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    2014年广东省中考数学试卷(含解析版)

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    这是一份2014年广东省中考数学试卷(含解析版),共29页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2014年广东省中考数学试卷
    一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)
    1.(3分)在1,0,2,﹣3这四个数中,最大的数是(  )
    A.1 B.0 C.2 D.﹣3
    2.(3分)在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    3.(3分)计算3a﹣2a的结果正确的是(  )
    A.1 B.a C.﹣a D.﹣5a
    4.(3分)把x3﹣9x分解因式,结果正确的是(  )
    A.x(x2﹣9) B.x(x﹣3)2 C.x(x+3)2 D.x(x+3)(x﹣3)
    5.(3分)一个多边形的内角和是900°,这个多边形的边数是(  )
    A.10 B.9 C.8 D.7
    6.(3分)一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球,其中3个红球,4个白球,从布袋中随机摸出一个球,摸出的球是红球的概率是(  )
    A. B. C. D.
    7.(3分)如图,▱ABCD中,下列说法一定正确的是(  )

    A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB=BC
    8.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(  )
    A. B. C. D.
    9.(3分)一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为(  )
    A.17 B.15 C.13 D.13或17
    10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(  )

    A.函数有最小值 B.对称轴是直线x=
    C.当x<,y随x的增大而减小 D.当﹣1<x<2时,y>0
     
    二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
    11.(4分)计算:2x3÷x=  .
    12.(4分)据报道,截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人.将618 000 000用科学记数法表示为  .
    13.(4分)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若BC=6,则DE=  .

    14.(4分)如图,在⊙O中,已知半径为5,弦AB的长为8,那么圆心O到AB的距离为  .

    15.(4分)不等式组的解集是  .
    16.(4分)如图,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′,若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分的面积等于  .

     
    三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
    17.(6分)计算:+|﹣4|+(﹣1)0﹣()﹣1.



    18.(6分)先化简,再求值:(+)•(x2﹣1),其中x=.




    19.(6分)如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.
    (1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
    (2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).


     
    四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
    20.(7分)如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据:≈1.414,≈1.732)







    21.(7分)某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元,在一次促销活动中,按标价的八折销售,仍可盈利9%.
    (1)求这款空调每台的进价(利润率==).
    (2)在这次促销活动中,商场销售了这款空调机100台,问盈利多少元?







    22.(7分)某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多,浪费严重,于是准备在校内倡导“光盘行动”,让同学们珍惜粮食,为了让同学们理解这次活动的重要性,校学生会在某天午餐后,随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.

    (1)这次被调查的同学共有  名;
    (2)把条形统计图补充完整;
    (3)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算,该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?
     













    五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
    23.(9分)如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0,x<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.
    (1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?
    (2)求一次函数解析式及m的值;
    (3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.




    24.(9分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.
    (1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)
    (2)求证:OD=OE;
    (3)求证:PF是⊙O的切线.



    25.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).

    (1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;
    (2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
    (3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
     


    2014年广东省中考数学试卷
    参考答案与试题解析

    一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)
    1.(3分)(2014•汕头)在1,0,2,﹣3这四个数中,最大的数是(  )
    A.1 B.0 C.2 D.﹣3
    【考点】有理数大小比较.菁优网版权所有
    【分析】根据正数大于0,0大于负数,可得答案.
    【解答】解:﹣3<0<1<2,
    故选:C.
    【点评】本题考查了有理数比较大小,正数大于0,0大于负数是解题关键.
     
    2.(3分)(2014•汕头)在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    【考点】中心对称图形;轴对称图形.菁优网版权所有
    【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
    【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;
    B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误;
    C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;
    D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误.
    故选C.
    【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
     
    3.(3分)(2014•汕头)计算3a﹣2a的结果正确的是(  )
    A.1 B.a C.﹣a D.﹣5a
    【考点】合并同类项.菁优网版权所有
    【分析】根据合并同类项的法则,可得答案.
    【解答】解:原式=(3﹣2)a=a,
    故选:B.
    【点评】本题考查了合并同类项,系数相加字母部分不变是解题关键.
     
