2023年湖南省邵阳市新邵五中中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省邵阳市新邵五中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在数轴上表示数和的两个点之间的距离为个单位长度．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩次数分钟：，，，，这五次成绩的平均数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，▱的周长为，的周长为，则对角线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 随的增大而增大 D. 时，

9.  如图，中，，点在的延长线上，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，点在直线上上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为，给出如下定义：若线段，和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形点，，顺时针排列，则称矩形为直线的“理想矩形”例如，图中的矩形为直线的“理想矩形”，若点，则直线的“理想矩形”的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则______．

13.  如图，在中，延长至，延长至如果，则______．

14.  已知中，，，则______．

15.  已知关于，的二元一次方程组，若，则的取值范围是______．

16.  如图，在矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折得，点落在四边形内，点是线段上的动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，在求值：，再从、、三个数中选择一个你认为合适的数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，在中，，是边上一点，连结并延长至点，，过点作于点，连结．
求证：≌．
若，，，求的长．

20.  本小题分
为了落实上级关于新型冠状病毒的肺炎疫情防控工作，某校计划给每个教师配备紫外线消毒灯和体温检测仪．已知购买台紫外线消毒灯和个体温检测仪要元，购买台紫外线消毒灯和个体温检测仪需要元．
求紫外线消毒灯和体温检测仪的单价各为多少元；
根据学校实际情况，需要购买紫外线消毒灯和体温检测仪共计件，总费用不超过元，且不少于元，该校共有几种购买方案？

21.  本小题分
我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

22.  本小题分
某校开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测角器的高度为米，在测点处安置测角器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测角器，测得点的仰角点，与在同一条直线上，求电池板离地面的高度．

23.  本小题分
如图，在中，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，延长到点，使，作，其中点在上．
如图，若，则______；
如图，若，，求______；
如图，若，延长至点，使得，连接，在点运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段与的长度之和取得最小值？
 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，点是点关于原点的对称点，联结，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
求这个二次函数的解析式；
当点在线段上运动时，直线交于点，当四边形是平行四边形时，求的值；
是否存在点，使是不以为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据数轴上两点距离的计算方法列式计算即可．
本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点距离的计算方法是解答的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、用合并同类项的法则计算；
B、用完全平方公式计算；
C、用同底数幂的乘法法则计算；
D、用积的乘方法则计算．
本题考查了完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则及完全平方公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查中位数、平均数的意义和计算方法，属于基础题．
根据中位数、平均数的计算方法，分别求出结果即可．
【解答】
解：，
这个数从小到大，处在中间位置的一个数是，因此中位数是；
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
▱的周长为，的周长为，
，，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：．

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
，A错误；
函数值随的增大而减少，C错误；
图象与轴的交点为
，B正确；
图象与轴的交点为
时，，D错误．
故选：．
根据一次函数的性质结合图象即可的出结论．
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：和都对，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，连接、，如图．

点的坐标为，
，，．
点在直线上，
，
解得．
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，．
在中，．
在中，．
所求“理想矩形”面积为；
故选：．
过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形”面积．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程，
移项合并得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：
求出第二个方程的解的相反数，代入第一个方程计算即可求出的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是的外角，
，，
，
，
即，
，
，
解得：．
故答案为：．
由三角形的外角性质可得，，再结合，从而可求的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图．

，，
设，则．
．
．
故答案为：．
根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题．
本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
得：，
，
，
解得：．
故答案为：．
直接把方程组的两式相减可得，再由条件列出不等式，解出的范围即可．
此题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，关键是注意观察，找出解决问题的简单方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，交于，过作于，交于，如图：

，点是边的中点，
，
四边形是矩形，
，
沿翻折得，
，，，，
，
，
∽，
，
，，
设，，则，，
，，
，
解得，
，
，
当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，最小值为的长度，
，，，
≌，
，
最小值为的长度，
故答案为：．
过点作于点，交于，过作于，交于，证明∽，得，设，，可得，即得，而，故当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，最小值为的长度，由≌，得，从而最小值为的长度．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线，构造相似三角形．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】根据平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简的计算法则进行计算即可求得结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式等知识点的运算．
 

18.【答案】解：原式

，
要使分式有意义，不能取，，
则当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：设紫外线消毒灯的单价为元，体温检测仪的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：紫外线消毒灯的单价为元，体温检测仪的单价为元；
设购买紫外线消毒灯台，则购买体温检测仪个，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
或或或或，
该校有种购买方案． 

【解析】设紫外线消毒灯的单价为元，体温检测仪的单价为元，由题意：购买台紫外线消毒灯和个体温检测仪要元，购买台紫外线消毒灯和个体温检测仪需要元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购买紫外线消毒灯台，则购买体温检测仪个，由题意：总费用不超过元，且不少于元，列出一元一次不等式组，解不等式组，求出正整数解，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】，
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为． 

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
见答案
见答案
见答案
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：延长交于点，
设米，
，，
，，
在中，，即，
解得：，
经检验，是原方程的解，
米，
答：电池板离地面的高度约为米． 

【解析】延长交于点，根据正切的定义列出方程，解方程求出，进而求出．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：如图，

，
是等腰直角三角形，
，
又点是边上的中点，
，
，
，
，，
∽，
；
故答案为：；

如图连接，

，
∽，
，
又，点是边上的中点，
，，
设，
由勾股定理可得，
，



∽，

可得，
又，，三点共线，
，
又，
可得，，
，
，
；
故答案为：；

如图，当，三点共线时，的值最小，
连接，取的中点，连接，作于点，

，，
是等边三角形，
又，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
又，
，
又，
，
是等边三角形，
又是中点，
，，，
≌，
，
又，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
又，，
，，
，
设，则，，
，
．
如图，根据是等腰直角三角形，得，由点是边上的中点，可知，得与的比，证明∽，列比例式可得结论；
如图，连接，同理得∽，可得，设，，则，由此即可解决问题；
如图中，由题意，当，，共线时，的值最小．想办法证明，设，则，，推出，由此即可解决问题．
本题考查三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设二次函数的解析式为，
二次函数的图象经过点、、，
，
解得，，，
二次函数的解析式为；

如图，点是点关于轴的对应点，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，，
则直线的解析式为，
由点在抛物线上，点在上，轴，，
设，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得，舍去，
的值为；

如图，当点为直角顶点时，过点作，交抛物线于点，
直线：，
设直线的解析式为，
由，得，则直线的解析式为，
，
解得：或，
点的坐标为或；
如图，当点为直角顶点时，过点作，交抛物线于点，
设直线：，
由，得，解得，
直线：，
，
解得：或，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为，，． 

【解析】由点、、的坐标，利用待定系数法求解即可；
先利用待定系数法求得直线的解析式，进而可设，，然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由列出关于的方程，求解即可；
分两种情况：点为直角顶点与点为直角顶点，分别过直角顶点作的垂线，求出其解析式，然后与抛物线联立得到方程组，求出方程组的解即为点的坐标．
本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的判定，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题等知识，具有一定的综合性，解答本题时要数形结合思想与方程思想的应用，解答的关键是运用分类讨论思想，不要漏解．