2023届山西省三晋名校联盟高三下学期5月高阶段性测试（七）数学试题含解析

2023届山西省三晋名校联盟高三下学期5月高阶段性测试（七）数学试题

一、单选题

1．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，由条件可得，根据集合关系列不等式求的取值范围.

【详解】因为，

所以，即，

因为，所以，又，

所以，

故实数的取值范围是.

故选：A.

2．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再确定其在复平面所对应的点及其象限.

【详解】因为，

所以复数在复平面内所对应的点为，该点在第四象限.

故选：D.

3．已知是圆锥的一个轴截面，分别为母线的中点，，则圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据轴截面求出底面半径和母线长，再根据侧面积公式可求出结果.

【详解】如图：

因为，所以，则圆锥底面半径，

，即母线，

所以圆锥的侧面积.

故选：D

4．记为等差数列的前项和，若，则（    ）

A．30 B．28 C．26 D．13

【答案】C

【分析】根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，

则，，，

所以.

故选：C

5．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】代入特殊点及结合函数的性质分析即可.

【详解】由解析式可得，，排除A；

观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而，

说明不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.

故选：B

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数的运算，分别利用对数的单调性、对数作商即可求解.

【详解】因为，，，

由，所以，

由，而，则，所以，

综上：，

故选：A.

7．已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设的外接圆的半径为，根据向量线性运算和数量积运算公式化简可得，根据正弦定理可求，再求出的范围，结合三角函数性质可求的范围.

【详解】因为，

所以

所以，

设的外接圆的半径为，则

所以，

所以，

在中，由正弦定理可得，

又，所以，

所以，

所以，

因为，所以，

因为，

所以，

所以，

又，所以，故，

所以，所以，

又在上都为增函数，

所以，故，

又，，，

，故，

所以，

其中当时，即点与点重合时左侧等号成立，

所以的取值范围为.

故选：B.

8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率.

【详解】因为，为双曲线的左､右焦点，

所以，

因为

所以，又为线段的中点，

所以为线段的中点，且，

又为线段的中点，

所以，

在中，，，

所以，

所以，

因为点在双曲线的右支上，

所以，

故，

在中，，，，

由勾股定理可得：，

所以，即，

所以，又，

故，

所以，

故选：D.

【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，

然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

二、多选题

9．如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（    ）

A．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势

B．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535

C．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差

D．2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%

【答案】BC

【分析】根据图表逐项进行判断即可求解.

【详解】对于，由图知年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，所以A不正确；

对于B，由图可知年全国城镇居民人均消费支出的中位数为，所以B正确；

对于C，年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，人均消费支出的极差为，所以C正确；

对于D，2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，小于，所以D不正确.

故选：BC.

10．已知为坐标原点，动点满足，记动点的轨迹为，设为轨迹上的两点，为直线上一动点，则下列结论中正确的是（    ）

A．直线与轨迹有两个公共点

B．若直线为轨迹的一条切线，则的最小值为1

C．当时，的最大值是

D．若为轨迹的两条切线，则四边形面积的最小值为1

【答案】BD

【分析】由条件求出点的轨迹方程，由此确定其轨迹，结合直线与圆的位置关系判断A，再求切线长的最小值，由此判断BD，结合向量的运算判断C.

【详解】设点的坐标为，

因为，所以，

所以动点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，

因为，

所以直线的方程为，

因为圆心到直线的距离，

所以直线与轨迹没有公共点，A错误；

因为直线为轨迹的一条切线，

所以，所以，

因为点到直线的距离，

所以，当且仅当且在线段上时取等号，

又，所以，当且仅当且在线段上时取等号，

故的最小值为1，

所以的面积，

同理可得的面积，

所以四边形面积，

当且仅当且在线段上时取等号，

所以四边形面积的最小值为1，所以B，D 正确；

若，设圆心到直线的距离为，

则，

设的中点为，则，

所以，

因为为直线上一动点，所以无最大值，

所以无最大值，C错误；

故选：BD.

11．已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则（    ）

A．的取值范围是

B．的图象在区间上有2条或3条对称轴

C．在区间上的最大值不可能为2

D．在区间上为增函数

【答案】BD

【分析】化简得，令，求出其对称中心的横坐标，由及有且只有三个整数值，可得，故A不正确；令，求出其对称轴，结合的范围分析可知B正确；利用得，由的范围分析可得C不正确；根据正弦函数的单调性可得D正确.

【详解】，

令，得，

由结合，得，

依题意有且只有三个整数值，所以，得，故A不正确；

令，得，

由结合，得，

当时，，此时或，函数的图象在区间上有2条对称轴，为，，

当时，，此时或或，函数的图象在区间上有2条对称轴，为，，，

所以的图象在区间上有2条或3条对称轴，故B正确；

当时，，

因为，所以，所以当，即时，取得最大值，故C不正确；

由，得，因为，所以，

因为，所以在区间上为增函数，故D正确.

故选：BD

12．如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．当时，

【答案】AD

【分析】通过证明平面，可得A正确；以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得B不正确，C不正确，D正确.

【详解】在等腰梯形中，因为，

根据平面几何知识可得，，，

在直棱柱中，平面，平面，所以，

又，平面，所以平面，

因为平面，所以，故A正确；

因为两两垂直，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，，

，，，

，则，故B不正确；

，

令，则，

所以当，时，取得最小值，则，

根据平面向量夹角的范围可知，的最大值为，故C不正确；

当时，，，，

所以，又与不相交，所以，故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知，则__________.

