2022-2023学年江西省抚州市七校高二下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年江西省抚州市七校高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的样本相关系数如表所示，其中线性相关性最强的模型是（    ）

A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4

【答案】C

【分析】利用相关系数绝对值的大小与相关程度的关系判定即可.

【详解】样本相关系数的绝对值越接近1，说明与的线性相关性越强.

故选：C.

2．等比数列中，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．9

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质得到，再利用指数运算法则求出答案.

【详解】等比数列中，若，所以，

所以．

故选：C

3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据超几何分布的定义计算即可.

【详解】由题意知的可能取值为服从超几何分布，所以，所以.

故选：C项.

4．胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（    ）．

A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4

【答案】C

【解析】由和可得

【详解】解：，

故选：C

【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.

5．我国成功举办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，其中高山滑雪运动给了我们速度与激情的完美展现.已知某选手高山滑雪的速度（单位：）服从正态分布，若在内的概率为0.7，则该选手的速度不低于的概率为（    ）

A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2

【答案】C

【分析】根据正态分布曲线的对称性求解.

【详解】由题意可得，且0.7，所以或，

或0.15，即该选手的速度不低于的概率为0.15；

故选：C项.

6．某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.

【详解】X的所有可能取值为1,2,3，

，，，

由，

解得或，

又因为，所以.

故选：A.

7．已知直三棱桂：的底面为等腰直角三角形，分别为，的中点，为上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取的中点，取的中点，根据条件可得或其补角为异面直线与所成的角，然后根据直棱柱的性质结合条件及余弦定理即得.

【详解】由题可知，则，

如图，取的中点，连接，则，取的中点，连接，，

则，所以，则或其补角为异面直线与所成的角，

由题可知，又，则，在等腰直角三角形中，，

所以，

在正方形中，，易知，则，

在中，,

即异面直线与所成角的余弦值为．

故选：A．

8．19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波纳契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据递推公式累加即可.

【详解】由，

累加得：

即.

故选：D.

二、多选题

9．随机变量X服从两点分布,若,则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】先根据已知条件写出两点分布,再根据期望和方差公式求出,再根据,计算即可.

【详解】因为随机变量X服从两点分布且,所以,故A正确;

,,故B错误;

,故C错误;

,故D正确.

故选:AD.

10．某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的．若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，则被调查学生中男生的人数可能为（    ）

附：

A．35 B．40 C．45 D．50

【答案】CD

【分析】利用独立性检验表达列联表并及观测值可解的答案．

【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，，由题意可列出列联表：

．

由于有的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，

所以；

解得：，

则的可能取值为：9、10、11、12、13；

则选项中被调查学生中男生的人数可能45或50．

故选：．

11．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则公差

D．若，则公比

【答案】AC

【分析】利用等差数列、等比数列的定义与性质逐一计算判定即可.

【详解】对于A项，由可得：，解得，所以，故A项正确；

对于B项，因为，故B项错误；

对于C项，，即，解得，故C项正确；

对于D项，因为，所以，

所以

，即，解得或，

故D项错误.

故选：AC项.

12．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过的直线与在第一象限内自下而上依次交于两点，过作于，则（    ）

A．的方程为

B．当三点共线时，

C．

D．当时，

【答案】BC

【分析】根据准线与轴的交点求出抛物线的解析式，通过分析即可得出正确选项.

【详解】由题意，

在中，准线与轴交于点

∴，解得：，

∴抛物线的方程为，A项错误；

设的方程为，

联立得，

则，即，

由题意可知，，

当三点共线时，，

则，解得，

则，

代入的方程可知，，

根据抛物线的定义可知，

∴，B项正确；

由定义可知，

，

∵，

∴，C项正确；

当时，

则，

解得（负值舍去），，

则，

由，则，

∴，①

假设，则，则，

显然不符合①，所以D项错误．

故选：BC．

三、填空题

13．若随机变量，且，则_________．

【答案】1

【分析】由求出，再求得，进而求得.

【详解】因为，所以，解得，所以，故.

故答案为：1.

【点睛】结论点睛：

（1）若随机变量，则，；

（2），.

14．根据某市有关统计显示，该市对外贸易近几年持续繁荣，2018年至2021年每年进口总额（单位：千亿元）与出口总额（单位：千亿元）之间的一组数据如下：

若由表中数据得关于的线性回归方程为，若计划2023年出口总额达到5千亿元，则预计该年进口总额约为千亿元.__________.

【答案】3.65

【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可得到回归方程，再将代入计算即可.

【详解】由题中表格可得，，

所以回归直线过点，由0.84，得，

所以，由，解得，

所以若计划2023年出口总额达到5千亿元，则预计该年进口总额约为3.65千亿元.

故答案为：

四、双空题

15．无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，则__________，为数列的前项和，则__________.

【答案】     1     4718

【分析】根据所给定义列出数列的前几项，即可得到数列是周期数列，且周期为，从而求出，再根据并项求和法计算可得.

【详解】空①因为，且，所以，，.

空②，又，所以，

即，

所以数列是以3为一个周期的数列，所以.

故答案为：1；4718.

