第3讲 分式与二次根式（讲义）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

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中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)
第三讲 分式与二次根式
一、10个必备知识点 2
考点一 分式的概念与性质 4
考点二 分式的运算--求值 6
考点三 分式的混合运算 9
考点四 分式--化简求值 12
考点五 二次根式的概念及性质 14
考点六 二次根式的运算 17
考点七 二次根式化简求值 20















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一、10个必备知识点
1．分式的定义
(1)一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
(2)分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
(2)约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
(1)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
(2)通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积)；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
(1)分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
(2)分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
(3)分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
(4)分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
(5)分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
8．二次根式的有关概念
(1)二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
9．二次根式的性质
(1)≥ 0(≥0)；(2)； (3)；
(4)；(5)．
10．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
(2)二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
(3)二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

考点一 分式的概念与性质

1．若分式无意义，则x的值是(　　)
A．x＝±1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
【解答】解：由题意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故选：B．
2．若分式有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x＞2 B．x≠0 C．x≠0且x≠2 D．x≠2
【解答】解：∵2﹣x≠0，
∴x≠2，
故选：D．
3．分式，，，中，最简分式有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：的分子和分母中不含有公因式，是最简分式；
的分子和分母中含有公因式(a+b)，不是最简分式；
的分子和分母中含有公因数3，不是最简分式；
的分子和分母中不含有公因式，是最简分式；
最简分式有2个，
故选：B．
4．分式，，的最简公分母是(　　)
A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2
【解答】解：，，的分母分别是3xy、2x2、6xy2，故最简公分母为6x2y2．
故选：D．
5．下列说法正确的是(　　)
A．形如的式子叫分式
B．分式不是最简分式
C．分式与的最简公分母是a3b2
D．当x≠3时，分式有意义
【解答】解：A、B中含有字母的式子才是分式，故本选项不符合题意．
B、分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故本选项不符合题意．
C、分式与的最简公分母是a2b，故本选项不符合题意．
D、x≠3时，分子x﹣3≠0，分式有意义，故本选项符合题意．
故选：D．

考点二 分式的运算--求值

6．如果m2+3m﹣1＝0，那么代数式(m﹣)•的值是(　　)
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝(m+3)m，
＝m2+3m，
∵m2+3m﹣1＝0，
∴m2+3m＝1，
故选：C．
7．若，则的值为(　　)
A． B．3 C．5 D．7
【解答】解：法1：∵+＝，
∴5＝(+)(a+b)＝2++，
则+＝5﹣2＝3；
法2：已知等式变形得：＝，
即(a+b)2＝5ab，
整理得：a2+2ab+b2＝5ab，即a2+b2＝3ab，
则+＝＝＝3．
故选：B．
8．如果a2﹣ab﹣1＝0，那么代数式的值是(　　)
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【解答】解：
＝
＝
＝a(a﹣b)
＝a2﹣ab，
∵a2﹣ab﹣1＝0，
∴a2﹣ab＝1，
∴原式＝1，
故选：B．
9．若＝≠0，则代数式(+1)÷的值为(　　)
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：(+1)÷
＝
＝
＝，
∵＝≠0，
∴2b＝3a，
∴原式＝＝＝2，
故选：A．
10．已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式的值是(　　)
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：已知等式整理得：x﹣＝3，
则原式＝＝＝，
故选：D．
11．已知，则代数式的值是(　　)
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：，∵＝x﹣1﹣
又∵，
∴＝x﹣1﹣＝4﹣1＝3
∴＝
故选：C．
12．已知＝3，则代数式的值为　　．
【解答】解：∵＝3，
∴，
∴2b+a＝6ab，
∴＝＝＝，
故答案为：．
13．已知＝+，则实数A＝　1　．
【解答】解：+
＝+
＝，
∵＝+，
∴，
解得：，
故答案为：1．
考点三 分式的混合运算

14．计算
(1)；
(2)(1﹣)．
【解答】解：(1)
＝
＝；
＝a﹣b；
(2)(1﹣)
＝×
＝．
15．计算：
(1)+(ab﹣b2)•；
(2)(﹣x﹣1)÷．
【解答】解：(1)原式＝•+b(a﹣b)•
＝﹣+
＝0；