【答案】2

【分析】利用两角和的正弦公式，化简求，再化简求值.

【详解】已知，所以，，

.

故答案为：2

14．已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数为__________.

【答案】

【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数.

【详解】因为随机变量服从正态分布，且，

所以，故，

二项式展开式的通项，

令，可得，

所以展开式中的系数为，

故答案为：.

15．已知在平面直角坐标系中椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段到，若在轴上存在一点，满足，垂足为，则__________.

【答案】

【分析】由条件结合离心率定义求，由条件证明，结合椭圆定义可得，利用中位线性质求.

【详解】设椭圆的半焦距为，则，故，

由题可知，解得.

因为，

所以为线段的中点，且是的垂直平分线，

则.

由椭圆定义可知.

因为为的中点，

所以.

故答案为：.

16．已知，且，则的最小值为__________.

【答案】1

【分析】由，得，构造函数，，用导数得在上为增函数，可得，即，代入后再构造函数，利用导数可求出最小值.

【详解】因为，，所以，所以，且，

所以，

设，，

则，因为，所以，在上为增函数，

因为，所以，则，所以，

所以，

令，则，

令，则，则在上为增函数，

令得，即，

则存在唯一实数，使得，即，

所以当时，，，当时，，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以.

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：将变形为，再利用指对同构，设，，将化为是本题解题关键.

四、解答题

17．从①，②，③前项和满足中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.

已知数列的首项，且__________.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①因式分解得，则有，则可得到其通项，选②两边同加得，则可写出通项，选③移项整理有，则可得到其通项；

（2），通过列项求和即可得到答案.

【详解】（1）选①：

由，

可得.

因为，所以

所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以

选②：

由，得，

所以，所以，

故数列是常数列，

所以，故.

选③：

由，得，则，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，

所以，则.

当时，，

易知也满足上式，

故的通项公式为.

（2）由（1）可得，

则

18．乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣､亲近自然､寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：

(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；

(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件概率公式即可求解.

(2)根据超几何分布，即可求出分布列和期望.

【详解】（1）由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.

记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件，则，

所以.

（2）这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故的所有可能取值为.

，

，

所以的分布列如下表：

所以.

19．如图，在四棱柱中，

(1)求证：平面平面；

(2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.

（2）由（1）的信息，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】（1）设交于点，连接，如图，

因为，则点在线段的垂直平分线上，即有为的中点，

又因为，则，

又平面，因此平面，而平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面，

在平面内过作，又平面平面，因此平面，

射线两两垂直，以为原点，射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，

因为为棱的中点，则点是正的重心，

又，平面，且，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，令，得，

设平面的法向量为，

则，令，得，

设平面与平面的夹角为，则，

即平面与平面的夹角的余弦值为.

20．如图，在中，分别为边上一点，.

(1)若，求的长；

(2)若，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的长；

（2）设，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.

【详解】（1）在中由余弦定理可得，

又，

所以，

所以，

解得或，

因为为的斜边，，

故，

所以，且；

（2）设，

则，又，故，

因为，所以，

所以，

在中，由正弦定理得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

设，

则，故，

因为，所以，所以，

所以，即，

由正弦定理可得，

所以，

所以.

21．已知点是抛物线的焦点，准线与轴的交点为，点是抛物线上任一动点.当点的横坐标为8时，的面积为.

(1)求抛物线的方程；

(2)设是抛物线的准线上的两个不同点，点的横坐标大于1，坐标原点到的边的距离都等于1，求的周长的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解.

（2）设点，点，点，通过点到直线、的距离为1，得到是关于的方程的两个不等实根.从而得到根与系数的关系，从而求出面积的最小值，即可求出周长的最小值.

【详解】（1）将代入抛物线方程，得.

因为的面积为，

所以，解得

所以抛物线的方程为.

（2）设点，点，点，

则直线的方程为，即.

由原点到直线的距离为1，可得，

故.

由条件知，上式化简得.

同理有.

所以是关于的方程的两个不等实根.

由根与系数的关系可得.

所以.

因为，所以，

又点到直线的距离为，

所以的面积为.

令，则.

因为，

上述两个不等式都当且仅当时取等号，所以，

故面积的最小值为.

因为原点到的三边距离都等于1，所以，

所以的周长为，

所以的周长的最小值为.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；

(2)若的图象与直线恰有两个不同的公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）构造函数，利用导数探讨函数在上有两个零点即可.

【详解】（1）当时，，求导得，则，而，

所以的图象在点处的切线方程为，即.

（2）设，其定义域为，

则，

①若，即，当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为时，时，，

所以要使有两个零点，则，解得，故；

②若，即，由，解得，所以有且仅有1个零点，则不符合题意；

③若，即，由，得或，由，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

因为时，时，，

所以要使有两个零点，则或，

若，解得，不符合题意；

若，设，

则化为，

当时，，所以无解，

即无解，故不符合题意；

④若，即恒成立，则在上单调递增，从而最多有1个零点，则不符合题意.

⑤若，即，由，得或，由，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

因为时，时，，

所以要使有两个零点，则或，

若，解得，不符合题意，

若，

设，则化为，

令，则，

设，则当时，，

所以在上单调递减，即在上单调递减，

从而，所以在上单调递减，

所以，则无解，即无解，故不符合题意，

综上，实数的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.