北京市海淀区2022-2023学年高三下学期查缺补漏数学参考答案

2023届高三数学查漏补缺题

参考答案

16.       17. 34        18. 60°

19. －8        20. ；      21.  

22. ①（或）; ②  23. ，取内部任意值均可   24. 36

25. ，      26. ①； ②  27. ②④

28．解：（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，，则；

（2）选择条件①：因为直线为函数的图象的一条对称轴，

所以，，即，

，，则，，，

当时，，

所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即；

选择条件②：因为是函数图象的一个对称中心，

则，解得，

，，则，，，

当时，，

所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即.

29．解：（1）由题设，

而，

所以，故；

（2）若①②正确，则，得或，

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，

若②③正确，则，可得，即②为错误条件，

综上，正确条件为①③，

（i）由，则，即，

又，可得，

所以，可得，则，

故；

（ii）因为且，得，

由平分得，

在中，，

在中，由，得．

30.  解：（1）；

（2）

（3）由（1）知，

因为,所以，

令，

所以的值域为

31. 【解析】（Ⅰ）因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD，

又因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，

所以AB⊥平面A1ADD1.

因为A1D平面A1ADD1，所以AB⊥A1D.

（Ⅱ）（i）如图建立空间直角坐标系O－xyz，

则，，，，，

所以，，

设直线与直线所成角为，则

（ii），，

设平面A1DC1的法向量为n＝（x，y，z），则

令z＝1，则y＝，x＝，

于是n＝（，，1）.

所以点到平面的距离

（iii）

设是线段上一点，设（）.

则

因为，

所以直线与平面相交。

32．【解】（1）由已知，

所以为二面角的平面角，

又二面角为直二面角，所以，

以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以

设平面EDF的法向量为，则，即，

取，则，

所以为平面的一个法向量，

又为平面的一个法向量，

，

∴二面角E－DF－C的余弦值为．

（2）设，则，

因为，

所以，

∴，

又，，

∵，

∴，

∴，

把代入上式得，

∴，

∴，

∴在线段BC上存在点，使AP⊥DE．

33．解：(1)由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为，

第组的居民户数为，

从第组、第组中任取户居民，他们月均用电量都不低于的概率为.

(2)前个矩形的面积之和为，

前个矩形的面积之和为，设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则，则，解得，因此，估计月均用电量的样本数据的第百分位数为.

(3)前个矩形的面积之和为，

设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则，

则，解得，

故应定为较为合适.

34．解：（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3．

．

所以X的分布列为：

所以．

（2）由题可知，参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为C、G，

参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为D、I，

参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为A、B、E、H，

参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为F、J，

设事件A为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40人”．

事件B为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30人”．

则．

若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人为同一个学校，则有种情况，

若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人非同一个学校，则有种情况，，

所以．

（3）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：．

所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足，由，得．

所以理论上至少要进行12轮测试．

35.   解:  可得, 因此.

设.  联立方程可得: ,

解得 代入得, 于是.

的方程为, 代入, 得: .

再代入得: , 即.

    所以, ,

而, 总之三点共线.

36. 解： （Ⅰ） 所以；

  （Ⅱ）. 联立

       消元得，，.

       设，，

       可得，，，

       ，直线的方程为：,

      令，可得 , .

      ，直线的方程为：,

      令，可得 , .

      取定点, 则:

,

同理, ,

      因此以为直径的圆恒过定点.

37. 解：（Ⅰ）因为=[]，

所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）

=［ax2–（2a+1）x+2］ex．

f ′(1)=(1–a)e．

由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．

此时f (1)=3e≠0．

所以a的值为1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．

1）   当时，令，，

所以的变化情况如下表：

2）当，令，或

①当时，，所以的变化情况如下表：

②当时，

（i）当即时，

（ii）当即时，恒成立，所以在上单调递增；

（iii）当即时，

综上，

当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和；

当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；

当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.

38. 解：（Ⅰ）函数的定义域是，

导函数为．                                

所以， 又，

所以曲线在点处的切线方程为．          

（Ⅱ）由已知．                                 

所以只需证明方程 在区间有唯一解．

即方程 在区间有唯一解．                                                          

设函数 ，                                                  

         则 ．

当 时，，故在区间单调递增．          

又 ，，

所以 存在唯一的，使得．                    

综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．  

（Ⅲ）．证明如下：                                 

首先证明：当时，．

设 ，                       

则 ．

当 时，，，

所以 ，故在单调递增，                       

所以 时，有，

即当 时，有．

所以 ．                               

39. 解：（Ⅰ）因为，由题意，，即：，则．

（Ⅱ）由（1）可得，，

令，得或；令，得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

且，

若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，

即或.

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，所有零点的绝对值都不大于1.

40．【详解】（1）因为，，所以

（2），

因为，所以，

所以

当d=0时，取得最大值1

（3）任给满足性质P的数表A（如图所示）

任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质P，并且，因此，不妨设，，

由得定义知，，，，

从而

所以，，由（2）知，存在满足性质P的数表A使，故的最大值为1

41．【详解】（1）解：由得或，

所以或，

因为足，，

所以或，

所以，当时，或；

当时，或

因为数列是由正实数组成的无穷数列，

所以舍，

所以，数列前4项的所有可能取法有，，，或，，，或，，，.

（2）解：不存在，下面证明：

因为，

所以，或，

当时，

因为数列是由正实数组成的无穷数列，

所以，即

或，

所以；

当时，

因为数列是由正实数组成的无穷数列，

所以，即

所以或（舍），

综上，，

所以，，.

综上，不存在正整数，满足.

（3）解：由，

所以，①或②，

对于任意的，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推；

若，显然，下次只能用①递推，即

所以，②不能连续使用.

记且，

若，则；

若，则，所以，

所以且，

所以，中至少有共51项，即.

举例如下：

所以，此时，

所以，的最小值为51.

42．【详解】（Ⅰ）是“完美集合”，此时，，，，

满足，.

不是“完美集合”，

若为“完美集合”，将分成3个集合，每个集合中有两个元素，则，.

中所有元素之和为21 ， 不符合要求.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

若，，根据 “完美集合”的定义，

则，.

若，，根据 “完美集合”的定义，

则，.

若，，根据 “完美集合”的定义，

则，.

综上：正整数的值为，9，7，11中任一个.

（Ⅲ）设集合中所有元素的和为，

而，

因为，

所以，，

，

等号右边为正整数，

则等式左边可以被4整除，

所以或 ，

即或 ．