辽宁省沈阳市五校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年度（下）

沈阳市五校协作体期中考试高一年级

数学试卷

考试时间：120分钟  分数：150分

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数诱导公式和同角三角函数基本关系即可求得的值.

【详解】

又，则，则

故选：D

2. 圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先求弧长，再根据圆心角公式，即可求解.

【详解】

设圆的半径为r，由于圆内接正六边形每条边长对应的圆心角为，

则圆内接正六边形的边长为r，所以这条弧长所对的圆心角为.

故选：A

3. 已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：

考点：同角间三角函数关系

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】，

所以，

故选：B

5. 在中，若O为外接圆的圆心，则的值为（    ）

A. -16 B. -8 C. 8 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合圆的性质计算作答.

【详解】取AB，AC的中点D，E，连接，如图，

当圆心O与点E不重合时，则OD⊥AB，OE⊥AC，，

则＝

，

当圆心O与点E重合时，，，

所以.

故选：D.

6. 已知，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可得，然后利用两角和与差的正弦公式展开化简可得，由可得，代入化简得，由题意可知，所以，再结合的范围可求得结果

【详解】由题意可知，，可化为，

展开得，则，

因为，，且，

所以，

则，且，

所以，

当时不满足题意，所，

因为，，

所以，则，

故选：A.

7. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小正周期是

B. 值域是

C. 直线是函数图像的一条对称轴

D. 的递减区间是，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的解析式，得到其最小正周期，值域，对称轴和递减区间，然后对四个选项分别进行判断，得到答案.

【详解】函数

所以函数的最小正周期，所以选项A错误；

由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；

当时，，，

不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.

令，，

可得，，

的递减区间是，，所以选项D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称性和单调区间，属于简单题.

8. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）

A.

B. 若，扇形的半径，则

C. 若扇面为“美观扇面”，则

D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为

【答案】D

【解析】

【分析】求得判断选项A；求得满足条件的的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D.

【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，

选项A：.故A正确；

选项B：由，可得 ，解得，又扇形的半径，

则.故B正确；

选项C：若扇面为“美观扇面”，则，

解得.故C正确；

选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，

则此时的扇形面积为.故D错误.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列各式的值等于的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用二倍角正弦公式分析A；利用二倍角的余弦公式的变形式分析BC；利用二倍角的正切公式分析D.

【详解】因为，故A的值等于；

因为，故B的值不等于；

因为，故C的值等于；

因为，故D的值不等于，

故选：AC.

10. 已知，则下列命题正确的有（    ）

A. 若，则 B. 的最大值为2

C. 存在，使 D. 的最大值为3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB，当同向时，则有，将转化为三角函数的最值问题即可求解.

【详解】依题意，

对于A：，

即，

所以，故A错误；

对于B：由A知，

所以当时，

有最大值2，故B正确；

对于C：当时，，

，

所以，

，

所以，故C正确；

对于D：，

所以

，

当，

即时，

取得最大值9，所以的最大值为3，故D正确.

故选：BCD.

11. 已知函数 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A. 的图像关于点 对称

B. 的图像关于直线 对称

C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像

D. 若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据图中的信息求出，再根据正弦函数的性质逐项分析.

【详解】由图可知：，的周期，

当时，，，

；

对于A，，错误；

对于B，，正确；

对于C，将向右平移：

，正确；

对于D，的大致图像如下：

欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；

故选：BCD.

12. 平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（    ）

A. 与的夹角为 B. 为定值

C. 的最小值为 D. 在上的投影向量为

【答案】AD

【解析】

【分析】由题意可得：与的夹角，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.

【详解】设平面向量与的夹角为，

因为对任意的实数t，恒成立，

即恒成立，又，

也即对任意的实数恒成立，

所以，则，所以，

故选项正确；

对于，因为随的变化而变化，故选项错误；

对于，因为，由二次函数的性质可知：当时，取最小值，故选项错误；

对于，向量上的一个单位向量，由向量夹角公式可得：，

由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为，故选项正确，

故选：.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据与的夹角为钝角，由，且与的不共线求解.

