2023届河南省安阳市高三下学期5月第三次模拟考试理科数学试题含答案

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安阳市2023届高三下学期第三次模拟

理科数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则下列结论中正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

3.欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（    ）

A.    B.    C.    D.

4.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图和俯视图是边长为2的正方形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.为了应对即将到来的汛期，某地防汛指挥部抽调6名专业人员（包括甲､乙两人）平均分成三组，对当地三处重点水利工程进行防汛安全检查，则甲､乙不同组的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知菱形的边长为为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（    ）

A.1    B.    C.    D.

7.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，且点到的距离为4，则（    ）

A.4    B.5    C.    D.

8.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

9.在直三棱柱中，是等腰直角三角形，是线段上的动点，则当线段最短时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知椭圆的右焦点为，离心率为，过坐标原点作直线交椭圆于两点，若，则直线的方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知四棱锥内接于球底面，底面为正方形，分别为的中点，是线段上的动点，平面交于，当平面时，，则球的表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知函数的定义域为，导函数为，对任意的实数，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.

14.的展开式中的系数是__________.

15.若实数满足不等式组，则的最大值为__________.

16.已知的面积为为常数且，若变化时的最小值为，则__________.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

（1）求直方图中的值；

（2）根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；

（3）已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）

18.（12分）

已知数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19.（12分

如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

20.（12分）

己知函数.

（1）证明：曲线在处的切线经过坐标原点；

（2）记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.

21.（12分）

以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点

（1）求的方程.

（2）在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

在直角坐标系中，直线（为参数，）经过点，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数在区间上的值域，求实数的取值范围.

安阳市2023届高三下学期第三次模拟

理科数学•答案

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.D    2.B    3.B    4.A    5.D    6.C

7.C    8.B    9.A    10.B    11.D    12.C

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.-90    15.256    16.2

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解析（1）由频率分布直方图得，

解得.

（2）在200户居民年用水量频率分布直方图中，

前5组频率之和为，

前4组频率之和为，

所以，

由，解得.

（3）由题可知区间内的居民年用水量分别取为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨.

元，

所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元.

18.解析（1）由，得，且，

所以，所以.

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，

故.

（2），

所以

19.解析（1）在直角三角形中，因为，所以，

即在四棱锥中，，

所以平面，从而平面.

如图，在上取一点，使得，连接.

因为，所以，所以，

又，所以四边形是矩形，所以.

在中，，所以，

又因为，所以平面平面.

所以平面，故.

（2）因为平面平面，交线为，且，所以平面，

故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则

，

所以.

设为平面的法向量，

则即令，得.

同理可得平面的一个法向量为.

所以，

故二面角的余弦值为.

20.解析（1）由已知得，

所以，又，

所以在处的切线方程为，

即，恒过坐标原点.

（2），定义域为，

.

当时，在上单调递增，且，故不恒成立.

当时，设，则，

则当时，在上单调递减，

又，

因为，所以，即，

由零点存在定理知在内存在唯一零点，

即，即.

当时，，于是在上单调递增，

当时，，于是在上单调递减，

所以在处取得极大值也是最大值，要使恒成立，只需.

因为，

由，解得，

故所求的的取值范围是.

21.解析（1）双曲线的渐近线方程为，

圆与直线切于点，所以，①

设，则，即，②

又③

由①②③解得，

所以双曲线的方程为.

（2）假设存在满足条件的定点，因为直线不与坐标轴垂直，

故设的方程为.

由消去整理得，

则即

且

因为，所以直线的斜率为.

设为定值，即，

即，

即，

整理得，

所以，

所以.

因为为定值，且上式对任意恒成立，

所以

解得.

将代入式解得或且.

综上，存在满足条件的定点.

22.解析（1）由题可知直线经过点，

又因为经过点，故，

整理得的普通方程为.

曲线的普通方程为，

化为极坐标方程为.

（2）因为，所以，

则的参数方程可写为（为参数），

代入中，整理得，

设点对应的参数为，点对应的参数为，则，

由参数的几何意义，得.

23.解析（1）当时，

由得或或

解得或.

所以不等式的解集为.

（2）当时，.

因为在区间上的值域，

所以，即，

解得或.

因为，显然，所以，

所以或

解得，

故的取值范围是