(2)原式＝•
＝•
＝•
＝﹣(x+2)(x﹣1)
＝﹣(x2+x﹣2)
＝﹣x2﹣x+2．
16．计算：．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝﹣．
17．化简：
(1)(a﹣1﹣)÷；
(2)(﹣)÷．
【解答】解：(1)原式＝•
＝
＝•
＝•
＝；

(2)原式＝[﹣]•
＝•
＝
＝
＝
＝．
18．分式化简：
(1)；
(2)．
【解答】解：(1)
＝
＝
＝；
(2)
＝
＝+
＝
＝．
19．上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•﹣＝
(1)聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；
(2)当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．
【解答】解：(1)∵(+)÷
＝[+]×
＝×
＝﹣
∴盖住部分化简后的结果为﹣；
(2)∵x＝2时，原分式的值为5，
即，
∴10﹣5y＝2
解得y＝
经检验，y＝是原方程的解．
所以当x＝2，y＝时，原分式的值为5．

考点四 分式--化简求值

20．先化简+÷，再从1，﹣1，﹣2，2四个数字中选取一个合适的数作为m代入求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵，
∴m≠±1且m≠2，
当m＝﹣2时，
原式＝．
21．先化简，再求值：(1﹣)•，其中x＝2．
【解答】解：原式＝()
＝
＝，
当x＝2时，
原式＝＝﹣2．
22．如果m2+2m﹣3＝0，求的值．
【解答】解：
＝•
＝m(m+2)
＝m2+2m，
∵m2+2m﹣3＝0，
∴m2+2m＝3
当m2+2m＝3时，原式＝3．
23．已知：a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数．求代数式÷()的值．
【解答】解：原式＝﹣÷[﹣]
＝﹣÷
＝﹣•
＝﹣
＝﹣，
由题意可知：a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，
∴(a﹣3)2+|b﹣1|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式＝＝．
24．已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k﹣1＜0，
∴﹣+＝+＝k+4+＝k+4+|k﹣1|＝k+4﹣k+1＝5．

考点五 二次根式的概念及性质
1．二次根式中x的取值范围是(　　)
A．x≥6 B．x≤6 C．x＜6 D．x＞6
【解答】解：由题意得：6﹣x≥0，
解得：x≤6，
故选：B．
2．若实数x，y满足，则x﹣y的值是(　　)
A．1 B．﹣6 C．4 D．6
【解答】解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，
∴x≥5，x≤5，
∴x＝5，
∴y＝﹣1，
∴x﹣y＝5﹣(﹣1)＝5+1＝6，
故选：D．
3．下列计算正确的是(　　)
A．＝± B．＝ C．±＝ D．±＝±
【解答】解：A：原式＝，∴不符合题意；
B：原式不成立，∴不符合题意；
C：原式＝±，∴不符合题意；
D：原式＝±，∴符合题意；
故选：D．
4．下列各式中，错误的是(　　)
A． B．(a﹣b)2＝(b﹣a)2
C．|﹣a|＝a D．
【解答】解：A：∵﹣＝﹣a，＝﹣a，
∴﹣＝，∴不符合题意；
B：(a﹣b)2＝(b﹣a)2，∴不符合题意；
C：∵﹣a的取值范围无法确定，
∴|﹣a|＝﹣a或a，∴符合题意；
D：∵＝a，不符合题意；
故选：C．
5．在下列各式中，是最简二次根式的是(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：A、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
6．下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【解答】解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．与根式不是同类二次根式的是(　　)
A． B． C． D．﹣2
【解答】解：A．＝，即化成最简二次根式后被开方数相同(都是2a)，所以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．＝2，即化成最简二次根式后被开方数相同(都是2a)，所以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝，即化成最简二次根式后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．﹣2＝﹣2a|b|，即化成最简二次根式后被开方数相同(都是2a)，所以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．若最简二次根式与可以合并，则m的值为(　　)
A．2019 B．﹣2019 C．2023 D．﹣2023
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，即最简二次根式与是同类二次根式，
∴m+2021＝2，
∴m＝﹣2019，
故选：B．

