，球心到托盘底面的距离为，则球的体积为__________．
【答案】
【解析】【分析】取中点，连接，可得平面到平面的距离为，即可在球内建立勾股关系，求出半径即可得出体积.
【详解】如图，取中点，连接,
因为是边长为2等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面,
同理平面，平面，且，
所以是边长为1的等边三角形，且平面到平面的距离为，
设的外接圆圆心为，半径为
因为球心到托盘底面的距离为，所以，
因为，所以，则球的半径为，
所以球的体积为.故答案为：.
四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
【答案】（1） （2）2
【解析】【分析】（1）设向量与的夹角为，由题目条件求出，再由向量的夹角公式即可求出答案.
（2）由，代入即可得出答案.
【小问1详解】设向量与的夹角为，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴．
，∵，∴．
【小问2详解】由（1）知，，又，，
∴．
18. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）在中，若，，，求的面积．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）根据三角函数图象伸缩变化和平移规律可得的解析式，再利用周期公式计算可得周期；
（2）根据求得，由余弦定理可得，再利用计算可得答案．
【小问1详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，
纵坐标不变，得函数，
再向左平移个单位长度，得，∴．
【小问2详解】∵，∴，∵，则，
∴，∴，由余弦定理可得：，
即，∴，
∴．
19. 正三棱柱中，，，点分别为的中点．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，可证得平面，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果
【小问1详解】取中点，连接，
分别为中点，且，
为中点，四边形为平行四边形，且，
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
【小问2详解】取中点，连接，
三棱柱为正三棱柱，为正三角形，平面，
，，又，平面，
平面，
，，
.
20. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
【答案】（1）中位数是，第80百分位数为 （2） （3）
【解析】【分析】（1）利用中位数与第百分位数的定义即可求解；
（2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解；
（3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是，
∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为．
所以甲组20名同学成绩的中位数为119, 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：
．
【小问3详解】
甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、．
记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个，
∴．
所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为.
21. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）通过证明可得，同理可得，即可证明平面，得出答案；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.
【小问1详解】由题，平面，所以，
因为底面为菱形，，，所以，
在中，，，∴，
因此，是中点，可得：，
同理：，∵，∴平面，
又因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】以，，分别为，，轴建系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
可取，设平面的法向量为，
则，即，可取，
所以，
设二面角的平面角为，∴．
22. 为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
（1）当，求四边形的面积；
（2）当为何值时，线段最长并求最长值
【答案】（1）平方百米 （2）当时，的最大值为3百米
【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，再由面积公式得四边形的面积，计算即可求解；
（2）由余弦定理计算得到，再由正弦定理得到，根据同角的平方关系得到，再由两角和的余弦公式求得，最后在中利用余弦定理得到，结合三角恒等变换得到关于的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求的最值.
【小问1详解】由题意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四边形的面积为
平方百米．
【小问2详解】在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以为锐角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：
．
∵，∴当时，的最大值为3百米．
新教材高一数学第二学期期末试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设复数，则在复平面中对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A. B. C. D.
3. 现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这组数的方差是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C 若，，则
D. 若，异面直线，，，且，则
5. 已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 某指挥中心接到在其北偏东相距海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里/小时，则乙船需要航行（ ）小时
A. B. C. D.
7. 如图所示，在平行四边形中，记，，若，于点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A.
B.
C.
D
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2个小球恰有1个红球 B. 2个小球不全为黑球
C. 2个小球至少有1个黑球 D. 2个小球都为黑球
10. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量 D. 在上的投影向量为
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，直线平面
B. 当为中点时，直线与所成的角为
C. 若是棱上的动点，且，则平面平面
D. 当在上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分．）
13. 设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
14. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______
16. 一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如图①所示，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②所示，球心到托盘底面的距离为，则球的体积为__________．
四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
18. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）在中，若，，，求的面积．
9. 正三棱柱中，，，点分别为的中点．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
20. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
21. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．
22. 为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
（1）当，求四边形的面积；
（2）当何值时，线段最长并求最长值.
新教材高一数学第二学期期末试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设复数，则在复平面中对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】【分析】化简复数，再由复数几何意义即可得出答案.
详解】，在复平面中对应的点为，在第一象限.
故选：A.
2. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】先求出甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率，再由对立事件即可求出至少有一人命中目标的概率.
【详解】甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率为: ，
至少有一人命中目标的概率：.
故选：B.
3. 现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这组数的方差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据方差公式直接化简计算可得.
【详解】设这5个数为，则，，
则这组数的方差是
.
故选：C.
4. 已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，是异面直线，，，且，则
【答案】D
【解析】【分析】根据空间中线面、面面位置关系的判定定理与性质定理判断即可；
【详解】解：对于A，若，，则或或与相交，故A错误；
对于B，若，，则或与相交，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，是异面直线，，，，且，
则由线面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：D．
5. 已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由给定条件列出关于圆锥底面圆半径r，圆锥母线l的关系式，进而求出圆锥的侧面积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线为l，
由圆锥的结构特征知：，即l=2r，所以，圆锥侧面积.
故选：A
6. 某指挥中心接到在其北偏东相距海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里/小时，则乙船需要航行（ ）小时
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】利用余弦定理计算出甲乙两船的距离即可求出.
