安徽省滁州市定远中学2023届高三下学期毕业生调研考试（二）数学试卷（含解析）

安徽省滁州市定远中学2023届高三下学期毕业生调研考试（二）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合则（    ）

A． B．

C． D．

2．若复数满足，则的虚部为 （    ）

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（    ）

A． B． C． D．

4．正六边形ABCDEF中，用和表示，则（    ）

A． B． C． D．

5．数列{a}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b}是首项为2，公差为4的等差数列．若a＝b，则n的值为

A．4 B．5 C．6 D．7

6．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

7．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ）

A．是有理数 B．是无理数

C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数

8．已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（    ）

A． B．

C．2 D．

二、多选题

9．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则（    ）

A．年我国新能源汽车年产量逐年增加

B．年我国新能源汽车年产量的极差为万辆

C．年我国汽车年总产量超过万辆

D．年我国汽车年总产量不低于年我国汽车年总产量

10．椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（    ）

A． B． C． D．

11．函数的大致图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

12．三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有（    ）

A．三棱锥体积的最小值为

B．三棱锥体积的最大值为

C．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角

D．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角

三、填空题

13．已知，则__________.

14．如图，实心铁制几何体由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知，，，，且，底面.某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗，则铸得的铁球的半径为______.

四、双空题

15．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为__________，若直线的倾斜角为，则其斜率为__________．

五、填空题

16．若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是________．

六、解答题

17．记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

18．设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．

(1)求角A；

(2)若BC边上的高，求．

19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形．，点D为棱AC上动点(不与A，C重合)，平面B1BD与棱A1C1交于点E．

(1)求证：；

(2)若，平面ABC⊥平面，，求直线BC与平面B1BDE所成角的正弦值．

20．中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．

(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；

(2)若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．

21．已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线．

(1)求的方程；

(2)若过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知函数.

（1）当时，证明：函数只有一个零点；

（2）当时，，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

2．D

【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解.

【详解】由，

得，

所以，即的虚部为

故选：D．

3．A

【分析】由题设易知，利用诱导公式、倍角余弦公式有，即可求值.

【详解】由题设，

由.

故选：A

4．B

【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，即可求解.

【详解】设边长为2，如图，设交于点，有，，

则

，

故选：B

5．B

【详解】由已知可得 故选B.

6．C

【分析】根据点在抛物线上可得，利用抛物线定义可得，即可求得p的值，即可求得答案,

【详解】由题意可知，，所以

又知抛物线的准线方程为，

根据抛物线的定义可知，，整理得，解得，

所以的焦点坐标为，

故选：C．

7．C

【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.

【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；

这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；

这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.

故选：C

8．D

【分析】对于下凸曲线与上凸曲线上，分别存在动点、，要使最小：两曲线上分别过、的两条切线平行且、连线与切线垂直即可

【详解】（1）曲线：，求导得，易知在点处切线方程为.

下面证明恒成立：

构造函数，求导得，则时，，单调递减；时，，单调递增.

故函数，即恒成立，有为下凸曲线

（2）曲线：，求导得，当时，，且过点

故在点处的切线方程为.

下面证明在上恒成立：

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，即，

则，即在上恒成立，有为上凸曲线

（3）由在处切线与在B处的切线，知：它们相互平行

又直线AB的斜率k = -1，即可知：直线AB与两条切线同时垂直

∴综上，知：最小时，A即为P点，B即为Q点，故

∴

故选：D

【点睛】本题考查了探讨两曲线上两动点的距离最小情况，两条分别为上凸和下凸的曲线，其上各自两点距离最小的情况：两点处两条曲线的切线平行，且两点连线与其切线垂直

9．BC

【分析】根据我国新能源汽车年产量图可判断AB选项；计算出、、这三年我国汽车年总产量，可判断CD选项.

【详解】对于A选项，由图可知，从年到年，我国新能源汽车年产量在下降，故A错；

对于B选项，年我国新能源汽车年产量的极差为万辆，故B对；

对于C选项，年我国汽车年总产量约为万辆，故C对；

对于D选项，年我国汽车年总产量为万辆，

年我国汽车年总产量为万辆，

所以年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量，故D错.

故选：BC

10．BCD

【分析】首先求圆与坐标轴的交点坐标，再分情况，求椭圆的离心率的取值.

【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为，

而椭圆的焦点在轴，

当焦点是，右顶点，此时，离心率，

当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率，

当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率

故选：BCD

11．ABD

【分析】对的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.

【详解】当时，，令，易知，其在上为减函数，上为增函数，所以在上为增函数，在上为减函数，故D正确；

当时，，，令，当且时，，当且时，，所以，故A正确；

当时，，，令，当且时，，当且时，，所以，故B正确；

综上，的图象不可能为C.

故选：ABD.

