2023届江西省抚州市金溪县高三下学期5月高考仿真模拟考试数学（理）试题含答案

金溪县2023届高三下学期5月高考仿真模拟考试

理科数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4. 本试卷主要命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，则

A．  B．  C．  D.

2.已知复数z满足，则=

A． 1    B．   C．   D． 2

3.甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下：

甲 7   8   9    5    4    9

乙 7   8   a    8    7    7

则下列说法正确的是

A．若，则甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数

B．若，则甲射击成绩的极差小于乙射击成绩的极差

C．若，则乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定

D．若，则乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定

4. 已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=

A． 64   B． 81    C． 128    D． 192

5.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”的概率为

A．   B．    C．    D．

6.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第12月营收贯数为

A． 64    B．66     C． 68     D． 70

7.的展开式中的系数为

A． -30    B． -15    C． 15     D． 30

8.设，则

A．  B．   C．   D．

9.在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为

A．   B．   C．    D．

10.已知函数的最小正周期为T，且，若f（x）的图象关于直线对称，则

A．   B．   C．    D．

11. 如图，已知，分别为双曲线C:的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且切线在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则

A．直线OA与双曲线C有交点O

B．若，则

C．若，则C的渐近线方程为

D．若，则C的离心率为

12.已知函数f（x），g（x）都是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且f（x）-，则

A． -4052    B． -4050    C． -1012     D． -1010

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a，b是单位向量，且满足，则___________。

14.已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且与直线相切，则抛物线C的一个方程是___________。

15.如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为___________。

16.已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为___________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为

（1）若，求B；

（2）若，求△ABC的面积。

18.（12分）

如图，三棱柱ABC-的底面为等边三角形，侧面为菱形，，点D，E分别为BC，的中点，.

（1）求证：AD⊥平面；

（2）求二面角的余弦值。

19.（12分）

第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热。甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分。已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为。

（1）设甲3次点球的总得分为X，求X的概率分布列和数学期望；

（2）求乙总得分为100分的概率。

20.（12分）

已知椭圆C：过点A（2，），且C的离心率为。

（1）求C的方程；

（2）设直线l交C于不同于点A的M，N两点，直线AM，AN的倾斜角分别为，β，若，求△AMN面积的最大值。

21.（12分）

已知函数

（1）当时，讨论f（x）的单调性；

（2）若，当时，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若l与C交于M，N两点，点P（-1，1），求的值。

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

（1）求不等式的解集；

（2）设函数f（x）的最大值为M，若a，b，c均为正数，且，求的最小值。

高三理科数学参考答案、提示及评分细则

1.C

2.B

3.C

4.B

5.B

6.D

7.D 

8.D

9. C

10. A

11. D

12.A

13.

14

15、20

16. （0，）

17.解：（1）由条件与正弦定理得，。。。。。。。。。1分

由C得

sin。。。。。。。。。。3分

又，所以，或，

所以或C=（舍去）。

当时，，所以。。。。。。。。。。。。5分

（2）法一：由（1）知，，

由正弦定理，得，则。。。。。。6分

由余弦定理，得B，即

整理得，解得或。。。。。。。。。8分

当时，，此时，所以，又因为，所以与矛盾，舍去；。。。。10分

当时，，

此时△ABC的面积为。。。。。。12分

法二：由（1）知，。。。。。。。。。。6分

由正弦定理，得。

结合，代入

解得，从而

此时△ABC的面积为。。。。。12分

18.（1）证明：连接，，因为侧面为菱形，，

所以△为等边三角形，

因为点D为BC的中点，所以，。

设，则

因为△ABC为等边三角形，所以，则

因为，所以，则，

因为，所以AD⊥平面；

（2）解：由（1）知

所以⊥平面ABC．

所以AD，BC，互相垂直，以D为原点，直线DA，CB，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则D（0，0，0），A（，0，0），E（0，，），（0，0，），，2，），

，。。。。。。。7分

设平面的一个法向量为

即取，则，。。。。9分

设平面的一个法向量为

即取，则，。。。。。。10分

于是。。。

又由题知二面角为锐角，

所以二面角余弦值为

19.解：（1）设甲3次点球射进的次数为Y，则，

Y的可能取值为0，1，2，3，且，则X的所有可能的取值为0，50，100，150.。1分

；

；

。

所以X的概率分布列为

（或。。。。。。6分

（2）设“乙第i次射进点球”为事件Ai，则乙总得分为100分的事件为

因为，，互斥。

所以

。。。。。。。。。。。。。11分

故乙总得为100分概率为

20.解：（1）因为C过点A（2），所以。

设C的焦距为2c，由得，所以，。。。2分

代入上式，解得，

所以C的方程为。

（2）设M（，），N（，），易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，由得

则

。。。。。。。。

由得，

又，所以，则，。。。。。。。6分

由题意知直线AM，AN的斜率存在，所以

则0，。。。。。。。。7分

所以，

则

即，

整理得，

又知l不过点A（2，），则，

所以

所以直线l的方程为，则，所以

则点A（2，）到直线l的距离为。。。。。。。。。

|

则,

当且仅当，即时取等号。。。。11分

故△AMN面积的最大值为2.

21.（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），

当时，。。

当时，所。以f（x）在（0，+∞）上单调递减

当时，时。）时，，

所以f（x）在（0，b）单调递增，在（b，+∞）单调递减。

（2）证明：由得，，

所以，

则，

要证，需证，

即证，

需证

令，设，则

设，则，

所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，则。

所以在（1，∞）上单调递增。

由，得，所以In,

所以需证，即证1n。。。9分

令，且,

则

所以φ（m）在（1，+∞）上单调递增，则,

所以成立。

故得证。。。。。。。12分

22.解：（1）由，消去参数t，得。

将代入，得；

所以曲线C的直角坐标方程为，直线l的普通方程为。。5分

（2）依题意，点P（-1，1）在l上，

将l的参数方程代入C的直角坐标方程并整理，得，首先，设M，N对应的参数分别是，，则，显然，均为正数，

所以。。。。。10分

23.解：（1）f(x)=

当时，化为，解得；

当时，化为，解得

当时，化为，无解；

综上所述，的解集为。。。。5分

（2）由（1）知，,

因为（当且仅当时，等号成立），

2，（当且仅当，即，C=2时，等号成立），

所以的最小值为为12.