精品解析：甘肃省定西市2023届高三下学期高考模拟考试理科数学试题（解析版）

2023年定西市普通高考模拟考试

理科数学

考生注意：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：高考范围．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性可化简，根据集合的交兵补运算即可求解.

【详解】由，所以，，或，所以，

故选：B

2. 若复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的概念求解.

【详解】由得，所以

故选：A

3. 某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（    ）

A. 参加社团的同学的总人数为600

B. 参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%

C. 参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人

D. 从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，根据参加合唱社团的同学有75名求出参加社团总人数；B选项，先计算出参加脱口秀社团的人数占比，进而得到舞蹈社团的人数占比；C选项，计算出参加两个社团的人数，作差求出答案；D选项，利用，求出答案.

【详解】A选项，，故参加社团的同学的总人数为500，A错误；

B选项，参加脱口秀社团的有125名，故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，

所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的，B错误；

C选项，参加朗诵社团的人数为，参加太极拳社团的人数为，故参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多人，C错误；

D选项，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，D正确.

故选：D

4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的定义可得，进而由二倍角公式即可求解.

【详解】由题意可知 ，所以，

故选：C

5. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则侧（左）视图中的（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图可得，该图形为三棱锥，再根据棱锥的体积公式即可得解.

【详解】由三视图可得，该图形为三棱锥，如图所示，

其中三棱锥得高为，底面积为，

所以该几何体得体积为，解得.

故选：B.

6. 已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意推得，得到函数是周期为的周期函数，结合题设条件和函数的周期性，得到，代入即可求解.

【详解】因为函数满足，可得，

又因为函数为奇函数，所以，

所以，即，

所以函数是周期为的周期函数，

因为当时，，且函数为奇函数，

可得.

故选：D.

7. 新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车耗电量（单位：）情况，随机调查得到了1500个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若样本中耗电量不小于的汽车大约有600辆，则（    ）

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6

【答案】A

【解析】

【分析】由正态分布知识得到对应车辆数，即可得答案.

【详解】由题可得时，对应车辆数为，又时，对应车辆数为，则时，对应车辆数为900，

则时，对应车辆数为，又对应车辆数等于对应车辆数，则时，对应车辆数为.则.

故选：A

8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ）

A 7 B. 8 C. 9 D. 11

【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值.

【详解】 

设椭圆的半焦距为，则，，

如图，连接，则，

而，当且仅当共线且在中间时等号成立，

故的最大值为.

故选：A.

9. 若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（    ）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值.

【详解】在中，因为，所以，又a＝6，所以，

可得，且，

故的面积，

当且仅当，即时取等号，

故面积的最大值为12.

故选：B

10. 将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公式求出，，得到最小正值.

【详解】，

故图象向右平移个单位长度得到，

又，

令，，解得，，

当时，取得最小正值，最小正值为.

故选：A

11. 已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得，则直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程.

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，

所以，则双曲线方程为，，，

所以直线为，设，

由，得，

则，

所以，

因为，，

所以，

因为的周长为36，所以，

所以，得，所以双曲线方程为，

故选：D

12. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化简，得到，，构造函数和，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.

【详解】由题意得，

可得，

设，可得，所以单调递减，

则，即，所以；

又由，

设函数，可得，

当时，，单调递增，

所以，即，所以，

所以.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数的图象在处的切线与直线x＋ay－1＝0垂直，则实数a＝______．

【答案】1

【解析】

【分析】求导，得切线的斜率，根据两直线垂直满足斜率相乘为-1即可求解.

【详解】由得，所以，由于在处的切线与直线x＋ay－1＝0垂直，

所以，

故答案为：1

14. 若的展开式中x的系数与的系数相等，则实数a＝______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，写出二项式展开式的通项公式，由条件列出方程，即可得到结果.

【详解】因为的展开式的通项公式为，

且x的系数与的系数相等，则，即，所以，

且，所以.

故答案为：.

15. 已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.

【详解】设，

因为向量，且与的夹角为钝角，

所以，所以，

不妨令，则，故，

故答案为：（答案不唯一）.