五、填空题

16．如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为______．

【答案】/

【分析】令，由等比数列性质可得，进而确定圆锥轴截面为等腰直角三角形，并求出椭圆长轴长的长度，根据圆锥的结构特征找到椭圆短轴长，最后应用椭圆离心率定义求离心率.

【详解】令，则，又，，的长度成等比数列，

所以，即，

由题意，显然，在直角△中，则，

所以△为等腰直角三角形，故圆锥轴截面为等腰直角三角形且，

所以，即椭圆长轴长，则，

轴截面如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过作交于，交于，则，

为中点，所以为中点，即为椭圆中心，

过作交于，

综上，有△△均为等腰直角三角形，故，则，

同理△△，故，则，

所以，即，

综上，椭圆离心率为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：注意短轴长为过长轴长中点平行于轴截面底边并与母线相交所成的线段长度.

六、解答题

17．已知正项等差数列前项和为，______，．请从条件①，；条件②，且，，成等比数列两个条件中任选一个填在上面的横线上，并完成下面的两个问题．

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，证明：．

【答案】(1)任选一条件，都有

(2)证明见解析

【分析】（1）选①，由等差数列的前项和性质求得，结合求得公差，再得，从而得通项公式；选②，由等比数列性质列出关于的方程，求得后得通项公式；

（2）求出，由等比数列前项和公式得出和后可证得不等式成立．

【详解】（1）若选①，由，得，

又因为，所以，则，解得；．

若选②，设等差数列的公差为，∵，且，，成等比数列，

∴，即，解得：或（舍），

∴，．

（2），所以．

∴．

18．贵妃芒，又名红金龙，是产于海南的一种水果.该芒果按照等级可分为四类：A等级､等级､等级和等级.某采购商打算订购一批该芒果销往省外，并从采购的这批芒果中随机抽取100箱，利用芒果的等级分类标准得到的数据如下表（将样本频率作为概率）：

(1)从这100箱芒果中有放回地随机抽取4箱，记这4箱中等级的箱数为，求概率2）以及的数学期望；

(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考.方案一：不分等级出售，价格为30元/箱；方案二：分等级出售，芒果价格如下表.

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

【答案】(1)，；

(2)应该采用方案一,理由见详解.

【分析】（1）利用二项分布计算概率及期望；

（2）利用离散型随机变量的分布列计算期望，判定大小即可.

【详解】（1）依题意从这100箱中随机抽取1箱是等级的

概率，所以，

所以，

；

（2）设方案二中芒果的价格为元/箱，其分布列为：

则.

因为，

所以从采购商的角度考虑，应该采用方案一.

19．如图，已知菱形的边长为2，，是平面外一点，四边形中，交于点．，，，，．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）已知，根据线面垂直的判定定理可知，要证平面，只需在平面中再找一条线与FA垂直即可，在中运用余弦定理可求出，进而可得，即可用直角三角形中线定理的逆定理证明，即可得证；（2）可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.

【详解】（1）（1）在中，由余弦定理，得，

所以．

所以为等边三角形．

所以，则．

又，，平面

所以平面．

（2）由（1）知，平面，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

所以，．

设平面的法向量为，

则得

令，得．

又平面的一个法向量为，

所以，

又二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．

20．已知数列满足

(1)记，证明：数列为等差数列；

(2)若把满足的项称为数列中的重复项，求数列的前100项中所有重复项的和.

【答案】(1)证明见解析

(2)2496

【分析】（1）由，根据递推关系证明为常数得出结果；

（2）设，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，数列是以6为首项，4为公差的等差数列，得出数列与数列的公共项求得结果.

【详解】（1）证明：由，得，

又.

故，得4，

故，

所以数列是以6为首项，4为公差的等差数列.

（2）设，得，

又.

故，

得，故，

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，

由题意，数列的前100项中的重复项为数列的前50项与数列的前50项中的公共项，

设数列与数列的公共项所成数列为，

则数列是以6为首项，4为公差的等差数列，

所以，

又，当时，，

所以数列的前50项与数列的前50项中有24个公共项，数列的前24项和为1248，

所以数列的前100项中所有重复项的和为.

21．某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.

(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；

(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可

（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率，

再根据条件概率求解即可.

【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，

，，

由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：

；

（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则､､彼此互斥，且，

，

，

，

，

，

，

所求概率即是发生的条件下发生的概率：.

22．已知双曲线，焦距为，一条渐近线斜率为．

(1)求的方程；

(2)已知为坐标原点，为上的一个动点，过作，垂直于渐近线，垂足分别为，，设四边形的面积为．过作，分别平行于渐近线，且与渐近线交于，两点，设四边形面积为，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据，渐近线为，即可求出双曲线的方程；

（2）根据题意画出图像，得出，设点的坐标为，表示出，，即可表示出，同理表示出，再根据，即可求出的取值范围．

【详解】（1）∵一条渐近线斜率为，焦距为，

∴ ，，

∴，即，

解得，，，

∴双曲线的方程为．

（2）不妨设点在双曲线右支上，按要求作出图像，如图所示，

易得，，

设点的坐标为，则，

由题可知，直线的方程为，直线的方程为，

设直线的倾斜角为，则，则，

∵直线的方程为，点的坐标为 ，

∴，

又，

∴，即，

在中，

，即，

∴，

同理可得，，

∴，

∵，

∴，

故．