【详解】解：由，得．

又与的夹角为钝角，

∴，得，

若，则，即．

当时，与共线且反向，不合题意．

综上，k的取值范围为，

故答案：．

14. 若时，函数取得最小值，则____．

【答案】##

【解析】

【分析】利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值.

【详解】（）

时，函数取得最小值，

则，则，

则，解之得

故答案为：

15. 一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面1.8米．已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为____．

【答案】

【解析】

【分析】先设P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为，再利用题给条件求得各参数值，即可得到该解析式.

【详解】P点离开水面高度h关于时间t的函数解析式可设为

由题给条件可得，，解之得

水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，则运动周期为60秒，

则，

又，，则

则

故答案为：

16. 如图所示,正方形边长为6,圆的半径为1,是圆上任意一点,则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】以为原点建立直角坐标系,然后结合三角函数的定义将所求向量坐标化,就可以求出最值.

【详解】如图以为原点坐标,为轴,为轴建立直角坐标系:

则,,设,,则,

当且仅当即时等号成立.

∴的最小值为.

故答案为:.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知向量与的夹角，且，．

（1）求；

（2）与的夹角的余弦值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；

（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.

【小问1详解】

已知向量与的夹角，且，，

则，

所以；

【小问2详解】

由（1）知：，

所以，

所以与的夹角的余弦值为.

18. 已知、是方程的两个实数根.

（1）求实数的值；

（2）求的值；

（3）若，求的值.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得；

（2）根据同角关系式化简即得；

（3）由题可得，然后利用二倍角公式即得.

【小问1详解】

因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，
由，

则，

所以；

【小问2详解】

；

小问3详解】

因为，

所以  ，
所以，
因为 ，

所以，，，
所以.

19. 已知，，，，求：

（1）的值；

（2）的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，

（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.

【小问1详解】

因为，，

所以，，

所以，

，

所以

.

【小问2详解】

因为，，

所以，

所以，

所以.

20. 已知，函数．

（1）求的对称轴方程；

（2）求使成立的x的取值集合；

（3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

【分析】（1）由向量的数量积的运算公式及三角恒等变换，化简得，利用三角函数的性质，即可求解函数的对称轴方程；

（2）由，得到，即可求得x的取值集合；

（3）由,则，利用三角函数的性质，求得函数的最大值，即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，向量，

可得，

令，解得，

所以函数的对称轴方程为.

（2）由，可得，即，

故，解得，

所以x的取值集合为.

（3）因为,则，

又因为在上是增函数，则，

又因为

所以在时的最大值是，

又由恒成立，可得，即，

故实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答熟记向量的数量积的运算求得函数的解析，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

21. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于BC），点在线段AB上，且满足．已知，，设．

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果，并求最大值；

（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．

【答案】（1），的最大值为   

（2），达到最大值

【解析】

【分析】（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.

（2）计算，得到，得最值.

【小问1详解】

设，则在直角中，，.

在直角中，，

.

，，

所以当，即，的最大值为.

【小问2详解】

在直角中，由，

可得.

在直角中，，

所以，，

所以

，

所以当，达到最大值.

22. 已知函数，其中常数．

（1）在上单调递增，求的取值范围；

（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；

（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

【分析】(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围

【详解】解（1）由题意，有，又则最小正周期

由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值

∴是函数的一个单调递增区间

若函数在上单调递增，则且

解得

（2）∵由（1）：

∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象

∵的图象过．

∴，可得：，解得：，，

即：，，

∵

∴，可得的解析式为：

∴的周期为

在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，

即在上至少有30个解．

∴有或

解得：或

分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：

∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值

即，在所有满足上述条件的中的最小值为

（3），设，

∵即可

只需要解得

综上所述

【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质，1、应用二倍角正弦公式化简，结合正弦函数的单调性求参数范围；2、根据函数图象平移得到新函数的解析式，由函数的零点个数求最值；3、将不等式恒成立转化为函数的最值情况下不等式成立，进而求参数范围