16. 如图，四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝3，AD＝PA＝4，E是棱BC上一点，则当截面PDE的周长最短时，PE与AB所成角的余弦值等于______．

【答案】

【解析】

【分析】矩形沿旋转到与在同一平面，的最小值为，可得，过作交于，连接，，为异面直线与所成的角，求解即可．

【详解】四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，

平面，平面, ，平面，平面，故平面，

，将矩形沿旋转到与在同一平面，如图1，连接,此时 交于点 的最小值为，,,故的最小值为，此时，，

 图1                       图2

过作交于，连接，，

由题意可得，故为异面直线与所成的角，

又，，平面，平面，故，，

又可得，，，

．

故答案为：

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，结合，利用等比数列的求和公式，即可求解；

（2）由（1）得到，结合等差、等比数的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可求解.

【小问1详解】

解：因为数列满足且，

当时，可得

，

当时，适合上式，所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

解：由（1）知，可得，

所以

，

设，

则，

两式相减得，

所以，

又由，

所以

18. 2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩．某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取200人进行调查，数据如下表所示（单位：人）：

（1）判断是否有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关？

（2）若将频率视为概率，从所有给出“差评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列和数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】（1）有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关   

（2）分布列见解析，期望为1

【解析】

【分析】（1）根据卡方的计算公式计算，即可与临界值比较求解，

（2）根据二项分布的概率公式计算概率，即可求解.

【小问1详解】

由二联表可得 , 所以有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关

【小问2详解】

所有给出“差评”的观众中随机抽取一名男观众的概率为，随机抽取一名女观众的概率为，X表示被抽到的男性观众的人数，则

， ，

所以X的分布列为

数学期望为 ．

19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．

（1）求证：平面平面PCD；

（2）求二面角P－EF－O的正弦值．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）根据中位线可得线线平行，进而得线面平行，即可求证面面平行，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

由于点E，F分别是棱PA，PB的中点，所以, ,平面平面PCD,故平面PCD,

又是的中点，所以, , 平面平面PCD,,故平面PCD,

由于平面 ,所以平面平面PCD.

【小问2详解】

由于底面ABCD，底面为菱形，所以 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则

所以,

设平面和平面的法向量分别为，

所以取，

同理取，

设二面角P－EF－O的平面角为 ，则

，所以，

20. 已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据点M到点的距离等于它到直线l：的距离，结合抛物线的定义得出抛物线E的标准方程；

（2）设，由结合抛物线方程得出是方程的两根，设直线AB的方程为，并与抛物线方程联立结合韦达定理得出点P坐标.

【小问1详解】

因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小，

所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离，

则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，

则曲线E的方程为.

【小问2详解】

设，

由得：，且，得，

即，所以，

代入抛物线方程，得，

整理得，同理可得

故是方程两根，，

由韦达定理可得①，

由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为，

与抛物线方程联立可得，

易得，由韦达定理可得②，

由①②可得，

故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.

21. 已知函数．

（1）若a＝1，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且，求证：．

【答案】（1）在上单调递增；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由题可得，后结合定义域可得单调区间；

（2）结合函数有两个极值点，可得，.则要证，等价于证明，后构造相应函数可证明结论.

【小问1详解】

由题，，则.

因，则.则在上单调递增；

【小问2详解】

.

当时，，在上单调递增，不合题意；

当时，令.

当时，，则只有一个极值点，与题意不合；

当时，.

则.

则.

.注意到，则

要证，即证.

构造函数，.

则，即在上单调递增.

则，即.

【点睛】关键点睛：对于双变量问题，常利用题目中的等量关系将双变量转变为单变量问题，而证明函数不等式，常构造相应函数利用单调性解决问题.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

 [选修4－4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化参数方程为直角坐标方程，然后将代入整理即可.

（2）联立直线和（1）中的极坐标方程，结合韦达定理求解.

【小问1详解】

由可得，

将代入可得，，

整理可得，即为曲线的极坐标方程.

【小问2详解】

和联立可得，，

设对应得极径分别为，根据韦达定理，，

于是

 [选修4－5：不等式选讲]

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为t，且实数a，b，c满足a(b+c)=t，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明过程见详解

【解析】

【分析】（1）分类讨论不等式即可求解；（2）根据基本不等式即可求解.

【小问1详解】

①当时，，

，

所以，

解得；

②时，，

无解；

③时，，

，

所以，

解得；

综上所述，不等式的解集为

【小问2详解】

，

所以，

所，

，

当且仅当时，即时，即，即或时等号成立.

故.