    4.(3分)(2014•汕头)把x3﹣9x分解因式,结果正确的是(  )
    A.x(x2﹣9) B.x(x﹣3)2 C.x(x+3)2 D.x(x+3)(x﹣3)
    【考点】提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有
    【专题】因式分解.
    【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
    【解答】解:x3﹣9x,
    =x(x2﹣9),
    =x(x+3)(x﹣3).
    故选:D.
    【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
     
    5.(3分)(2014•汕头)一个多边形的内角和是900°,这个多边形的边数是(  )
    A.10 B.9 C.8 D.7
    【考点】多边形内角与外角.菁优网版权所有
    【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°,列式求解即可.
    【解答】解:设这个多边形是n边形,根据题意得,
    (n﹣2)•180°=900°,
    解得n=7.
    故选:D.
    【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式,熟记公式是解题的关键.
     
    6.(3分)(2014•汕头)一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球,其中3个红球,4个白球,从布袋中随机摸出一个球,摸出的球是红球的概率是(  )
    A. B. C. D.
    【考点】概率公式.菁优网版权所有
    【分析】直接根据概率公式求解即可.
    【解答】解:∵装有7个只有颜色不同的球,其中3个红球,
    ∴从布袋中随机摸出一个球,摸出的球是红球的概率=.
    故选:B.
    【点评】本题考查的是概率公式,熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.
     
    7.(3分)(2014•汕头)如图,▱ABCD中,下列说法一定正确的是(  )

    A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB=BC
    【考点】平行四边形的性质.菁优网版权所有
    【分析】根据平行四边形的性质分别判断各选项即可.
    【解答】解:A、AC≠BD,故A选项错误;
    B、AC不垂直于BD,故B选项错误;
    C、AB=CD,利用平行四边形的对边相等,故C选项正确;
    D、AB≠BC,故D选项错误;
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了平行四边形的性质,正确把握其性质是解题关键.
     
    8.(3分)(2014•汕头)关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】根的判别式.菁优网版权所有
    【专题】判别式法.
    【分析】先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.
    【解答】解:根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,
    解得m<.
    故选:B.
    【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
     
    9.(3分)(2014•汕头)一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为(  )
    A.17 B.15 C.13 D.13或17
    【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.菁优网版权所有
    【专题】分类讨论.
    【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底,故需分:(1)当等腰三角形的腰为3;(2)当等腰三角形的腰为7;两种情况讨论,从而得到其周长.
    【解答】解:①当等腰三角形的腰为3,底为7时,3+3<7不能构成三角形;
    ②当等腰三角形的腰为7,底为3时,周长为3+7+7=17.
    故这个等腰三角形的周长是17.
    故选:A.
    【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,在解答此题时要注意进行分类讨论.
     
    10.(3分)(2014•汕头)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(  )

    A.函数有最小值 B.对称轴是直线x=
    C.当x<,y随x的增大而减小 D.当﹣1<x<2时,y>0
    【考点】二次函数的性质.菁优网版权所有
    【专题】压轴题;数形结合.
    【分析】根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;
    根据图形直接判断B;
    根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;
    根据图象,当﹣1<x<2时,抛物线落在x轴的下方,则y<0,从而判断D.
    【解答】解:A、由抛物线的开口向上,可知a>0,函数有最小值,正确,故A选项不符合题意;
    B、由图象可知,对称轴为x=,正确,故B选项不符合题意;
    C、因为a>0,所以,当x<时,y随x的增大而减小,正确,故C选项不符合题意;
    D、由图象可知,当﹣1<x<2时,y<0,错误,故D选项符合题意.
    故选:D.
    【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题.
     
