河北省衡水中学2017届高三9月联考摸底（全国卷）文数试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，，则如图所示表示阴影部分表示的集合为（  ）

  A.              B.           C.               D.

2.已知向量，，且，则实数的值为（  ）[来源:Zxxk.Com]

  A.0                B.2               C.-2或1          D.-2            

【答案】B.

【解析】

试题分析：∵，∴，故选B.

考点：平面向量的数量积.

3.设复数满足（为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内（   ）

  A.第一象限         B.第二象限       C.第三象限       D.第四象限

【答案】A.

【解析】

试题分析：由题意得，，∴，∴故选A.[来源:]

考点：复数的计算及其性质.

4.已知4张卡片上分别写着数字1，2，3，4，甲、乙两人等可能地从这四张卡片中选择1张，则他们选择同一卡片的概率为（   ）

 A.1                B.             C.             D.

【答案】C.

【解析】

试题分析：根据古典概型可知，所求概率为，故选C.[来源:Z*xx*k.Com]

考点：古典概型.

5.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（  ）

  A.0个             B.至多一个       C.1个           D.2个

【答案】D.

6.在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是（  ）

  A.          B.          C.          D.

【答案】D.

【解析】

试题分析：如下图所示，取中点，连，，由题意得，，，

∴，，设，∴，而球心在底面的投影在的外心，即点处，故如下图所示，设，∴，

，∴，

∴，∴外接球的表面积，故选D.

考点：空间几何体的外接球.

【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.

7.已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（  ）

  A.                 B.                  C.10                  D.20

【答案】B.

8.若函数的部分图象如图所示，则关于描述中正确的是（  ）

 A.在上是减函数          B.在上是减函数

 C.在上是增函数          D.在上是增函数

【答案】C.

考点：三角函数的图象和性质.

9.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（   ）

  A.         B.          C.               D.

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

【答案】C.

【解析】

试题分析：分析程序框图可知，程序中，∴，再执行一次，此时需跳出循环，故，故选C.

考点：程序框图.

10.函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（  ）

 A.          B.         C.         D.

【答案】D.

【解析】

考点：导数的运用.

【思路点睛】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤．分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：①分类标准统一，层次分明；②不重不漏．

11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

  A.                B.35             C.                D.

【答案】C.

考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.

【名师点睛】1.计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解；2.注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.

12.已知函数，则关于的方程，当的实根个数为（  ）

A.5                    B.6               C.7                D.8

【答案】B.

【解析】

试题分析：如下图所示，作出函数的函数图象，从而可知，当时，函数有三个零点：

，，而，故可知，方程有6个零点，故选B.

考点：函数与方程.

【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为_______.

【答案】.

14.曲线在处的切线方程为_________.

【答案】.

【解析】

试题分析：由题意得，，∴，而时，，

∴切线方程为，即，故填：.

考点：导数的运用.

15.某大型家电商场为了使每月销售A和B两种产品获得的总利润达到最大，对于某月即将出售的A和B进行了相关调查，得出下表：

如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为______元.

【答案】.

考点：线性规划.

【思路点睛】如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，而对于解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.

16.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为_______.

【答案】194.

【思路点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或等.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知顶点在单位圆上的中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将已知条件中的式子变形，利用余弦定理的变式即可求解；（2）利用余弦定理和正弦定理联立方程组即可求解.

考点：正余弦定理解三角形.

18.（本小题满分12分）

 如图，三棱柱中，，，.

 （1）证明：；

（2）若，，求三棱柱的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意证明平面，即可得证；（2）证明平面，求得底面积与高的值即可求解.

试题解析：（1）如图，取的中点，连结，，，∵，∴，[来源:Zxxk.Com]

由于，，故为等边三角形，∴，

∵，∴平面， 又∵平面，故；

考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间几何体的体积求解.

19. （本小题满分12分）

   某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量和中位数；

（2）将表示为的函数；

（3）根据直方图估计利润不少于4800元的概率

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据频率直方图的数据结合中位数的定义即可求解；（2）根据的取值范围分类讨论即可求解；（3）首先求得的取值范围，再结合频率直方图即可求解.

考点：1.频率直方图；2.分类讨论的数学思想；（3）概率求解.

20. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，两点，设，

.（1）求证：为定值

（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理即可求解；（2）假设存在符合题意的直线，设出直线方程，利用圆的性质求解是否符合题意即可.

试题解析：（1）当直线垂直于轴时，，，因此(定值)，

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由得，

∴，因此有为定值；（2）设存在直线：满足条件，则的中点，，因此以为直径的圆的半径，

点到直线的距离，

∴所截弦长为，

当即时，弦长为定值2，这时直线方程为.

【思路点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.圆锥曲线的定值问题.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当，时，求函数在上的最大值和最小值；

（2）设，且对任意的，，试比较与的大小.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

∴函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，

故函数在上的最大值是，

令，则，令，得，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

∵，故，即，即.

考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．

【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．

 请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

 如图、、、四点在同一个圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．

 （1）若，，求的值；

 （2）若，证明：．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

考点：1.圆的性质；2.相似三角形的判定与性质.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

   已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线

的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．

  （1）写出C的直角坐标方程和直线的普通方程；

  （2）设直线与曲线C相交于，两点，求值．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用，，即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线方程与圆方程联立，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.

考点：1.极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系．

24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲

已知函数,.

（1）解不等式；

（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）利用绝对值的性质，去绝对值号后即可求解；（2）分析题意，问题等价于的值域是值域的子集，利用绝对值的性质即可求解.

试题解析：（1）由得，∴ ，解得，

∴原不等式的解集；（2）∵对任意，都有，使得成立，

∴，而，

，∴，从而或.

考点：1.绝对值不等式；2.转化的数学思想．