第20讲 多边形与平行四边形（讲义）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)

第二十讲  多边形与平行四边形

必备知识点

考点一  多边形的内角与外角

考点二  平行四边形的性质与判定

考点三  三角形中位线

必备知识点

一、多边形

1．多边形的相关概念

1)定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

2)对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．

2．多边形的内角和、外角和

1)内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2)外角和：任意多边形的外角和为360°.

3．正多边形

1)定义：各边相等，各角也相等的多边形.

2)正n边形的每个内角为，每一个外角为．

3)正n边形有n条对称轴.

4)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

二、平行四边形的性质

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.

2．平行四边形的性质

1)边：两组对边分别平行且相等．2)角：对角相等，邻角互补．3)对角线：互相平分．

4)对称性：中心对称但不是轴对称．

3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．

2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．

3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．

4．平行四边形中的几个解题模型

1)如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．

2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．

3)如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.

4)如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．

三、平行四边形的判定

1)方法一(定义法)：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

3)方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5)方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

四、三角形的中位线

1)定义：三角形两边中点的连线叫中位线。

2)性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

考点一  多边形的内角与外角

1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝(　　)

A．180° B．240° C．360° D．540°

2．八边形的外角和是(　　)

A．1080° B．1440° C．540° D．360°

3．如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出的对角线条数为(　　)

A．8 B．7 C．6 D．5

考点二  平行四边形的性质与判定

4．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，AE⊥BC于点E，F为EA延长线上一点，且BE＝EF，连接

CF

(1)如图1，若AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，求AF的长度；

(2)如图2，若CD⊥CF，求证：AD＝AC+AF．

5．如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM．

(1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，AM＝AF＝3，CF＝2，求BC的长；

(2)如图2，若AB＝AC，∠EBC＝30°，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：AM+BM＝GM；

(3)如图3，当点E在运动过程中满足△BCE为等边三角形时，若BC＝4；在△BCE内部是否存在一点P使PB+PC+PE有最小值，若存在，直接写出PB+PC+PE的最小值；若不存在，请说明理由．

6．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAC＝60°，点E是BC边上一点，连接AE，AE＝AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF．

(1)如图1，若点F与对角线交点O重合，已知BE＝4，OC：EC＝5：3，求AC的长度；

(2)如图2，若EC＝FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AEG＝60°，∠AGB+∠BCD＝180°，求证：BG+EG＝DC．

7．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．

(1)如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；

(2)如图2，若∠ACB＝45°，求证：AF+FO＝EG．

8．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F．

(1)如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积；

(2)如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD＝AG．

9．如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE＝∠CDG＝∠FDG．

(1)∠A＝45°，∠ADF＝75°，CD＝3+，求线段BC的长；

(2)求证：AB＝BF+DF．

10．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AC，点E，F分别CD、AC边上的点，且AF＝CE，BF的延长线交AE于点G．

(1)若DE＝2，AD＝8，求AE．

(2)若G是AE的中点，连接CG，求证AE+CG＝BG．

11．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M．点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN．

(1)若AB＝，AC＝4，求BC的长；

(2)求证：AD+AM＝DN．

12．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AC，点E、F分别是CD，AC边上的点，且AF＝CE．BF的延长线交AE于点G．

(1)若DE＝3，AD＝9，求AE的长；

(2)若点G是AE的中点，连接CG，求证：BG﹣CG＝AE．

13．如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．

(1)若AE＝4，CD＝10，求△BCF的面积和周长；

(2)求证：BC﹣EG＝AG．

考点三  三角形中位线

14．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　   　．

15．如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　   　．

16．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 　   　．

17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，过点D作DM⊥BC于点M，延长DM至点E，且AC＝EM＝2DM，连接AE交BC于点N，若AC＝6，AB＝10，则点N到BE的距离为 　   　．

18．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．若AD、BC所在直线互相垂直，的值为 　   　．