    二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
    11.(4分)(2014•汕头)计算:2x3÷x= 2x2 .
    【考点】整式的除法.菁优网版权所有
    【专题】计算题.
    【分析】直接利用整式的除法运算法则求出即可.
    【解答】解:2x3÷x=2x2.
    故答案为:2x2.
    【点评】此题主要考查了整式的除法运算法则,正确掌握运算法则是解题关键.
     
    12.(4分)(2014•汕头)据报道,截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人.将618 000 000用科学记数法表示为 6.18×108 .
    【考点】科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
    【专题】常规题型.
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
    【解答】解:将618 000 000用科学记数法表示为:6.18×108.
    故答案为:6.18×108.
    【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
     
    13.(4分)(2014•汕头)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若BC=6,则DE= 3 .

    【考点】三角形中位线定理.菁优网版权所有
    【分析】由D、E分别是AB、AC的中点可知,DE是△ABC的中位线,利用三角形中位线定理可求出DE.
    【解答】解:∵D、E是AB、AC中点,
    ∴DE为△ABC的中位线,
    ∴ED=BC=3.
    故答案为:3.
    【点评】本题用到的知识点为:三角形的中位线等于三角形第三边的一半.
     
    14.(4分)(2014•汕头)如图,在⊙O中,已知半径为5,弦AB的长为8,那么圆心O到AB的距离为 3 .

    【考点】垂径定理;勾股定理.菁优网版权所有
    【分析】作OC⊥AB于C,连接OA,根据垂径定理得到AC=BC=AB=4,然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可.
    【解答】解:作OC⊥AB于C,连结OA,如图,
    ∵OC⊥AB,
    ∴AC=BC=AB=×8=4,
    在Rt△AOC中,OA=5,
    ∴OC===3,
    即圆心O到AB的距离为3.
    故答案为:3.

    【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.
     
    15.(4分)(2014•汕头)不等式组的解集是 1<x<4 .
    【考点】解一元一次不等式组.菁优网版权所有
    【专题】计算题.
    【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可.
    【解答】解:,
    由①得:x<4;
    由②得:x>1,
    则不等式组的解集为1<x<4.
    故答案为:1<x<4.
    【点评】此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
     
    16.(4分)(2014•汕头)如图,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′,若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分的面积等于 ﹣1 .

    【考点】旋转的性质;等腰直角三角形.菁优网版权所有
    【专题】压轴题.
    【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1,AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1,进而求出阴影部分的面积.
    【解答】解:∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,
    ∴BC=2,∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°,
    ∴AD⊥BC,B′C′⊥AB,
    ∴AD=BC=1,AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1,
    ∴图中阴影部分的面积等于:S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×(﹣1)2=﹣1.
    故答案为:﹣1.

    【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识,得出AD,AF,DC′的长是解题关键.
     
    三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
    17.(6分)(2014•汕头)计算:+|﹣4|+(﹣1)0﹣()﹣1.
    【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.菁优网版权所有
    【专题】计算题.
    【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
    【解答】解:原式=3+4+1﹣2
    =6.
    【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
     
    18.(6分)(2014•汕头)先化简,再求值:(+)•(x2﹣1),其中x=.
    【考点】分式的化简求值.菁优网版权所有
    【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可.
    【解答】解:原式=•(x2﹣1)
    =2x+2+x﹣1
    =3x+1,
    当x=时,原式=.
    【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
     
    19.(6分)(2014•汕头)如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.
    (1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
    (2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).

    【考点】作图—基本作图;平行线的判定.菁优网版权所有
    【专题】作图题.
    【分析】(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可;
    (2)根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC,根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC,再根据同位角相等两直线平行可得结论.
    【解答】解:(1)如图所示:

    (2)DE∥AC
    ∵DE平分∠BDC,
    ∴∠BDE=∠BDC,
    ∵∠ACD=∠A,∠ACD+∠A=∠BDC,
    ∴∠A=∠BDC,
    ∴∠A=∠BDE,
    ∴DE∥AC.

