重庆市第十一中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

重庆十一中2022-2023学年下期高二期中考试

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．

1．计算+的值是(   )

A.252 B.70  C.56  D.21

2.已知奇函数f(x)满足f '(−1)=1，则=(   )

A.−12 B.12  C.1  D.−1

3．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是（    ）

q

A．是函数的极小值点

B．当或时，函数的值为0

C．函数在上是增函数

D．函数在上是增函数

4．若，则(    )

A．27 B．－27 C．54 D．－54

5.已知直线l1:ax+y+1=0过定点P，则点P到直线l2:y=k(x+1)距离的最大值是(   )

A.1 B.2 C. D.

6．已知函数，则正确的是（    ）．

A．的极大值2 B．有三个零点

C．点（0,2）是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

7．我国数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为了纪念祖冲之的成就，把3.1415926称为“祖率”，刘老师为了帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1、4、1、5、9、2、6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到大于3.14的不同数字的个数为(   )

A．720 B．1440 C．2280 D．4080

8．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，满足f（1）＝2，且，则不等式f（x）﹣e3﹣3x＞1的解集为（　　）

A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（2，+∞）

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列求导运算正确的是(   )

A.(tan2x)'=2tan2x

B.(log2x)'=

C.(5x)'=5xlog5x

D.(x2cosx)'=2xcosx−x2sinx

10.我校111周年校庆将于2023年5.20进行，为了宣传需要，现在对我校3男3女共6名学生排队照相，则下列说法正确的是()

A.6名学生排成两排，女生在第一排，男生在第二排，一共有720种不同的排法

B.6名学生排成一排，男生甲只能排在队伍的两端的共有120种排法

C.6名学生排成一排，男生甲、乙相邻的排法总数为240种

D.6名学生排成一排，男女生相间的排法总数为72种

11．2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线。定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是a=1时的双纽线上一点，下列说法正确的是(   )伯努利双纽线最早于年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（    ）

A．双纽线是中心对称图形

B．

C．双纽线上满足的点有2个

D．的最大值为

12．已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（    ）

A． B． C． D．x1，x2，x3构成等比数列

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的系数是（    ）

14．已知一个底面半径为的圆锥，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的体积为_____．

15.已知函数，对于任意不同的x1,x2∈(0,+∞)，都有，则实数a的取值范围是________

16．杨辉是我国南宋伟大的数学家，“杨辉三角”是他的伟大成就之一。如果将杨辉三角从第一行开始的每一个数都换成，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到很多定理，甚至影响到微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第2023

行中最小的数是____________________(结果用组合数表示)

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17.已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列。

(1)求n的值；

(2)求展开式中x的系数．

11．设()，曲线在点处的切线与轴相交于点．

（1）求的值；

（2）函数在(0, 4]上的最大值

12．已知函数，.

（1）若是函数的极值点，求的值；

（2）若函数在上仅有个零点，求的取值范围.

20．吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个学探究题，如图：E,F,G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到一个“刍甍”。

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；

(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

21．已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

22.已知函数．

(1)讨论函数的导数的单调性；

(2)若为的极值点，证明：.

参考答案

17.(1)n=14或23    (2)x的系数为1012

18.（1）；（2）

19.（1）；（2）.(1,]

20.（1）取线段中点，连接，

由图1可知，四边形是矩形，且，

是线段与的中点，

且，

在图1中且，且．

所以在图2中，且，

且

四边形是平行四边形，则

由于平面，平面

平面

（2）由图1，，折起后在图2中仍有，

即为二面角的平面角．

，

以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，

且设，

则，

，

，

设平面的一个法向量，

由，得，取则

于是平面的一个法向量，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为

21.（1）为等边三角形，，，；

的周长为，，

解得：，，，

椭圆的方程为：.

（2）假设在轴上存在定点，使得为定值；

由（1）知：，直线斜率不为零，

可设，，，

由得：，则，

，，

；

为定值，，解得：，此时定值为；

存在定点，使得为定值.

22.