考点六 二次根式的运算
9．估计的值应在(　　)之间．
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【解答】解：
＝﹣3，
∵3＜＜4，
∴0＜﹣3＜1，
故选：A．
10．估计(2﹣2)×的值是(　　)
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【解答】解：原式＝2﹣2，
∵3＜2＜4，
∴1＜2﹣2＜2，
故选：B．
11．计算：
(1)+(+2)(﹣2)．
(2)．
【解答】解：(1)原式＝﹣+5﹣4
＝2﹣+1
＝3﹣；
(2)原式＝5+2+2﹣×2
＝7+2﹣
＝7+．
12．计算：
(1)；
(2)|﹣|﹣+(﹣1﹣)2．
【解答】解：(1)
＝﹣+2
＝4+；

(2)|﹣|﹣+(﹣1﹣)2
＝﹣(﹣1)+1+2+2
＝﹣+1+1+2+2
＝4+2．
13．计算：
(1)．
(2)．
【解答】解：(1)原式＝6×+(3×3﹣2×2)÷
＝2+(9+4)÷
＝2+3+4
＝5+4；
(2)原式＝3﹣2+2﹣(2+6﹣6﹣3)
＝5﹣2+
＝5﹣．
14．计算：
(1)；
(2)﹣；
(3)；
(4)(1﹣)(+1)﹣(﹣1)2．
【解答】解：(1)原式＝﹣3﹣2+×2+5
＝﹣3﹣2++5
＝﹣2+3；

(2)原式＝﹣
＝﹣
＝﹣6；

(3)原式＝2﹣4×﹣(3×﹣4×)
＝2﹣﹣+2
＝+；

(4)原式＝1﹣5﹣(5+1﹣2)
＝1﹣5﹣6+2
＝﹣10+2．
15．观察下列一组等式，解答后面的问题：
﹣1，
．
应用计算：
(1)利用上面的方法进行化简：；
(2)归纳：根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：＝　﹣　；
(3)拓展：+++…+＝　﹣10　．
【解答】解：(1)原式＝＝﹣；
(2)原式＝﹣；、
故答案为﹣；
(3)原式＝﹣+﹣+•••+﹣
＝﹣
＝﹣10．
故答案为﹣10．

考点七 二次根式化简求值
16．小明在解方程＝2时采用了下面的方法：由
()()＝＝(24﹣x)﹣(8﹣x)＝16，又有＝2，可得＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解、请你学习小明的方法，解方程＝16，则x＝　±　．
【解答】解：∵(+)(﹣)＝()2﹣()2＝(x2+42)﹣(x2+10)＝32，
而+＝16，
∴﹣＝2，
两式相减得2＝14，即＝7，
两边平方得到x2＝39，
∴x＝±，
经检验x＝±为原方程的解．
故答案为±．
17．观察下列各式：＝1+；＝1+；＝1+；…
请利用你发现的规律计算：+++…+，其结果为 　　．
【解答】解：+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝2020+1﹣+﹣++…+﹣
＝2021﹣
＝．
故答案为：．
18．已知x＝，y＝，求下列各式的值．
(1)x2﹣y2；
(2)x2﹣2xy+y2．
【解答】解：(1)当x＝，y＝时，
原式＝(x+y)(x﹣y)
＝(+)×(﹣)
＝2×(1﹣)
＝2﹣2；
(2)当x＝，y＝时，
原式＝(x﹣y)2
＝(﹣)2
＝(1﹣)2
＝1﹣2+2
＝3﹣2．
19．(1)已知ab＝，求a+b的值；
(2)已知x＝+2，y＝﹣2，求x2+y2+2xy．
【解答】解：(1)a+b＝a•+b•
＝a•+b•，
∵ab＝，
∴当a、b都为正数时，原式＝+＝2＝2×＝2×＝3；
当a、b都为负数时，原式＝﹣+﹣＝﹣2＝﹣2×＝﹣2×＝﹣3；
(2)∵x＝+2，y＝﹣2，
∴x+y＝2，
∴x2+y2+2xy＝(x+y)2＝(2)2＝20．
20．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝，∴．
∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)填空：＝　　，＝　　；
(2)计算：；
(3)若a＝，求2a2﹣12a﹣5的值．
【解答】解：(1)＝＝，
＝，
故答案为：，；
(2)原式＝(﹣1++...+)
＝()()
＝2021﹣1
＝2020；
(3)当a＝＝时，
原式＝2()2﹣12()﹣5
＝2(10+6+9)﹣12﹣36﹣5
＝20+12+18﹣12﹣36﹣5
＝﹣3．