    【点评】此题主要考查了基本作图,以及平行线的判定,关键是正确画出图形,掌握同位角相等两直线平行.
     
    四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
    20.(7分)(2014•汕头)如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据:≈1.414,≈1.732)

    【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.菁优网版权所有
    【专题】几何图形问题.
    【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数,得到BC的长度,然后在直角△BDC中,利用三角函数即可求解.
    【解答】解:∵∠CBD=∠A+∠ACB,
    ∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°,
    ∴∠A=∠ACB,
    ∴BC=AB=10(米).
    在直角△BCD中,CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7(米).
    答:这棵树CD的高度为8.7米.
    【点评】本题考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
     
    21.(7分)(2014•汕头)某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元,在一次促销活动中,按标价的八折销售,仍可盈利9%.
    (1)求这款空调每台的进价(利润率==).
    (2)在这次促销活动中,商场销售了这款空调机100台,问盈利多少元?
    【考点】分式方程的应用.菁优网版权所有
    【专题】销售问题.
    【分析】(1)利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可;
    (2)用销售量乘以每台的销售利润即可.
    【解答】解:(1)设这款空调每台的进价为x元,根据题意得:
    =9%,
    解得:x=1200,
    经检验:x=1200是原方程的解.
    答:这款空调每台的进价为1200元;

    (2)商场销售这款空调机100台的盈利为:100×1200×9%=10800元.
    【点评】本题考查了分式方程的应用,解题的关键是了解利润率的求法.
     
    22.(7分)(2014•汕头)某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多,浪费严重,于是准备在校内倡导“光盘行动”,让同学们珍惜粮食,为了让同学们理解这次活动的重要性,校学生会在某天午餐后,随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.

    (1)这次被调查的同学共有 1000 名;
    (2)把条形统计图补充完整;
    (3)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算,该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?
    【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.菁优网版权所有
    【专题】图表型.
    【分析】(1)用没有剩的人数除以其所占的百分比即可;
    (2)用抽查的总人数减去其他三类的人数,再画出图形即可;
    (3)根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐,再根据全校的总人数是18000人,列式计算即可.
    【解答】解:(1)这次被调查的同学共有400÷40%=1000(名);
    故答案为:1000;
    (2)剩少量的人数是;1000﹣400﹣250﹣150=200,
    补图如下;

    (3)18000×=3600(人).
    答:该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐.
    【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
     
    五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
    23.(9分)(2014•广东)如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0,x<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.
    (1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?
    (2)求一次函数解析式及m的值;
    (3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.

    【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
    【专题】代数几何综合题.
    【分析】(1)根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解,观察图象,可得答案;
    (2)根据待定系数法,可得函数解析式;
    (3)根据三角形面积相等,可得答案.
    【解答】解:(1)由图象得一次函数图象在上的部分,﹣4<x<﹣1,
    当﹣4<x<﹣1时,一次函数大于反比例函数的值;

    (2)设一次函数的解析式为y=kx+b,
    y=kx+b的图象过点(﹣4,),(﹣1,2),则

    解得
    一次函数的解析式为y=x+,
    反比例函数y=图象过点(﹣1,2),
    m=﹣1×2=﹣2;

    (3)连接PC、PD,如图,
    设P(x,x+)
    由△PCA和△PDB面积相等得
    ××(x+4)=×|﹣1|×(2﹣x﹣),
    x=﹣,y=x+=,
    ∴P点坐标是(﹣,).

    【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了函数与不等式的关系,待定系数法求解析式.
     
    24.(9分)(2014•汕头)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.
    (1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)
    (2)求证:OD=OE;
    (3)求证:PF是⊙O的切线.

    【考点】切线的判定;弧长的计算.菁优网版权所有
    【专题】几何综合题;压轴题.
    【分析】(1)根据弧长计算公式l=进行计算即可;
    (2)证明△POE≌△ADO可得DO=EO;
    (3)连接AP,PC,证出PC为EF的中垂线,再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解.
    【解答】(1)解:∵AC=12,
    ∴CO=6,
    ∴==2π;
    答:劣弧PC的长为:2π.