【详解】如图，设甲在处，乙在处，由题可得，
在中，由余弦定理得，所以，
所以乙船需要航行小时故选：C.
7. 如图所示，在平行四边形中，记，，若，于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到与的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量.
【详解】因为，所以，
在中，，则，则，
所以，
故选：B.
8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【分析】根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式即可求解.
【详解】∵，∴，进而得，
即，即
，即．
故选：D.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2个小球恰有1个红球 B. 2个小球不全为黑球
C. 2个小球至少有1个黑球 D. 2个小球都为黑球
【答案】AD
【解析】【分析】根据互斥与对立的事件的定义即可得出答案.
【详解】一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，这2个球可能为：2个红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况，
与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件：2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.
故选：AD.
10. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量 D. 在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】【分析】根据向量关系依次计算判断即可.
【详解】对A，若，则，则，故A错误；
对B，要使，则，则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；
对C，因为，所以，又，所以向量是与共线的单位向量，故C正确；
对D，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
【答案】BC
【解析】【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可
【详解】由函数图象可得，所以，所以，得，
所以，因为点在函数图象上，
所以，得，所以，
因为，所以，所以，
对于A，因为，所以不是函数的对称中心，所以A错误，
对于B，因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B正确，
对于C，因为，所以的最小值为，所以C正确，
对于D，当时，，因为方程在区间上只有一个根，所以由图可知或，即实数的取值范围为，所以D错误，
故选：BC
12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，直线平面
B. 当为中点时，直线与所成的角为
C. 若是棱上的动点，且，则平面平面
D. 当在上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
【答案】ACD
【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
当为中点时，，
所以,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
因为，所以，
因为平面，所以平面，故A正确；
因为，
所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；
若，则，又,
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
因为，所以平面平面，故C正确；
因为，易得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分．）
13. 设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
【答案】
【解析】【分析】根据纯虚数的概念列方程组求m值，进而写出，即可求模.
【详解】由题设，，解得，所以，故的模为.
故答案为：
14. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．
【答案】9
【解析】【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，即可求出答案.
【详解】，解得：.故答案为：
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______
【答案】
【解析】【分析】由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解.
【详解】，，
，由可得，
又，，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.
16. 一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如图①所示，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②所示，球心到托盘底面的距离为，则球的体积为__________．
【答案】
【解析】【分析】取中点，连接，可得平面到平面的距离为，即可在球内建立勾股关系，求出半径即可得出体积.
【详解】如图，取中点，连接,
因为是边长为2等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面,
同理平面，平面，且，
所以是边长为1的等边三角形，且平面到平面的距离为，
设的外接圆圆心为，半径为
因为球心到托盘底面的距离为，所以，
因为，所以，则球的半径为，
所以球的体积为.故答案为：.
四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
【答案】（1） （2）2
【解析】【分析】（1）设向量与的夹角为，由题目条件求出，再由向量的夹角公式即可求出答案.
（2）由，代入即可得出答案.
【小问1详解】设向量与的夹角为，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴．
，∵，∴．
【小问2详解】由（1）知，，又，，
∴．
18. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）在中，若，，，求的面积．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）根据三角函数图象伸缩变化和平移规律可得的解析式，再利用周期公式计算可得周期；
（2）根据求得，由余弦定理可得，再利用计算可得答案．
【小问1详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，
纵坐标不变，得函数，
再向左平移个单位长度，得，∴．
【小问2详解】∵，∴，∵，则，
∴，∴，由余弦定理可得：，
即，∴，
∴．
19. 正三棱柱中，，，点分别为的中点．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，可证得平面，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果
【小问1详解】取中点，连接，
分别为中点，且，
为中点，四边形为平行四边形，且，
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
【小问2详解】取中点，连接，
三棱柱为正三棱柱，为正三角形，平面，
，，又，平面，
平面，
，，
.
20. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
【答案】（1）中位数是，第80百分位数为 （2） （3）
【解析】【分析】（1）利用中位数与第百分位数的定义即可求解；
（2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解；
（3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，甲组20名同学成绩的中位数是，
∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为．
所以甲组20名同学成绩的中位数为119, 甲组20名同学成绩的第80百分位数为133.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知：乙组20名同学成绩的平均数分为：
．
【小问3详解】
甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作、；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有个，记作、、．
记事件为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：，，，，，，，，，，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：，，，，，，共6个，
∴．
所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为.
21. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）通过证明可得，同理可得，即可证明平面，得出答案；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.
【小问1详解】由题，平面，所以，
因为底面为菱形，，，所以，
在中，，，∴，
因此，是中点，可得：，
同理：，∵，∴平面，
又因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】以，，分别为，，轴建系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
可取，设平面的法向量为，
则，即，可取，
所以，
设二面角的平面角为，∴．
22. 为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
（1）当，求四边形的面积；
（2）当为何值时，线段最长并求最长值
【答案】（1）平方百米 （2）当时，的最大值为3百米
【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，再由面积公式得四边形的面积，计算即可求解；
（2）由余弦定理计算得到，再由正弦定理得到，根据同角的平方关系得到，再由两角和的余弦公式求得，最后在中利用余弦定理得到，结合三角恒等变换得到关于的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求的最值.
【小问1详解】由题意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四边形的面积为
平方百米．
【小问2详解】在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以为锐角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：
．
∵，∴当时，的最大值为3百米．
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