12．ACD

【分析】作平面，由题意得到，建立直角坐标系，设，，求得点的轨迹方程为，结合圆的性质求得，利用体积公式，可判定A正确，B错误；再化简得到结合点与圆的位置关系，得到H在外部，可判定C、D正确．

【详解】如图（1）所示，作平面，连接，

因为直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，

所以，即

所以，即，

以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系，

设，，，

则，整理得，

可得圆心，半径，

设点圆与轴的交点分别为，可得，

因为，所以

又由且， 所以，

则，，所以A正确，B错误；

因为，可设，

设与平面所成角为，且，

可得，且，

又由

，

令，根据斜率的结合意义，可得表示圆与定点连线的斜率，

又由与圆相切时，

可得，解得或，即，

当时，此时取得最小值，即最小时，此时H在外部，

如图（3）所示，此时二面角的平面角为锐角，的平面角为钝角，所以C、D正确．

故选：ACD．

13．132

【分析】利用换元思想，简化等式，再按照二项式定理展开，可得的系数即是的值.

【详解】令，则，

则可转化为：

，

即，

所以，

所以，

故答案为：132.

14．

【分析】几何体由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，求出体积，利用等体积转换法求出球的半径.

【详解】设铸得的铁球的半径为，

依题意，可得该几何体的体积为，

则，

解得.

故答案为：

【点睛】本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识.

求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.

15．         

【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求得B的坐标，继而求出OB的斜率.

【详解】设点为角终边上一点，如图所示，．

由三角函数的定义可知： ， ，

则，则直线的倾斜角为，

将点绕原点逆时针旋转到点，

得直线的倾斜角为，

且点在角的终边上，由三角函数定义可得点的坐标为，

即，且，则．

故答案为：．

16．

【分析】设,把不等式对一切x∈R恒成立转化为不等式f(x)≤f(0)对一切x∈R恒成立,则f(x)max=f(0)=1,即x=0为函数f(x)的最大值点，即x=0为的一个零点,得到b=-1；分类讨论研究f(x)的单调性，讨论出a的范围，即可求出的取值范围.

【详解】设,则f(0)=1,不等式对一切x∈R恒成立等价于不等式f(x)≤f(0)对一切x∈R恒成立,则f(x)max=f(0)=1,即x=0为函数f(x)的最大值点.

.

显然x=0为的一个零点,所以b+1=0,所以b=-1,所以.

（1）当a=0时,.当x>0时, <0,函数f(x)单调递减；当x<0时, >0,函数f(x)单调递增,所以f(x)max=f(0),满足题意.

（2）当a≠0时,.

①若a<0时，则，当或时，<0,函数f(x)单调递减；当时，>0,函数f(x)单调递增.又当时，，所以x=0为函数f(x)的最大值点，符合题意；

②若a>0时，则当时，，不符合题意；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

17．(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

（2）[方法一]：二次函数的性质

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时，．

[方法二]：【最优解】邻项变号法

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，即有.

则当或时，．

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得.

（2）利用三角形面积公式和正弦定理可得.

【详解】（1）（1）由题意得：，

则，

有，即，因为所以．

（2）（2）由，则，所以，

有，则，

又，则．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先证明平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行；

（2）取的中点，首先证明互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求解.

【详解】（1），

且平面，平面，

平面，

又平面，且平面平面，

；

（2）连接，取中点，连接，，

在菱形中，，是等边三角形，

又为中点，，

平面平面，平面平面，

平面，且，

平面，平面，

，

又，，

以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，，

故，又，

设与平面所成角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，根据对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等可得答案；

（2）分①出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数；②出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数；③出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，由对称性可得答案．

【详解】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，

，

由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故；

（2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形，

①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；

②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为；

③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知，

故，而由，

可得．

21．(1)

(2)存在定点，使为定值，理由见详解.

【分析】（1）由，再由渐近线的方程得的值，求得，即可得双曲线方程；

（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入双曲线方程，设点，得，再设，计算，由其为常数求得，同时验证当直线斜率为0时，此值也使得为刚才的常数，即得结论．

【详解】（1）由题意得，即.

因为的渐近线方程为.

所以，

所以，

故的方程为：.

（2）当直线不与轴重合时，

设直线的方程为，

代入，得，

即．

设点，

则．

设点，

则

，

若为定值，

令

解得，

此时．

当直线l与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．

对于点，

所以存在定点，使为定值．

【点睛】思路点睛：

求双曲线方程，圆锥曲线中的的定值问题，解题方法是设交点坐标为，设直线方程并代入圆锥曲线方程整理后应用韦达定理得（或），代入题设要得定值的式子，利用定值得出参数值．并验证特殊情况下也成立．

22．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）求出函数的导数的导数，根据单调性即可判断；

（2）不等式等价于在上恒成立，构造函数，利用的导数讨论的取值范围即可确定.

【详解】（1）证明：∵当时，，其定义域为，，

令，.

由，解得；由，可得.

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，即，∴在上单调递减，

又∵，∴有唯一的零点；

（2）∵当时，恒成立，

即在上恒成立，

设，，则．

考虑的分子：令，开口向下，对称轴为，

在上递减，.

①当，即时，，所以，，

∴在上单调递减，∴成立；

②当时，．设的两个实数根为、，

∵，∴，．

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴，不合题意．

综上所述，．

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.