    (2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB,
    ∠PEA=90°,∠ADO=90°
    在△ADO和△PEO中,

    ∴△POE≌△AOD(AAS),
    ∴OD=EO;

    (3)证明:
    法一:
    如图,连接AP,PC,
    ∵OA=OP,
    ∴∠OAP=∠OPA,
    由(2)得OD=EO,
    ∴∠ODE=∠OED,
    又∵∠AOP=∠EOD,
    ∴∠OPA=∠ODE,
    ∴AP∥DF,
    ∵AC是直径,
    ∴∠APC=90°,
    ∴∠PQE=90°
    ∴PC⊥EF,
    又∵DP∥BF,
    ∴∠ODE=∠EFC,
    ∵∠OED=∠CEF,
    ∴∠CEF=∠EFC,
    ∴CE=CF,
    ∴PC为EF的中垂线,
    ∴∠EPQ=∠QPF,
    ∵△CEP∽△CAP
    ∴∠EPQ=∠EAP,
    ∴∠QPF=∠EAP,
    ∴∠QPF=∠OPA,
    ∵∠OPA+∠OPC=90°,
    ∴∠QPF+∠OPC=90°,
    ∴OP⊥PF,
    ∴PF是⊙O的切线.
    法二:
    设⊙O的半径为r.
    ∵OD⊥AB,∠ABC=90°,
    ∴OD∥BF,∴△ODE≌△CFC
    又∵OD=OE,∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC
    ∴BF=BC+FC=r+BC
    ∵PD=r+OD=r+BC
    ∴PD=BF
    又∵PD∥BF,且∠DBF=90°,
    ∴四边形DBFP是矩形
    ∴∠OPF=90°
    OP⊥PF,
    ∴PF是⊙O的切线.


    【点评】本题主要考查了切线的判定,解题的关键是适当的作出辅助线,准确的找出角的关系.
     
    25.(9分)(2014•汕头)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).

    (1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;
    (2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
    (3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
    【考点】相似形综合题.菁优网版权所有
    【专题】几何综合题;压轴题;动点型.
    【分析】(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;
    (2)如答图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;
    (3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.
    【解答】(1)证明:当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如答图1所示.
    又∵EF⊥AD,
    ∴EF为AD的垂直平分线,
    ∴AE=DE,AF=DF.
    ∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
    ∴AD⊥BC,∠B=∠C.
    ∴EF∥BC,
    ∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
    ∴∠AEF=∠AFE,
    ∴AE=AF,
    ∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.

    (2)解:如答图2所示,由(1)知EF∥BC,
    ∴△AEF∽△ABC,
    ∴,即,解得:EF=10﹣t.
    S△PEF=EF•DH=(10﹣t)•2t=﹣t2+10t=﹣(t﹣2)2+10(0<t<),
    ∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10cm2,此时BP=3t=6cm.

    (3)解:存在.理由如下:
    ①若点E为直角顶点,如答图3①所示,
    此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.
    ∵PE∥AD,∴,即,此比例式不成立,故此种情形不存在;
    ②若点F为直角顶点,如答图3②所示,
    此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.
    ∵PF∥AD,∴,即,解得t=;

    ③若点P为直角顶点,如答图3③所示.
    过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.
    ∵EM∥AD,∴,即,解得BM=t,
    ∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t.
    在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+(t)2=t2.
    ∵FN∥AD,∴,即,解得CN=t,
    ∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t.
    在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10﹣t)2=t2﹣85t+100.
    在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,
    即:(10﹣t)2=(t2)+(t2﹣85t+100)
    化简得:t2﹣35t=0,
    解得:t=或t=0(舍去)
    ∴t=.
    综上所述,当t=秒或t=秒时,△PEF为直角三角形.
    【点评】本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.
     

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